ЕГЭ · Базовая математика · Задание 21 · На основе ФИПИ

Задание 21. Задачи на смекалку

40 заданий по образцу банка ФИПИ: тот же навык и форма ответа, свои тексты, факты и данные. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 21. Задачи на смекалку»

В теме 10 подтем: Задачи на смекалку: подсчёт очков, Задачи на смекалку: распилы, Логика: «среди любых», Подсчёт пар (связи, знакомства), Задачи на смекалку: дом и квартиры, Задачи на смекалку: улитка и кузнечик, Задачи на смекалку: соотношения, Задачи на смекалку: таблицы и ещё 2.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Задача «на сообразительность»: сложных формул нет, но нужно увидеть идею — что считать и что чему равно. Ответ — целое число, задание стоит 1 балл.

Распилы и разрезыдоски, палка с цветными линиями, глобус

Подсчёт парпровода между столбами, договоры, мальчики и девочки

Подъезды и этажив каком подъезде и на каком этаже квартира

Прямоугольник из четырёхпериметры или площади трёх частей

«Хотя бы один» и процессыгрибы, улитка, тариф, обмены

Уравнения в целых числахвикторина, фишки, страницы книги, клетки

Если идея не видна, решите задачу на маленьких числах (2 доски, 3 столба) и посмотрите, какая закономерность получается. Затем примените её к числам условия.

Распилы и разрезы

Один распил одной доски добавляет один кусок. Если взяли $n$ досок и сделали $k$ распилов, кусков $n + k$ .

3 доски, 7 распилов:

3 + 7 = 10

кусков

Сделали 8 поперечных распилов и получили 13 кусков. Сколько было досок?

Куски $=$ доски $+$ распилы: $13 = n + 8$ .
$n = 5$ . Ответ: $5$ .

Распил по красным линиям даёт 4 куска, по жёлтым — 6, по зелёным — 9. Сколько кусков, если пилить по всем линиям?

Линий на одну меньше, чем кусков: красных $3$ , жёлтых $5$ , зелёных $8$ .
Всего $16$ линий — $17$ кусков. Ответ: $17$ .

$p$ параллелей и $m$ меридианов делят глобус на $(p + 1) \cdot m$ частей: параллели дают $p + 1$ пояс, а меридианы, сходясь на полюсах, режут каждый пояс на $m$ частей. При $p = 10$ , $m = 12$ : $11 \cdot 12 = 132$ .

Подсчёт пар: провода и договоры

Каждый провод соединяет два столба, поэтому при подсчёте «по концам» он учтён дважды.

N = \frac{n \cdot k}{2}

N

— число проводов,

n

— число столбов,

k

— проводов от каждого столба

8 \cdot 3 : 2 = 12

— как у рёбер куба

Из 10 стран 4 подписали договор ровно с тремя другими странами, а каждая из остальных 6 — ровно с четырьмя. Сколько всего договоров?

Подписей: $4 \cdot 3 + 6 \cdot 4 = 12 + 24 = 36$ .
У каждого договора две подписи: $36 : 2 = 18$ . Ответ: $18$ .

В классе 30 учеников. Каждый мальчик дружит с 3 девочками, каждая девочка — с 2 мальчиками. Сколько мальчиков?

Пар «мальчик — девочка» считаем двумя способами: $3 m = 2 d$ .
$d = 1, 5 m$ , а $m + d = 30$ : $2, 5 m = 30$ , $m = 12$ . Ответ: $12$ .

Подъезды, этажи, квартиры

Если в подъезде $E$ этажей по $k$ квартир, то в подъезде $E \cdot k$ квартир. Номер квартиры делим на $E \cdot k$ с остатком: неполное частное $+ 1$ — номер подъезда (если остаток не $0$ ).

Дом 9-этажный, на этаже 4 квартиры. В каком подъезде и на каком этаже квартира № 87?

В подъезде $9 \cdot 4 = 36$ квартир. $87 = 2 \cdot 36 + 15$ — два подъезда целиком и ещё 15 квартир.
Значит, 3-й подъезд, там это 15-я квартира.
$15 = 3 \cdot 4 + 3$ : три этажа целиком и ещё 3 квартиры — 4-й этаж.

Квартира № 333 в 6-м подъезде 10-этажного дома. На каком этаже?

Пусть на этаже $k$ квартир, в подъезде $10 k$ . Квартира в 6-м подъезде, значит $5 \cdot 10 k < 333 \leq 6 \cdot 10 k$
$50 k < 333$ и $60 k \geq 333$ : $k = 6$ ( $300 < 333 \leq 360$ ).
Внутри подъезда её номер по счёту $333 - 300 = 33$ ; $33 = 5 \cdot 6 + 3$ — 6-й этаж. Ответ: $6$ .

Если остаток $0$ , квартира — последняя в подъезде (на этаже): квартира № 72 при 36 квартирах в подъезде — во 2-м подъезде, а не в 3-м.

Прямоугольник из четырёх

Прямоугольник разрезан двумя прямыми разрезами (вертикальным и горизонтальным) на четыре прямоугольника.

Периметры противоположных по диагонали частей в сумме равны

Периметры: $P_{лв} + P_{пн} = 2 (a + c) + 2 (b + d) = P_{пв} + P_{лн}$ .

Площади: $S_{лв} \cdot S_{пн} = a c \cdot b d = S_{пв} \cdot S_{лн}$ .

Здесь лв — левый верхний, пн — правый нижний и т. д.

Периметры трёх частей, начиная с левой верхней и далее по часовой стрелке: 12, 16, 18. Найдите периметр четвёртой.

Левая верхняя (12) и правая нижняя (18) — противоположные: сумма $30$ .
Значит, $16 + P = 30$ , $P = 14$ . Ответ: $14$ .

Площади, по тому же правилу обхода: 12, 18, 30. Найдите четвёртую.

$12 \cdot 30 = 18 \cdot S$ .
$S = 360 : 18 = 20$ . Ответ: $20$ .

Складываются (перемножаются) части, стоящие по диагонали, а не соседние. При обходе «по часовой стрелке» это 1-я и 3-я, 2-я и 4-я.

«Хотя бы один» и улитка

В корзине 25 грибов: рыжики и грузди. Среди любых 10 грибов есть хотя бы один рыжик, среди любых 17 — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков?

Если бы груздей было $10$ и больше, можно было бы взять 10 груздей без рыжика. Значит, груздей не больше $9$ .
Аналогично рыжиков не больше $16$ .
$9 + 16 = 25$ — ровно все грибы, значит, обе оценки точные: рыжиков $16$ .

Днём

+ 3

м, ночью

- 2

м; к вершине 10 м — на 8-й день

Улитка за день поднимается на 3 м, за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней она доползёт до вершины?

За сутки — $+ 1$ м. Но в последний день она доползает до вершины и уже не сползает.
До последнего дня надо подняться на $10 - 3 = 7$ м — это 7 суток.
На 8-й день: $7 + 3 = 10$ м. Ответ: $8$ .

Ответ $10 : 1 = 10$ — неверный: он не учитывает, что в последний день улитка достигает цели днём.

Уравнения в целых числах

В викторине 20 вопросов. За верный ответ +7 очков, за неверный −12, без ответа 0. Ученик набрал 41 очко. Сколько верных ответов?

Пусть верных $a$ , неверных $b$ : $7 a - 12 b = 41$ , $a + b \leq 20$ .
$7 a = 41 + 12 b$ . Перебираем $b$ : при $b = 0, 1, 2$ получается $41, 53, 65$ — не кратны 7; при $b = 3$ : $77 = 7 \cdot 11$ .
$a = 11$ , $a + b = 14 \leq 20$ ✓ (следующее подходящее $b = 10$ даёт $a = 23 > 20$ ). Ответ: $11$ .

Задача	Идея
Обмен: 1 большая фишка за 10 маленьких; было 120 фишек, стало 48	каждый обмен уменьшает число фишек на $9$ : $(120 - 48) : 9 = 8$ обменов
Выпали листы: страница перед ними 254, после — те же цифры	после выпавших — нечётная страница больше 254: $425$ ; выпали стр. $255$ – $424$ , это $170$ страниц $= 85$ листов
Клетки таблицы $m \times n$ : пар соседних клеток	всего $m (n - 1) + n (m - 1)$ пар; разноцветные $+$ чёрные $+$ белые $=$ всего

У листа две страницы: нечётная спереди и следующая чётная сзади. Поэтому выпавшие страницы начинаются с нечётной и заканчиваются чётной, а их число чётно.

Шпаргалка номера

Тип	Ключ
Распилы	куски $=$ доски $+$ распилы
Глобус	$(p + 1) \cdot m$
Провода, договоры	сумма «концов» $: 2$
Дружба М/Д	число мальчиков × подруг у каждого $=$ число девочек × друзей у каждой
Подъезды	делить номер на число квартир в подъезде с остатком
Прямоугольник	$P_{1} + P_{3} = P_{2} + P_{4}$ ; $S_{1} S_{3} = S_{2} S_{4}$
«Хотя бы один»	«среди любых $k$ есть A» ⟹ не-A не больше $k - 1$
Улитка	последний день — без сползания
Очки, обмены	уравнение в целых числах, перебор малого неизвестного

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу открытого банка ФИПИ: тот же номер КИМ, тот же проверяемый навык и та же форма ответа, но свои формулировки, тексты и данные. Начните с банка ФИПИ — там официальные задания, — а здесь закрепляйте навык. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: цифры — подряд, без пробелов и запятых, слово — как требует задание; несколько чисел таблицы ответа — через пробел.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0