Задание 13. Стереометрия — Математика (база), 11 класс

Объём и площадь поверхности многогранников и тел вращения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Объём — сколько воды поместится внутрь тела. Площадь поверхности — сколько бумаги нужно, чтобы его обклеить. В задании 13 даны размеры тела; нужно выбрать верную формулу, а иногда сначала достроить недостающий размер по теореме Пифагора. 1 балл.

Формулы

Тело	Объём	Поверхность
Прямоугольный параллелепипед	$V = ab c$	$S = 2 (ab + b c + a c)$
Куб	$V = a^{3}$	$S = 6 a^{2}$
Призма	$V = S_{осн} \cdot h$	$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
Пирамида	$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$	сумма площадей граней
Цилиндр	$V = π r^{2} h$	$S_{бок} = 2 π r h$
Конус	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$	$S_{бок} = π r l$
Шар	$V = \frac{4}{3} π R^{3}$	$S = 4 π R^{2}$

Обозначения: $a, b, c$ — рёбра; $h$ — высота; $r$ — радиус основания; $l$ — образующая конуса ( $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ ); $R$ — радиус шара; $S_{осн}$ — площадь основания; $P_{осн}$ — периметр основания. Для пирамиды с квадратным основанием: $V = \frac{1}{3} a^{2} h$ .

Параллелепипед и диагональ грани

Грань

BC C_{1} B_{1}

— прямоугольник, поэтому

B C_{1}^{2} = B C^{2} + C C_{1}^{2}

$BC = 3$ , $B A = 7$ , диагональ грани $B C_{1} = 5$ . Найдите объём.

$C C_{1} = 5^{2} - 3^{2} www.reknow.ru = 16 www.reknow.ru = 4$ .
$V = B A \cdot BC \cdot C C_{1} = 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84$ .

Диагональ всего параллелепипеда: $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Сравнение тел: считаем отношение

У первого конуса радиус основания и образующая равны 6 и 4, у второго — 3 и 5. Во сколько раз боковая поверхность второго больше, чем первого?

$S_{1} = π \cdot 6 \cdot 4 = 24 π$ , $S_{2} = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π$ .
$\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{15 π}{24 π} = 0, 625$ . Число $π$ сократилось.

Если все размеры тела увеличить в $k$ раз, площадь поверхности увеличится в $k^{2}$ раз, объём — в $k^{3}$ раз.

У конуса и пирамиды в формуле объёма есть $\frac{1}{3}$ — её часто забывают. У цилиндра и призмы — нет.

Образующая конуса $l$ и высота $h$ — разные отрезки: $l$ идёт по боковой поверхности, $h$ — внутри, перпендикулярно основанию.

«Во сколько раз больше» — делите второе на первое. Ответ меньше 1 ( $0, 625$ ) значит, что на самом деле второе меньше, — так бывает, это не ошибка.

Примеры заданий 13 ЕГЭ по математике (база)

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Радиус основания и образующая первого конуса равны 6 и 4, а второго — 3 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Показать ответ

Ответ: 0.625
Решение. S₁ = πr₁l₁ = π·6·4, S₂ = πr₂l₂ = π·3·5. Отношение S₂/S₁ = 3·56·4 = 0.625. Ответ: 0.625.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра BC, BA и диагональ BC₁ боковой грани равны соответственно 3, 7 и 5. Найдите объём параллелепипеда.

Показать ответ

Ответ: 84
Решение. Из прямоугольного треугольника BCC₁: CC₁ = √(BC₁² − BC²) = √(5² − 3²) = 4. Объём V = BC·BA·CC₁ = 3·7·4 = 84. Ответ: 84.

Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, высота пирамиды 9. Найдите объём пирамиды.

Показать ответ

Ответ: 108
Решение. S_осн = a² = 6² = 36. V = ⅓·S_осн·h = ⅓·36·9 = 108. Ответ: 108.