Задание 21. Логика и комбинаторика

В тесте 17 вопросов. За верный ответ +4 балла, за неверный −14. Ученик ответил на все вопросы и набрал −4 балла. Сколько верных ответов?

1. Пусть верных $x$, тогда неверных $17-x$.
2. $4x-14(17-x)=-4$.
3. $4x-238+14x=-4$, $18x=234$, $x=13$.
4. Проверка: $4\cdot 13-14\cdot 4=52-56=-4$ ✓.

Периметры: левый верхний 36, правый верхний 34, левый нижний 28. Найдите периметр правого нижнего и всего прямоугольника.

1. $P_{\text{пн}}=34+28-36=26$.
2. Весь прямоугольник: $36+26=62$ (то же $34+28$).

Улитка за день поднимается по дереву на 4 м, за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. В какой день улитка впервые окажется на вершине?

1. За полные сутки — подъём на $4-3=1$ м.
2. В последний день ночного спуска уже не будет: нужно стартовать утром с высоты $10-4=6$ м.
3. 6 м набирается за 6 суток; на 7-й день улитка доползёт до вершины. Ответ: $7$.

Кольцевая дорога 333 км, по кратчайшей дуге: А–Б 110 км, А–В 144 км, В–Г 23 км. Найдите кратчайшее расстояние Б–Г.

1. Расставим точки на окружности по часовой стрелке от А: Б на 110 км, В на 144 км (или на $333-144=189$). Кратчайшая дуга А–В — меньшая из двух дуг, она не длиннее половины кольца ($166,5$).
2. Перебираем расположения В и Г ($\pm 23$ км от В) и для каждого считаем расстояние Б–Г: по кольцу между двумя точками две дуги, $d$ и $333-d$, берём меньшую.
3. Подходит вариант, согласованный со всеми условиями; рисунок кольца с отметками обязателен.