Задание 11. Объём — Математика (база), 11 класс

Объём тел: жидкости в сосудах, составные фигуры. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Если в стакан с водой опустить камень, уровень поднимется: камень «вытеснит» ровно столько воды, сколько занимает сам. Если перелить воду в широкую кастрюлю, уровень станет ниже — но объём воды останется тем же. На этих двух идеях держатся все задачи задания 11.

V = S \cdot h

объём жидкости в сосуде с постоянным сечением (цилиндр, призма)

где $V$ — объём; $S$ — площадь дна (основания); $h$ — высота уровня жидкости. Для цилиндра $S = π r^{2}$ , где $r$ — радиус основания.

$1 л = 1 дм^{3} = 1000 см^{3}$ . Задание оценивается в 1 балл.

Погружение детали

Объём детали = объём, на который «поднялась» вода: $V_{дет} = S \cdot Δ h$ , где $Δ h$ — на сколько поднялся уровень. Если уровень вырос в $k$ раз, то $V_{дет} = V_{0} (k - 1)$ , где $V_{0}$ — исходный объём воды.

В цилиндрический бак налито 9 л воды. После полного погружения детали уровень вырос в 1,4 раза. Найдите объём детали в см³.

Уровень вырос в 1,4 раза, сечение то же — значит, и объём «вода + деталь» в 1,4 раза больше: $9 \cdot 1, 4 = 12, 6$ л.
Деталь: $12, 6 - 9 = 3, 6$ л (то же: $9 \cdot (1, 4 - 1)$ ).
В см³: $3, 6 \cdot 1000 = 3600$ . Ответ: $3600$ .

Переливание в другой сосуд

Объём не меняется: $S_{1} h_{1} = S_{2} h_{2}$ , откуда $h_{2} = h_{1} \cdot \frac{S _{1}}{S _{2}}$ .

h_{2} = h_{1} \cdot (\frac{r _{1}}{r _{2}})^{2}

для двух цилиндров (π сокращается)

Диаметр больше в 2 раза — площадь дна больше в 4 раза — уровень ниже в 4 раза

Уровень жидкости в цилиндре 51 см. Её перелили в цилиндр с вдвое большим диаметром. Найдите новый уровень.

Радиус больше в 2 раза — площадь дна в $2^{2} = 4$ раза.
$h_{2} = \frac{51}{4} = 12, 75$ см.

Для прямоугольного сосуда (призмы) $S = a \cdot b$ : $h_{2} = h_{1} \cdot \frac{a _{1} b _{1}}{a _{2} b _{2}}$ .

Ловушки

Диаметр больше в $k$ раз — уровень ниже в $k^{2}$ раз, а не в $k$ . Площадь круга зависит от квадрата радиуса.

Единицы ответа: литры или см³? $1 л = 1000 см^{3}$ , $1 м^{3} = 1000 л$ .

Вода «не сжимается и не исчезает»: всегда начинайте с записи «объём до = объём после».

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём параллелепипеда

Примеры заданий 11 ЕГЭ по математике (база)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В бак цилиндрической формы налито 9 л воды. Полностью погрузив в воду деталь, обнаружили, что уровень воды в баке увеличился в 1.4 раза. Найдите объём детали (в кубических сантиметрах), считая, что в 1 литре 1000 куб. см.

Показать ответ

Ответ: 3600
Решение. Объём детали равен объёму «лишней» воды: V = V₀·(k − 1) = 9·(1.4 − 1) = 3.6 л = 3600 куб. см. Ответ: 3600.

В сосуде цилиндрической формы уровень жидкости достигает 51 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого сосуда? Ответ дайте в сантиметрах.

Показать ответ

Ответ: 12.75
Решение. S₁h₁ = S₂h₂, S ~ r², значит h₂ = h₁/m² = 512² = 12.75 см. Ответ: 12.75.

Вода в сосуде, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда с основанием 7×18 см, находится на уровне 36 см. Затем всю воду перелили в другой сосуд с основанием 8×14 см. На каком уровне (в сантиметрах) окажется вода в новом сосуде?

Показать ответ

Ответ: 40.5
Решение. h₂ = h₁·a₁·b₁a₂·b₂ = 36·7·188·14 = 40.5 см. Ответ: 40.5.