ЕГЭ · Базовая математика · Задание 20 · На основе ФИПИ

Задание 20. Текстовые задачи

40 заданий по образцу банка ФИПИ: тот же навык и форма ответа, свои тексты, факты и данные. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 20. Текстовые задачи»

В теме 10 подтем: Движение: средняя скорость, Совместная работа, Смеси и растворы, Арифметическая прогрессия, Среднее арифметическое, Движение навстречу, Линейные зависимости, Движение по реке и ещё 2.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Текстовая задача: из условия нужно составить выражение или уравнение и найти величину. Ответ — число в тех единицах, которые указаны в условии (км/ч, минуты, проценты, рубли). Задание стоит 1 балл.

Движениенавстречу, вдогонку, с задержкой, по реке

Средняя скоростьучастки пути с разной скоростью, «туда и обратно»

Совместная работанасосы, мастера, грядка, тест на скорость

Смеси и сплавыконцентрация раствора, масса сплава

Прогрессия«каждый следующий метр на 1200 рублей дороже»

Прочиебутылка кваса, плитка «по норме», среднее арифметическое

Сначала выпишите, что ищем, и обозначьте это $x$ . Затем — таблица «скорость · время = путь» (или «производительность · время = работа»). Единицы приведите к одним: 20 минут $= \frac{1}{3}$ часа.

Движение по прямой

s = v \cdot t

путь

s

= скорость

v

× время

t

Навстречускорость сближения

v_{1} + v_{2}

Вдогонкускорость сближения

v_{1} - v_{2}

За 3 ч первый проехал всё, что левее точки встречи

Расстояние между A и B — 300 км. Два автомобиля выехали навстречу друг другу одновременно и встретились через 3 ч в 135 км от B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из A.

Первый проехал $300 - 135 = 165$ км.
$v_{1} = 165 : 3 = 55$ км/ч. Ответ: $55$ .

Из A в B (420 км) выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч, через 2 ч из B навстречу — второй, 90 км/ч. На каком расстоянии от A они встретятся?

За 2 ч первый проехал $120$ км, осталось $300$ км.
Сближение $60 + 90 = 150$ км/ч, встреча через $300 : 150 = 2$ ч.
Первый всего ехал $4$ ч: $60 \cdot 4 = 240$ км. Ответ: $240$ .

Движение по реке

Скорость лодки в стоячей воде $v$ , течения $u$ : по течению $v + u$ , против течения $v - u$ . Плот плывёт со скоростью течения.

Течение помогает в одну сторону и мешает в другую

Лодка прошла 126 км против течения и вернулась, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Скорость течения 2 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде.

$\frac{126}{v - 2} - \frac{126}{v + 2} = 2$ .
Приводим к общему знаменателю: $\frac{126 \cdot 4}{v ^{2} - 4} = 2$ , откуда $v^{2} - 4 = 252$ , $v^{2} = 256$ .
$v = 16$ (скорость положительна). Проверка: $126 : 14 - 126 : 18 = 9 - 7 = 2$ ✓. Ответ: $16$ .

Время стоянки в общее время входит, а в путь — нет. Если теплоход «вернулся через 36 ч, стоянка 3 ч», то в движении он был $33$ ч.

Ответ в таких задачах обычно целый, поэтому после составления уравнения можно сразу проверить «удобных» кандидатов: $v^{2} = 256$ — значит $v = 16$ .

Средняя скорость

v_{ср} = \frac{s _{весь}}{t _{всё}}

весь путь, делённый на всё время, — не среднее арифметическое скоростей

Трети пути равны, а времена — разные: на медленном участке едут дольше

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую — 120 км/ч, третью — 80 км/ч. Найдите среднюю скорость.

Длина пути не дана — возьмём удобную: $240$ км, трети по $80$ км.
Время: $\frac{80}{60} + \frac{80}{120} + \frac{80}{80} = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} + 1 = 3$ ч.
$v_{ср} = 240 : 3 = 80$ км/ч. Ответ: 80.

v_{ср} = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}

«туда и обратно»: одинаковый путь со скоростями

v_{1}

v_{2}

Яхта $20$ км/ч, обратно самолёт $380$ км/ч: $2 \cdot 20 \cdot 380 : 400 = 38$ км/ч.

$(60 + 120 + 80) : 3 \approx 86, 7$ — неверно. Среднее арифметическое скоростей годится, только если участки проходили одинаковое время.

Совместная работа

Вся работа $= 1$ . Кто делает её за $t$ часов, имеет производительность $\frac{1}{t}$ (часть работы за час). При совместной работе производительности складываются.

Бак наполняется на

\frac{1}{5}

в минуту, значит целиком — за 5 минут

Насосы наполняют бак за 10, 15 и 30 минут. За сколько минут наполнят бак все три вместе?

$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 2 + 1}{30} = \frac{1}{5}$ бака в минуту.
Время $= 1 : \frac{1}{5} = 5$ мин. Ответ: $5$ .

Вместе Аня и Таня пропалывают грядку за 12 мин, одна Таня — за 20 мин. За сколько минут справится одна Аня?

$\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5 - 3}{60} = \frac{1}{30}$ .
Аня — за $30$ мин. Ответ: $30$ .

Петя отвечает на 12 вопросов в час, Ваня — на 15. Петя закончил тест на 20 мин позже. Сколько вопросов в тесте?

Пусть вопросов $n$ : $\frac{n}{12} - \frac{n}{15} = \frac{1}{3}$ (20 мин $= \frac{1}{3}$ ч).
$\frac{5 n - 4 n}{60} = \frac{1}{3}$ , $n = 20$ . Ответ: $20$ .

Смеси и сплавы

m_{в - ва} = \frac{p}{100} \cdot m

масса вещества = концентрация

p %

× масса раствора (сплава)

m

Складываются массы растворов и массы вещества — проценты не складываются

Смешали 4 кг 20-процентного раствора и 6 кг 35-процентного. Какова концентрация смеси?

Вещества: $0, 2 \cdot 4 + 0, 35 \cdot 6 = 0, 8 + 2, 1 = 2, 9$ кг.
Смеси $10$ кг; $2, 9 : 10 = 0, 29$ . Ответ: $29$ .

Первый сплав (30 кг) содержит 25 % меди, второй — 5 %. Получили сплав с 20 % меди. Найдите массу третьего сплава.

Масса второго $x$ : $0, 25 \cdot 30 + 0, 05 x = 0, 2 (30 + x)$ .
$7, 5 + 0, 05 x = 6 + 0, 2 x$ , $0, 15 x = 1, 5$ , $x = 10$ .
$30 + 10 = 40$ кг. Ответ: $40$ .

Смешали равные массы — концентрация равна среднему арифметическому: $14 %$ и $18 %$ дают $16 %$ .

Прогрессия и другие задачи

S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

сумма

n

членов арифметической прогрессии:

a_{1}

— первый член,

d

— разность

За первый метр колодца платят 3500 руб., за каждый следующий — на 1200 руб. больше. Сколько стоит колодец глубиной 8 м?

$a_{1} = 3500$ , $d = 1200$ , $n = 8$ .
$S_{8} = (7000 + 7 \cdot 1200) : 2 \cdot 8 = 7700 \cdot 8 = 61600$ . Ответ: $61600$ .

Квас в бутылке1 л — 40 руб., 2 л — 70 руб.: литр

70 - 40 = 30

, бутылка

10

; 3 л —

10 + 90 = 100

руб.

Плитка «по норме»план 6 дней, сделал за 9, каждый день на 3 м² меньше:

6 x = 9 (x - 3)

x = 9

, площадь

54

м²

Помощникималяр делает работу за 18 ч, два помощника работают в 1,5 раза быстрее каждый:

18 : (1 + 1, 5 + 1, 5) = 4, 5

Среднее арифметическоесумма = среднее × количество; новое число

=

новая сумма

-

старая

Шпаргалка номера

Тип	Формула
Движение	$s = v t$ ; навстречу $v_{1} + v_{2}$ , вдогонку $v_{1} - v_{2}$
Река	по течению $v + u$ , против $v - u$
Средняя скорость	весь путь : всё время; туда-обратно $2 v_{1} v_{2} / (v_{1} + v_{2})$
Работа	производительность $1/ t$ , складываются
Смеси	вещество $= p % \cdot m$ ; складывать массы
Прогрессия	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ , $S_{n} = (a_{1} + a_{n}) n /2$

Проверьте единицы ответа: просят км/ч — не пишите м/с; просят минуты — переведите часы ( $0, 25$ ч $= 15$ мин); проценты пишут без знака %.

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу открытого банка ФИПИ: тот же номер КИМ, тот же проверяемый навык и та же форма ответа, но свои формулировки, тексты и данные. Начните с банка ФИПИ — там официальные задания, — а здесь закрепляйте навык. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: цифры — подряд, без пробелов и запятых, слово — как требует задание; несколько чисел таблицы ответа — через пробел.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0