Задание 9. Площадь по клетчатому плану — Математика (база), 11 класс

Вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге (формула Гаусса). 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Участок на плане нарисован по клеточкам, одна клетка — квадрат $1 \times 1$ м. Если участок — прямоугольник, его площадь легко сосчитать по клеткам. Если у него «косые» стороны, удобнее вырезать или достраивать фигуры до прямоугольника.

Площадь одной клетки $1 \times 1$ м — это $1 м^{2}$ . Ответ даётся в квадратных метрах, бывает дробным ( $4, 5$ ). 1 балл.

Способ 1. Описанный прямоугольник

Обводим фигуру прямоугольником по линиям сетки и вычитаем «лишние» куски по углам — прямоугольные треугольники и прямоугольники.

Площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ : $S = \frac{ab}{2}$ .

Прямоугольник

4 \times 3 = 12

; лишние части

3

1, 5

; площадь фигуры

12 - 3 - 1, 5 = 7, 5

Вершины (в клетках): $(1; 1)$ , $(5; 1)$ , $(4; 4)$ , $(2; 3)$ .

Описанный прямоугольник $4 \times 3$ : площадь $12$ .
Справа — треугольник с катетами $1$ и $3$ : $\frac{1 \cdot 3}{2} = 1, 5$ .
Слева сверху — кусок с вершинами $(1; 4)$ , $(1; 1)$ , $(2; 3)$ , $(4; 4)$ . Разрежем его вертикалью по линии $x = 2$ : слева прямоугольник $1 \times 3$ без треугольника с катетами $1$ и $2$ , т. е. $3 - 1 = 2$ ; справа треугольник с катетами $2$ и $1$ , т. е. $1$ . Всего $3$ .
$S = 12 - 1, 5 - 3 = 7, 5 м^{2}$ .

Способ 2. Формула Пика

S = В + \frac{Г}{2} - 1

для многоугольника с вершинами в узлах сетки

где $В$ — число узлов сетки строго внутри фигуры, $Г$ — число узлов на границе (включая вершины).

Для фигуры на рисунке: внутри $В = 5$ узлов, на границе $Г = 7$ (5 на нижней стороне и ещё 2 вершины). $S = 5 + \frac{7}{2} - 1 = 7, 5$ .

Способ 3. Формула Гаусса («шнурок»)

S = \frac{1}{2} www.reknow.ru i = 1 \sum n (x_{i} y_{i + 1} - x_{i + 1} y_{i}) www.reknow.ru

вершины обходятся по порядку, после последней — снова первая

где $(x_{i}; y_{i})$ — координаты $i$ -й вершины в клетках, $n$ — число вершин.

$(1; 1), (5; 1), (4; 4), (2; 3)$ : слагаемые $1 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = - 4$ ; $5 \cdot 4 - 4 \cdot 1 = 16$ ; $4 \cdot 3 - 2 \cdot 4 = 4$ ; $2 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = - 1$ . Сумма $15$ , $S = \frac{15}{2} = 7, 5$ .

Вершины берут строго по контуру (по или против часовой стрелки), а не вразнобой — иначе формула даст неверный результат.

Для простых фигур — треугольник, трапеция, параллелограмм — быстрее всего считать по обычным формулам, измеряя стороны и высоты в клетках: $S = \frac{a + b}{2} h$ , $S = ah$ , $S = \frac{1}{2} ah$ .

Примеры заданий 9 ЕГЭ по математике (база)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Показать ответ

Ответ: 4.5
Решение. Вершины участка по контуру: (0; 1), (2; 1), (4; 0), (3; 3). По формуле площади многоугольника S = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| получаем сумму 9, значит S = |9|/2 = 4.5 м².

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. Вершины участка по контуру: (4; 0), (6; 1), (4; 3), (2; 4). По формуле площади многоугольника S = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| получаем сумму 12, значит S = |12|/2 = 6 м².

Показать ответ

Ответ: 7.5
Решение. Вершины участка по контуру: (4; 2), (5; 4), (1; 5), (0; 4). По формуле площади многоугольника S = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| получаем сумму 15, значит S = |15|/2 = 7.5 м².