Задание 12. Планиметрия — Математика (база), 11 класс

Треугольники и окружности: медианы, хорды, теорема Пифагора, площадь. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Почти каждая задача 12 сводится к одному: найти в чертеже прямоугольный треугольник и применить теорему Пифагора. Задача — увидеть, где спрятан прямой угол: у высоты, у медианы равнобедренного треугольника, у угла, опирающегося на диаметр.

c^{2} = a^{2} + b^{2}

теорема Пифагора

где $c$ — гипотенуза (сторона против прямого угла), $a$ , $b$ — катеты. Задание оценивается в 1 балл.

Медиана равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике ( $A B = BC$ ) медиана $BM$ , проведённая к основанию $A C$ , является также высотой и биссектрисой. Значит, $∠ BM A = 9 0^{\circ}$ , $A M = \frac{A C}{2}$ и $B M^{2} = A B^{2} - A M^{2}$ .

Слева:

BM ⊥ A C

. Справа:

A B

— диаметр, поэтому

∠ A CB = 9 0^{\circ}

$A B = BC = 582$ , $A C = 780$ . Найдите медиану $BM$ .

$A M = 780 : 2 = 390$ .
$B M^{2} = 58 2^{2} - 39 0^{2} = (582 - 390) (582 + 390) = 192 \cdot 972 = 186624$ .
$BM = 186624 www.reknow.ru = 432$ .

Угол, опирающийся на диаметр

Если $A B$ — диаметр окружности, а $C$ — любая другая точка окружности, то $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ . Треугольник $A BC$ прямоугольный с гипотенузой $A B$ .

$A B = 565$ — диаметр, $A C = 75$ . Найдите хорду $BC$ .

$B C^{2} = A B^{2} - A C^{2} = (565 - 75) (565 + 75) = 490 \cdot 640 = 313600$ .
$BC = 560$ .

Разность квадратов: $c^{2} - a^{2} = (c - a) (c + a)$ . Большие числа так перемножать гораздо легче, а корень часто «виден» сразу.

Ещё нужные факты

Пифагоровы тройки

3, 4, 5

;

5, 12, 13

;

8, 15, 17

;

7, 24, 25

и кратные:

6, 8, 10

;

9, 12, 15

…

Тригонометрия

cos A = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза}

sin A = \frac{противолежащий}{гипотенуза}

tg A = \frac{противолежащий}{прилежащий}

Площадь треугольника

S = \frac{1}{2} ah

(

h

— высота к стороне

a

); в прямоугольном

S = \frac{1}{2} ab

(катеты)

Медиана к гипотенузеравна половине гипотенузы (это радиус описанной окружности)

Гипотенуза — всегда самая длинная сторона. Если ищете катет, вычитайте квадраты: $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ , а не складывайте.

Медиана является высотой только в равнобедренном треугольнике и только та, что проведена к основанию.

Посмотреть и посчитать

Модели

Теорема Пифагора Вписанный угол

Примеры заданий 12 ЕГЭ по математике (база)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 582, AC = 780. Найдите длину медианы BM.

Показать ответ

Ответ: 432
Решение. Так как AB = BC, медиана BM к основанию AC — это ещё и высота, AM = AC2 = 390. По теореме Пифагора BM = √(AB² − AM²) = √(582² − 390²) = 432. Ответ: 432.

На окружности диаметром AB = 565 отмечена точка C. Известно, что AC = 75. Найдите длину хорды BC.

Показать ответ

Ответ: 560
Решение. Угол ACB прямой, так как опирается на диаметр AB. По теореме Пифагора BC = √(AB² − AC²) = √(565² − 75²) = 560. Ответ: 560.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 100, AC = 28. Найдите cos B.

Показать ответ

Ответ: 0.96
Решение. По теореме Пифагора BC = √(AB² − AC²) = √(100² − 28²) = 96. cos B = BCAB = 96100 = 0.96. Ответ: 0.96.

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 510, AC = 432. Найдите площадь треугольника ABC.

Показать ответ

Ответ: 99792
Решение. Высота BM к основанию AC делит его пополам: AM = 216. По теореме Пифагора BM = √(AB² − AM²) = 462. Площадь S = ½·AC·BM = ½·432·462 = 99792. Ответ: 99792.