Учебник reknow · 6 класс

Математика: теория

17 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:5 6 Математика по всем классам →

Делимость, НОД и НОК, остатки
Делимость чисел. НОД и НОК
Дроби и рациональные числа: вычисления
Основное свойство дроби
Отношения, пропорции, проценты
Сложение и вычитание дробей
Уравнения, модуль, раскрытие скобок
Умножение и деление дробей
Координатная прямая и плоскость
Отношения и пропорции. Масштаб
Окружность и круг: составные фигуры
Окружность и круг
Координатная плоскость: симметрия, углы, площади
Положительные и отрицательные числа
Сложение и вычитание рациональных чисел
Умножение и деление рациональных чисел
Координатная плоскость. Диаграммы

Тема 01 · Математика, углублённый уровень

Делимость, НОД и НОК, остатки

Потренироваться: задания по теме →

НОД и НОК Разложение на простые множители

Простыми словами

Каждое натуральное число больше 1 «собрано» из простых чисел, как слово из букв: $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ . Зная этот «состав», легко ответить на любой вопрос: делится ли число на 45, сколько у него делителей, каков НОД и НОК. А остатки помогают с циклами — днями недели, последними цифрами степеней.

Признаки делимости на составные числа

Составной делитель раскладывают на взаимно простые множители и проверяют каждый признак отдельно:

На	12	15	18	36	45	72
Проверяем	3 и 4	3 и 5	2 и 9	4 и 9	5 и 9	8 и 9

«На 4 и на 6 — значит на 24» — неверно: 4 и 6 не взаимно просты. Число 12 делится на 4 и на 6, но не на 24.

Наименьшее число вида $* 948 *$ , делящееся на $45$ .

$45 = 5 \cdot 9$ . На 5: последняя цифра $0$ или $5$ .
На 9: сумма цифр $a + 9 + 4 + 8 + b = 21 + a + b$ делится на 9.
Хотим маленькую первую цифру. При $b = 5$ : $26 + a$ кратно 9 → $a = 1$ : $19485$ . При $b = 0$ : $a = 6$ — больше.
Ответ: $19485$ .

Разложение и число делителей

n = p^{a} \cdot q^{b} \cdot r^{c} \Rightarrow делителей (a + 1) (b + 1) (c + 1)

p, q, r

— разные простые множители числа

n

a, b, c

— показатели их степеней

$360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ → $(3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 24$ делителя.

Ровно 2 делителя — простое число; ровно 3 — квадрат простого ( $p^{2}$ ); ровно 5 — $p^{4}$ (например, $81 = 3^{4}$ ).
Точный квадрат — все показатели чётные, точный куб — все кратны 3.

Сколько делителей числа $4212$ делятся на $54$ ?

$4212 = 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 13$ , $54 = 2 \cdot 3^{3}$ .
Такой делитель равен $54 \cdot m$ , где $m$ — делитель числа $4212 : 54 = 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$ .
У $78$ делителей $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . Ответ: $8$ .

НОД и НОК в задачах

НОДОбщие простые множители в наименьших степенях. «Наибольшее число одинаковых подарков», «разрезать на наибольшие равные куски».

НОКВсе простые множители в наибольших степенях. «Снова одновременно», «впервые вместе», «наименьшее число, кратное…».

НОД (a, b) \cdot НОК (a, b) = a \cdot b

для двух чисел

208 конфет и 224 груши — в наибольшее число одинаковых подарков. Сколько груш в подарке?

$208 = 2^{4} \cdot 13$ , $224 = 2^{5} \cdot 7$ ; $НОД = 2^{4} = 16$ подарков.
Груш в подарке: $224 : 16 = 14$ .

Автобусы уходят в 7:15 вместе, интервалы 21 и 25 мин. Когда снова вместе?

$НОК (21, 25) = 525$ мин $= 8$ ч $45$ мин.
$7 : 15 + 8 : 45 = 16 : 00$ — ровно 0 минут после начала часа.

Остатки и циклы

Остаток суммы (произведения) равен остатку суммы (произведения) остатков.
Один и тот же остаток $r$ при делении на $a$ и $b$ : $n = НОК (a, b) \cdot k + r$ .
Не хватает 1 до делимости на $a$ и $b$ : $n = НОК (a, b) \cdot k - 1$ .
Последние цифры степеней повторяются: у $7^{n}$ — $7, 9, 3, 1, 7, 9, \dots$ (цикл длины 4).

Через 489 дней:

489 = 7 \cdot 69 + 6

— полные недели не меняют день, остаётся сдвиг на 6

Сегодня воскресенье. Через 489 дней: остаток $489 : 7$ равен $6$ ; от воскресенья на 6 дней вперёд — суббота. Из среды через 316 дней: $316 = 7 \cdot 45 + 1$ → четверг.

Если что-то повторяется с периодом $k$ , важен только остаток от деления номера (или числа шагов) на $k$ .

Подсчёты и перебор

Сколько чисел на отрезке делится на $k$ . От $1$ до $N$ их $[N : k]$ ; от $a$ до $b$ — $[b : k] - [(a - 1) : k]$ . «На 8 или на 9» — по формуле включений: $[\dots : 8] + [\dots : 9] - [\dots : 72]$ .

Сколько чисел от 21 до 147 делятся на 8 или на 9?

На 8: $[147 : 8] - [20 : 8] = 18 - 2 = 16$ . На 9: $[147 : 9] - [20 : 9] = 16 - 2 = 14$ .
На 72 (и на 8, и на 9): $[147 : 72] - [20 : 72] = 2 - 0 = 2$ .
$16 + 14 - 2 = 28$ .

Нечётные делители — делители числа без двоек. $4536 = 2^{3} \cdot 3^{4} \cdot 7$ : нечётные делители — делители $3^{4} \cdot 7$ , их $(4 + 1) (1 + 1) = 10$ .

Кратное с различными цифрами ищут перебором кратных от края: наименьшее четырёхзначное, кратное 52, — $1040$ (цифры повторяются), $1092$ — все цифры разные. Ответ $1092$ .

Шестерёнки. Отмеченные зубцы снова встретятся, когда каждая шестерёнка провернётся на $НОК$ зубцов. У шестерёнок с 38 и 21 зубцом $НОК = 798$ : первая сделает $798 : 38 = 21$ оборот.

Простые числа

Единственное чётное простое — $2$ . Если сумма двух простых нечётна, одно из них $2$ : сумма 9 → $2 + 7$ , произведение $14$ .
Проверка на простоту: достаточно делить $n$ на простые $p$ с $p \cdot p \leq n$ . Для $n < 400$ хватит простых до 19.
Числа-близнецы — простые $p$ и $p + 2$ . Между 250 и 314: $269$ и $271$ , $281$ и $283$ , $311$ и $313$ .

Число $1$ не простое. Нечётное число не обязательно простое: $91 = 7 \cdot 13$ , $221 = 13 \cdot 17$ .

Тема 1 · Математика

Делимость чисел. НОД и НОК

Потренироваться: задания по теме →

НОД и НОК Разложение на простые множители

Простыми словами

24 конфеты можно раздать поровну 2, 3, 4, 6, 8, 12 или 24 детям — это делители числа 24. А 25 конфет поровну раздать 3 детям нельзя: 25 не делится на 3.

Делитель числа $a$ — число, на которое $a$ делится без остатка. Кратное числа $a$ — число, которое делится на $a$ : $a, 2 a, 3 a, \dots$ Например, 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6.

Признаки делимости

На что	Признак	Пример
на 2	последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8)	$3574$ ✓
на 3	сумма цифр делится на 3	$5412$ : $5 + 4 + 1 + 2 = 12$ ✓
на 4	число из двух последних цифр делится на 4	$7316$ : $16$ ✓
на 5	оканчивается на 0 или 5	$9035$ ✓
на 9	сумма цифр делится на 9	$7452$ : $18$ ✓
на 10	оканчивается на 0	$480$ ✓

Делится ли $8572$ на 3? Делится ли $4913$ на 9?

$8 + 5 + 7 + 2 = 22$ ; 22 не делится на 3 — значит, $8572$ на 3 не делится.
$4 + 9 + 1 + 3 = 17$ ; 17 не делится на 9 — $4913$ на 9 не делится.

Признаки на 2, 5, 10 смотрят на последнюю цифру, а на 3 и 9 — на сумму всех цифр. Число 39 оканчивается на 9, но на 9 не делится ( $3 + 9 = 12$ ).

Всё, что делится на 9, делится и на 3 (но не наоборот: 12 делится на 3, но не на 9).

Простые и составные числа

Простое число имеет ровно два делителя — 1 и само себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … Составное имеет и другие делители. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным.

Как проверить: пробуем делить на простые 2, 3, 5, 7, 11, … пока квадрат делителя не больше числа. Нашёлся делитель — число составное.

$128$ — чётное, делится на 2 → составное.
$147$ : $1 + 4 + 7 = 12$ , делится на 3 ( $147 = 3 \cdot 49$ ) → составное.
$79$ : не делится на 2, 3, 5, 7, а $1 1^{2} = 121 > 79$ → простое.

Любое составное число раскладывается на простые множители, и такое разложение единственно (с точностью до порядка): $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ .

2 — единственное чётное простое число. А 1 — не простое.

НОД и НОК

НОД(a, b)наибольший общий делитель — самое большое число, на которое делятся оба. Перемножаем общие простые множители.

НОК(a, b)наименьшее общее кратное — самое маленькое число, которое делится на оба. Берём все множители, общие — по одному разу.

24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

. Общая часть — НОД, всё вместе — НОК

НОК (a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД ( a , b )}

a, b

— натуральные числа; например,

НОК (24, 36) = \frac{24 \cdot 36}{12} = 72

Одно число делится на другое: $54 : 9 = 6$ → $НОД (9, 54) = 9$ , $НОК = 54$ .
Взаимно простые числа (НОД равен 1): $74 = 2 \cdot 37$ и $79$ — простое, общих множителей нет → $НОД (74, 79) = 1$ .
Для взаимно простых НОК — просто произведение: $НОК (29, 33) = 29 \cdot 33 = 957$ , $НОК (12, 17) = 204$ .

НОД не больше меньшего числа, НОК не меньше большего. Если ответ нарушает это — где-то ошибка.

Тема 02 · Математика, углублённый уровень

Дроби и рациональные числа: вычисления

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Длинное выражение — как рецепт: если перепутать порядок шагов, блюдо не получится. Поэтому сначала размечаем порядок действий, потом считаем по одному действию, а дроби разных видов приводим к одному виду.

действия в скобках (сначала во внутренних);
возведение в степень;
умножение и деление — слева направо;
сложение и вычитание — слева направо.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}, \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

a, b, c, d

— натуральные числа; делить на дробь — значит умножать на обратную ей

$\frac{2}{3} : \frac{5}{6} - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Деление: $\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .
Умножение: $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ .
Вычитание: $\frac{4}{5} - \frac{1}{10} = \frac{8}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10} = 0, 7$ .

Сокращайте «крест-накрест» ещё до перемножения: $\frac{9}{14} \cdot \frac{7}{12} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$ . Числа остаются маленькими.

Смешанные и десятичные дроби вместе

Перед умножением и делением смешанное число переводят в неправильную дробь: $a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$ . Десятичную дробь, если она «неудобная» для деления, переводят в обыкновенную.

Десятичная	Обыкновенная
$0, 5$	$\frac{1}{2}$
$0, 25$ и $0, 75$	$\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$
$0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8$	$\frac{1}{5}; \frac{2}{5}; \frac{3}{5}; \frac{4}{5}$
$0, 125$ и $0, 375$	$\frac{1}{8}$ и $\frac{3}{8}$
$1, 75$	$\frac{7}{4}$
$2, 75$	$2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$

$4 \frac{1}{5} : 4 \frac{1}{6} \cdot 1, 75 - 0, 3$

Переводим: $4 \frac{1}{5} = \frac{21}{5}$ , $4 \frac{1}{6} = \frac{25}{6}$ , $1, 75 = \frac{7}{4}$ .
Слева направо: $\frac{21}{5} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{7}{4} = \frac{21 \cdot 3 \cdot 7}{5 \cdot 25 \cdot 2} = \frac{441}{250} = 1, 764$ .
$1, 764 - 0, 3 = 1, 464$ .

$(1 \frac{1}{3} - 3, 5) \cdot 4 \frac{4}{5} + 2, 5$

Скобка: $\frac{4}{3} - \frac{7}{2} = \frac{8}{6} - \frac{21}{6} = - \frac{13}{6}$ .
Умножение: $- \frac{13}{6} \cdot \frac{24}{5} = - \frac{13 \cdot 4}{5} = - \frac{52}{5} = - 10, 4$ .
$- 10, 4 + 2, 5 = - 7, 9$ .

$\frac{1}{3}$ не переводится в конечную десятичную дробь ( $0, 333 \dots$ ). Если в выражении есть трети, шестые, седьмые — считайте в обыкновенных дробях, а в десятичную переходите только в конце.

Знаки, скобки, степени

Одинаковые знаки

(-) \cdot (-) = +

(-) : (-) = +

Разные знаки

(-) \cdot (+) = -

(-) : (+) = -

Чётная степень

(- 2)^{2} = 4

(- 1)^{2} = 1

— результат положительный

Нечётная степень

(- 2)^{3} = - 8

— знак минус сохраняется

$(- 2)^{2} = 4$ , но $- 2^{2} = - 4$ : без скобок в квадрат возводится только $2$ , а минус стоит перед результатом.

$(1, 9 - (- 7))^{2} \cdot (- 3) + (- 1)^{2}$

Скобка: $1, 9 - (- 7) = 1, 9 + 7 = 8, 9$ .
Степень: $8, 9^{2} = 79, 21$ ; $(- 1)^{2} = 1$ .
Умножение: $79, 21 \cdot (- 3) = - 237, 63$ .
Сложение: $- 237, 63 + 1 = - 236, 63$ .

Ещё пример: $(- 5 + 12) \cdot (- 3, 9) - (- 2)^{3} = 7 \cdot (- 3, 9) - (- 8) = - 27, 3 + 8 = - 19, 3$ .

Рациональный счёт

Главный приём для длинных сумм — разложить каждую дробь на разность, чтобы соседние слагаемые взаимно уничтожились (такую сумму называют телескопической):

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

n

— натуральное число; проверка:

\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1 - n}{n ( n + 1 )}

$\frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{39 \cdot 40}$

Расписываем: $(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + \dots + (\frac{1}{39} - \frac{1}{40})$ .
Все средние слагаемые сокращаются, остаются первое и последнее: $\frac{1}{7} - \frac{1}{40}$ .
$\frac{40 - 7}{280} = \frac{33}{280}$ .

Приём	Результат
Общий множитель	$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$
$(1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{n})$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \dots \cdot \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}$
$(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{3}) \dots (1 + \frac{1}{n})$	$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \dots \cdot \frac{n + 1}{n} = \frac{n + 1}{2}$
$1 - 2 + 3 - 4 + \dots + 99 - 100$	50 пар по $- 1$ , итого $- 50$

В ответе суммы $\frac{1}{a \cdot ( a + 1 )} + \dots + \frac{1}{b \cdot ( b + 1 )}$ всегда получается $\frac{1}{a} - \frac{1}{b + 1}$ : «первый знаменатель минус последний».

Дробь от числа и число по дроби

Дробь от числаумножить число на дробь:

\frac{3}{4}

от

60

— это

60 \cdot \frac{3}{4} = 45

Число по его дробиразделить часть на дробь: если

\frac{3}{4}

числа равны

45

, число

= 45 : \frac{3}{4} = 60

«Во второй день — $\frac{3}{4}$ оставшегося»: доля берётся не от всего, а от остатка $1 -$ (первая доля). Пример: прочитали $\frac{1}{3}$ книги, потом $\frac{1}{2}$ остатка, осталось 40 страниц. Остаток после первого дня $\frac{2}{3}$ , после второго $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ книги, значит, книга $40 : \frac{1}{3} = 120$ страниц.

Сумма двух чисел равна 60, причём $\frac{1}{2}$ первого числа равна $\frac{1}{4}$ второго. Найдите первое число.

Половина первого числа равна четверти второго — это одна и та же «часть»

Примем $\frac{1}{2}$ первого $= \frac{1}{4}$ второго за одну часть. Первое число — 2 части, второе — 4 части.
Всего $6$ частей $= 60$ , одна часть $= 10$ .
Первое число $= 2 \cdot 10 = 20$ .

Если доли «неудобные» ( $\frac{2}{5}$ первого $= \frac{3}{8}$ второго), обозначим первое число $a$ : второе равно $a \cdot \frac{2}{5} : \frac{3}{8} = \frac{16}{15} a$ , тогда $a + \frac{16}{15} a = \frac{31}{15} a = 744$ , $a = 360$ .

Доли в задачах: ещё примеры

Доля от другой части. Туристы в первый день прошли $\frac{1}{7}$ маршрута, во второй — $\frac{1}{2}$ того, что в первый, то есть $\frac{1}{14}$ маршрута, в третий — оставшиеся 220 км.

За два дня: $\frac{1}{7} + \frac{1}{14} = \frac{3}{14}$ ; на третий осталось $\frac{11}{14}$ .
$\frac{11}{14}$ маршрута — 220 км, маршрут $220 : \frac{11}{14} = 280$ км.

Разность в долях. Мальчики — $\frac{3}{13}$ класса, девочки — $\frac{10}{13}$ ; девочек больше на $\frac{7}{13}$ класса, а это 14 человек. Класс: $14 : \frac{7}{13} = 26$ учеников.

Тема 2 · Математика

Основное свойство дроби

Потренироваться: задания по теме →

Калькулятор дробей

Простыми словами

Половина шоколадки — это и 1 кусок из 2, и 2 куска из 4, и 4 куска из 8. Кусков больше, но они мельче — количество шоколада то же. Это и есть основное свойство дроби.

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}

— закрашена одна и та же часть

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится равная ей дробь.

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a : m}{b : m}

a

— числитель,

b

— знаменатель,

k

— любое натуральное число,

m

— общий делитель

a

b

Например: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{15}{20}$ , $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ .

Сокращение дробей

Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Дробь несократима, если НОД числителя и знаменателя равен 1.

$\frac{30}{35}$ : общий делитель $5$ → $\frac{30 : 5}{35 : 5} = \frac{6}{7}$ .
$\frac{12}{18}$ : $НОД (12, 18) = 6$ → $\frac{2}{3}$ . Можно и в два шага: $\frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

Делите сразу на НОД — получите несократимую дробь за один шаг. Не видно НОД — сокращайте по признакам делимости (на 2, 3, 5…), пока можно.

Сокращать можно только множители, а не слагаемые: в $\frac{2 + 3}{2 + 5}$ двойки сокращать нельзя (это $\frac{5}{7}$ ).

Общий знаменатель и сравнение

Наименьший общий знаменатель равен НОК знаменателей. Для 9 и 2 это $18$ , для 7 и 3 — $21$ , для 4 и 8 — $8$ .

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. С одинаковыми числителями — та, у которой знаменатель меньше.

$\frac{7}{10}$ и $\frac{4}{5}$ : $\frac{4}{5} = \frac{8}{10}$ , $7 < 8$ → $\frac{7}{10} < \frac{4}{5}$ .
$\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$ : $НОК (3, 5) = 15$ → $\frac{10}{15}$ и $\frac{9}{15}$ → $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$ .
$\frac{9}{10}$ и $\frac{1}{4}$ : первая больше половины, вторая меньше → $\frac{9}{10} > \frac{1}{4}$ .

Быстрая прикидка — сравнить с $\frac{1}{2}$ или с $1$ . Если одна дробь больше половины, а другая меньше, считать не нужно.

Смешанные числа

a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}

a

— целая часть,

\frac{b}{c}

— дробная часть; целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель

$4 \frac{2}{11} = \frac{4 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{46}{11}$ .
$14 \frac{12}{17} = \frac{14 \cdot 17 + 12}{17} = \frac{238 + 12}{17} = \frac{250}{17}$ .
Обратно — делением с остатком: $17 : 5 = 3$ (ост. $2$ ), значит, $\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}$ .

Знаменатель при переводе не меняется: $4 \frac{2}{11} = \frac{46}{11}$ , а не $\frac{46}{44}$ .

Тема 03 · Математика, углублённый уровень

Отношения, пропорции, проценты

Потренироваться: задания по теме →

Относительность движения: лодка и река Сложный процент Калькулятор процентов Пропорции

Простыми словами

Для лимонада берут сок и воду в отношении $1 : 3$ — на каждую кружку сока три кружки воды. Отношение говорит, из скольких одинаковых частей состоит смесь. Процент — тоже отношение, только к 100. Главный приём темы: найти, что не меняется (сумма, разность, масса вещества, объём работы), и считать от этого.

Деление в отношении

Величины относятся как $p : q$ — значит, они равны $p x$ и $q x$ , где $x$ — одна часть. Сумма — $p + q$ частей, разность — $p - q$ частей.

У Коли и Миши 960 ₽ в отношении $3 : 1$ . Коля отдал Мише часть денег, и стало $8 : 7$ . Сколько отдал?

Сумма не меняется. Было: 4 части по 240 → у Коли $720$ .
Стало: 15 частей по 64 → у Коли $8 \cdot 64 = 512$ .
Отдал $720 - 512 = 208$ ₽.

Разность $9 : 8$ — это 1 часть: если она равна 22, то сумма $17 \cdot 22 = 374$ .

$a : b = 2 : 3$ , $b : c = 4 : 5$ → у $b$ сделаем одинаковое число частей (12): $a : b : c = 8 : 12 : 15$ .

Прямая и обратная пропорциональность

Прямая

y = k x

: во сколько раз больше

x

, во столько раз больше

y

. Отношение

y : x

постоянно. Пример: цена и количество товара.

Обратная

x \cdot y = const

: во сколько раз больше

x

, во столько раз меньше

y

. Пример: число рабочих и время работы; скорость и время на том же пути.

Рабочих стало на 60 % меньше. На сколько процентов больше времени?

Рабочих $\times 0, 4$ → время $\times \frac{1}{0 , 4} = 2, 5$ .
$2, 5$ — это $250 %$ , рост на $150 %$ .

При обратной пропорциональности проценты не «зеркальны»: скорость $+ 25 %$ ( $\times 1, 25$ ) — время $\times \frac{4}{5}$ , то есть $- 20 %$ , а не $- 25 %$ .

Две величины сразу и «запас»

Если результат пропорционален двум величинам (числу принтеров и времени), меняем их по очереди.

7 принтеров печатают 1680 страниц за 10 мин. Сколько напечатают 5 принтеров за 2 мин?

Один принтер за 1 мин: $1680 : 7 : 10 = 24$ страницы.
5 принтеров за 2 мин: $24 \cdot 5 \cdot 2 = 240$ .

Запас (корм, работа) удобно мерить в «корово-днях» или «человеко-днях»: сколько дней хватило бы одной корове.

Корма хватило бы 4 коровам на 24 дня. Через 14 дней 2 коровы продали. На сколько всего дней хватило корма?

Весь запас: $4 \cdot 24 = 96$ корово-дней. За 14 дней съели $4 \cdot 14 = 56$ , осталось $40$ .
Двум коровам остатка хватит на $40 : 2 = 20$ дней.
Всего $14 + 20 = 34$ дня.

Один выехал раньше. Сначала находим путь, который он проехал один ( $18 \cdot 2 = 36$ км из 84), затем — встречу или погоню по оставшемуся расстоянию: навстречу $48 : (18 + 14) = 1, 5$ ч, вдогонку — делим на разность скоростей.

Проценты подряд

+ p % \to \times (1 + \frac{p}{100}) - p % \to \times (1 - \frac{p}{100})

каждое следующее изменение считают от новой величины

$920$ ₽, $- 50 %$ , затем $- 10 %$ : $920 \cdot 0, 5 \cdot 0, 9 = 414$ ₽.
$+ 20 %$ , затем $- 20 %$ : $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ — итог $- 4 %$ , а не $0$ .
Вклад под $p %$ на $n$ лет: $S \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$ .

$B$ на $37, 5 %$ меньше $A$ . На сколько процентов $A$ больше $B$ ?

$B = 0, 625 A$ , значит $A = B : 0, 625 = 1, 6 B$ .
$A$ больше $B$ на $60 %$ (база сравнения — $B$ !).

Смеси, сплавы, сушка

m_{в - ва} = m_{смеси} \cdot \frac{p}{100}

m

— масса (кг или г),

p

— концентрация вещества в процентах

Долили воду или выпарили — вещество не изменилось.
Смешали — складываются и массы смесей, и массы вещества.
Сушка — не меняется сухое вещество.

Сухое вещество:

600 \cdot 0, 12 = 72

кг — до и после сушки

Сушёных получится $72 : 0, 64 = 112, 5$ кг.

Сплав 28 кг, меди 30 %. Сколько меди добавить, чтобы стало 65 %?

Меди сейчас $28 \cdot 0, 3 = 8, 4$ кг. Добавим $x$ .
$8, 4 + x = 0, 65 (28 + x)$ → $0, 35 x = 9, 8$ → $x = 28$ кг.

Совместная работа и движение по реке

Производительности складываются: вместе за $a$ ч и $b$ ч → $t = 1 : (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ . Сливная труба вычитается: $\frac{1}{13} - \frac{1}{23} = \frac{10}{299}$ → $t = 29, 9$ ч.
По течению $v + u$ , против $v - u$ ( $v$ — собственная скорость, $u$ — течения). Значит, $v = \frac{v _{по} + v _{пр}}{2}$ , $u = \frac{v _{по} - v _{пр}}{2}$ .

126 км по течению за 7 ч ( $18$ км/ч), против — за $15, 75$ ч ( $8$ км/ч). Собственная скорость: $(18 + 8) : 2 = 13$ км/ч.

Тема 3 · Математика

Сложение и вычитание дробей

Потренироваться: задания по теме →

Калькулятор дробей НОД и НОК

Простыми словами

Нельзя сразу сложить половину пиццы и треть пиццы: куски разного размера. Сначала режем обе на одинаковые куски — шестые. Половина — это 3 шестых, треть — 2 шестых, вместе 5 шестых.

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Складывать и вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями: числители складывают (вычитают), знаменатель оставляют.

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

a, b

— числители,

c

— общий знаменатель

Разные знаменатели: алгоритм

Найти общий знаменатель — лучше наименьший, т. е. НОК знаменателей.
Найти дополнительные множители: общий знаменатель : знаменатель каждой дроби.
Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Сложить или вычесть числители.
Сократить результат и при необходимости выделить целую часть.

$\frac{1}{5} + \frac{3}{4}$

$НОК (5, 4) = 20$ . Доп. множители: $20 : 5 = 4$ , $20 : 4 = 5$ .
$\frac{1 \cdot 4}{20} + \frac{3 \cdot 5}{20} = \frac{4}{20} + \frac{15}{20} = \frac{19}{20}$ .

$\frac{4}{12} + \frac{2}{4}$ и $\frac{3}{5} - \frac{5}{10}$

Сначала сократим: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ , $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Тогда $\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$ .
$10$ делится на $5$ , общий знаменатель $10$ : $\frac{6}{10} - \frac{5}{10} = \frac{1}{10}$ . Так же $\frac{4}{5} - \frac{1}{10} = \frac{8}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$ .

Главная ошибка — складывать знаменатели: $\frac{1}{5} + \frac{3}{4} \neq = \frac{4}{9}$ . Знаменатель показывает размер долей, он не складывается.

Если больший знаменатель делится на меньший, он и есть общий знаменатель. Если знаменатели взаимно простые — общий знаменатель равен их произведению.

Смешанные числа

Целые части складывают с целыми, дробные — с дробными. Если дробная часть получилась неправильной, из неё выделяют целую и прибавляют к целой части.

$6 \frac{1}{12} + 9 \frac{10}{12} = (6 + 9) + \frac{11}{12} = 15 \frac{11}{12}$ — целая часть $15$ .
$8 \frac{3}{8} + 8 \frac{2}{8} = 16 \frac{5}{8}$ — целая часть $16$ .
$2 \frac{3}{4} + 1 \frac{2}{4} = 3 \frac{5}{4} = 3 + 1 \frac{1}{4} = 4 \frac{1}{4}$ — дробная часть «перелилась» в целую.

$5 \frac{1}{4} - 2 \frac{3}{4}$

$\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$ — займём единицу: $5 \frac{1}{4} = 4 + 1 \frac{1}{4} = 4 \frac{5}{4}$ .
$4 \frac{5}{4} - 2 \frac{3}{4} = 2 \frac{2}{4} = 2 \frac{1}{2}$ .

Занятую единицу записывают дробью с тем же знаменателем: $1 = \frac{4}{4}$ , а не $\frac{1}{4}$ .

Тема 04 · Математика, углублённый уровень

Уравнения, модуль, раскрытие скобок

Потренироваться: задания по теме →

График с модулем

Простыми словами

Уравнение — это весы в равновесии: с обеими чашами можно делать одно и то же (прибавлять, вычитать, умножать, делить на не ноль), и равновесие сохранится. Чтобы найти $x$ , упрощаем: раскрываем скобки, собираем $x$ с одной стороны, числа — с другой. А модуль — это просто расстояние до нуля.

Раскрытие скобок и подобные слагаемые

Было	Стало
$+ (a - b + c)$	$a - b + c$ (знаки те же)
$- (a - b + c)$	$- a + b - c$ (все знаки меняются)
$- 3 (2 x - 5)$	$- 6 x + 15$ (каждое слагаемое умножаем на $- 3$ )

Подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью; их складывают, складывая коэффициенты: $14 x - 14 x - x = - x$ .

$2 (7 x + 2) - 7 (2 x + 6) - (x - 7)$ при $x = - 11, 2$ .

Раскрываем: $14 x + 4 - 14 x - 42 - x + 7$ .
Приводим подобные: $- x - 31$ .
Подставляем: $11, 2 - 31 = - 19, 8$ .

Минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого: $- (x - 7) = - x + 7$ , а не $- x - 7$ .

Линейные уравнения

Если есть дроби — умножить обе части на общий знаменатель.
Раскрыть скобки.
Слагаемые с $x$ — влево, числа — вправо (переносим со сменой знака).
Привести подобные: $a x = b$ , разделить на $a$ .

$a \neq = 0$ Один корень:

x = \frac{b}{a}

$0 \cdot x = 0$ Корень — любое число (бесконечно много). Пример:

2 (x + 9) - 2 x = 18

→

18 = 18

$0 \cdot x = b$ , $b \neq = 0$ Корней нет.

При каком $a$ корнем уравнения $a (x - 6) + x = 3 a - 93$ является $3$ ?

Подставляем $x = 3$ : $- 3 a + 3 = 3 a - 93$ .
$96 = 6 a$ , $a = 16$ .

Модуль — это расстояние

$∣ a ∣$ — расстояние от $0$ до $a$ : $∣ a ∣ = a$ при $a \geq 0$ и $∣ a ∣ = - a$ при $a < 0$ . Модуль никогда не бывает отрицательным. $∣ x - a ∣$ — расстояние между $x$ и $a$ .

∣ x - 9∣ = 27

: две точки на расстоянии 27 от числа 9

Уравнение	Решения
$∣ x - a ∣ = b$ , $b > 0$	$x = a - b$ или $x = a + b$
$∣ x - a ∣ = 0$	$x = a$
$∣ x - a ∣ = b$ , $b < 0$	корней нет
$∣ x ∣ - a = b$	$∣ x ∣ = a + b$ или $∣ x ∣ = a - b$ , затем снова раскрываем

$∣ x - 9∣ = 27$ : $x = - 18$ или $x = 36$ , сумма корней $18$ .
$∣ x - 6∣ + 5 = - 3$ → $∣ x - 6∣ = - 8$ — корней нет.

Прежде чем раскрывать модуль, «уединяем» его: переносим всё остальное в другую часть уравнения. Только после этого смотрим на знак правой части.

Модуль в выражениях

$- ∣ - 36∣ = - 36$ — минус перед модулем остаётся: модуль даёт $36$ , затем знак «минус».
$∣ x ∣ = 0, 3$ , $∣ y ∣ = 9$ : наименьшее произведение — при разных знаках: $- 0, 3 \cdot 9 = - 2, 7$ .
$∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣$ — сумма расстояний от $x$ до $a$ и $b$ ; наименьшее значение равно $∣ a - b ∣$ при $x$ между $a$ и $b$ . Для трёх модулей минимум — в средней точке.

Задачи, решаемые уравнением

За $x$ берём величину, через которую удобно выразить остальные (обычно меньшую или первую).
«В $k$ раз больше» — умножить на $k$ , «на $a$ больше» — прибавить $a$ .
Составляем уравнение, решаем, отвечаем на вопрос задачи.

Три числа в сумме 50; второе на 6 больше первого, третье в 5 раз больше второго.

$x$ , $x + 6$ , $5 (x + 6)$ .
$x + x + 6 + 5 x + 30 = 50$ → $7 x = 14$ → $x = 2$ .

Пять последовательных чётных с суммой 540: среднее из них $540 : 5 = 108$ , числа $104, 106, 108, 110, 112$ — наибольшее $112$ .

Ещё задачи на уравнение

В копилке 52 монеты по 2 и по 5 руб., всего 167 руб. Сколько пятирублёвых?

Пятирублёвых $x$ , двухрублёвых $52 - x$ .
$5 x + 2 (52 - x) = 167$ → $3 x + 104 = 167$ → $x = 21$ .

На первой полке в 3 раза больше книг, чем на второй. Переставили 8 книг — стало поровну. Сколько книг было на второй?

Вторая $x$ , первая $3 x$ . После: $3 x - 8 = x + 8$ .
$2 x = 16$ , $x = 8$ ; на первой было $24$ .

Отец сейчас в 8 раз старше сына, через 4 года будет старше в 4 раза. Сколько лет отцу?

Сыну $x$ , отцу $8 x$ . Через 4 года: $8 x + 4 = 4 (x + 4)$ .
$4 x = 12$ , $x = 3$ ; отцу $24$ года.

Уравнение с дробями $\frac{x - 6}{3} - \frac{x - 6}{5} = 2$ : умножаем обе части на $15$ : $5 (x - 6) - 3 (x - 6) = 30$ , $2 (x - 6) = 30$ , $x = 21$ .

Тема 4 · Математика

Умножение и деление дробей

Потренироваться: задания по теме →

Калькулятор дробей

Простыми словами

«Половина от трети торта» — это $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ торта. Умножить на дробь — значит взять от числа такую часть. Поэтому при умножении на дробь, меньшую 1, результат уменьшается.

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

: дважды закрашены 6 клеток из 12

Умножение дробей

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель (

b \neq = 0, d \neq = 0

)

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ .
$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .
Дробь на натуральное число: $\frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{9} = \frac{2}{3}$ .

Смешанные числа перед умножением переводят в неправильные дроби: $1 \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$ .

Сокращайте до того, как перемножать: в $\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 4}$ сразу сократите $2$ и $4$ на $2$ — получится $\frac{3}{10}$ без больших чисел.

При умножении общий знаменатель не нужен — это нужно только для сложения и вычитания.

Деление дробей

Два числа взаимно обратные, если их произведение равно 1: $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$ , $5$ и $\frac{1}{5}$ .

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

разделить на дробь — значит умножить на обратную ей («перевёрнутую») дробь (

c \neq = 0

)

$\frac{6}{12} : \frac{1}{3} = \frac{6}{12} \cdot \frac{3}{1} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ .
$\frac{4}{5} : \frac{1}{7} = \frac{4}{5} \cdot 7 = \frac{28}{5} = 5 \frac{3}{5}$ .

Переворачивают только делитель (вторую дробь), первую оставляют как есть.

Дробь от числа и число по дроби

Дробь от числаумножить число на дробь:

\frac{3}{7}

от

98

= 98 \cdot \frac{3}{7} = 14 \cdot 3 = 42

Число по его дробиразделить часть на дробь:

\frac{6}{7}

числа

= 54

→ число

= 54 : \frac{6}{7} = 54 \cdot \frac{7}{6} = 63

$\frac{5}{9}$ от $297$ : $297 : 9 = 33$ (одна девятая), $33 \cdot 5 = 165$ .
$\frac{4}{6}$ числа равны $156$ : одна шестая $= 156 : 4 = 39$ , всё число $= 39 \cdot 6 = 234$ .

Удобный путь «через одну долю»: делим на знаменатель — находим одну долю, умножаем на числитель — нужную часть. Для обратной задачи — наоборот.

Проверка здравым смыслом: часть меньше целого. Если $\frac{6}{7}$ числа равны 54, само число больше 54; получили меньше — перепутали действие.

Тема 05 · Математика, углублённый уровень

Координатная прямая и плоскость

Потренироваться: задания по теме →

Графики движения: подбери график

Простыми словами

Координатная прямая — это линейка, у которой есть отрицательная часть. Расстояние между двумя точками — сколько шагов от одной до другой, середина — точка ровно посередине. Почти любая задача темы решается двумя формулами и рисунком.

A B = ∣ a - b ∣ M = \frac{a + b}{2}

a, b

— координаты точек

A

B

;

∣ \cdot ∣

— модуль (расстояние всегда неотрицательно);

M

— координата середины

Середина и деление отрезка

$M$ — середина $A B$ , известны $a$ и $m$ → $b = 2 m - a$ . Для $A (2, 8)$ , $M (0)$ : $b = - 2, 8$ .
Точка $K$ делит $A B$ в отношении $A K : K B = m : n$ → $k = a + (b - a) \cdot \frac{m}{m + n}$ .
Симметрия относительно начала отсчёта: $a \to - a$ .

$A (3, 4)$ , $A_{1}$ симметрична $A$ относительно 0, $C (7, 8)$ , $D$ — середина $A_{1} C$ : $A_{1} (- 3, 4)$ , $D = \frac{- 3 , 4 + 7 , 8}{2} = 2, 2$ .

Расстояния и точки с условием

От точки $a$ на расстоянии $d$ лежат две точки: $a - d$ и $a + d$ . Условие $A C = k \cdot BC$ ( $k \neq = 1$ ) тоже выполняется в двух точках: внутри отрезка $A B$ и снаружи — за той точкой, к которой $C$ ближе.

A C = 4 \cdot BC

: внутри —

C_{1} (- 6)

, снаружи за

B

—

C_{2} (- 22)

$A B = 30$ . Внутри: $A C + BC = 30$ , $5 BC = 30$ , $BC = 6$ → $C_{1} = - 12 + 6 = - 6$ .
Снаружи (за $B$ ): $A C - BC = 30$ , $3 BC = 30$ , $BC = 10$ → $C_{2} = - 22$ .
Сумма координат: $- 28$ .

Расстояние — всегда «большая координата минус меньшая»: от $5, 2$ до $- 10, 5$ будет $5, 2 - (- 10, 5) = 15, 7$ .

Движение точек

x (t) = a + v t (вправо) x (t) = a - v t (влево)

a

— начальная координата,

v

— скорость (ед./с),

t

— время (с)

Из $A (9)$ вправо со скоростью 5, из $B (39)$ влево со скоростью 3. Где встреча?

$9 + 5 t = 39 - 3 t$ → $8 t = 30$ , $t = 3, 75$ с.
$x = 9 + 5 \cdot 3, 75 = 27, 75$ .

Вдогонку (обе вправо, из $A (4)$ со скоростью 5 и из $B (39)$ со скоростью 1): $t = 35 : (5 - 1) = 8, 75$ , встреча в $4 + 5 \cdot 8, 75 = 47, 75$ .

Навстречу: $t = расстояние : (v_{1} + v_{2})$ . Вдогонку: $t = расстояние : (v_{1} - v_{2})$ .

Целые точки

Целых чисел от $a$ до $b$ включительно: $b - a + 1$ ; строго между $a$ и $b$ : $b - a - 1$ (между $- 32$ и $- 12$ : $- 12 - (- 32) - 1 = 19$ ).
$a < ∣ x ∣ < b$ — два промежутка, симметричных относительно нуля: целых положительных $x$ от $a + 1$ до $b - 1$ и столько же отрицательных. Для $11 < ∣ x ∣ < 21$ : от $12$ до $20$ — $9$ чисел, всего $2 \cdot 9 = 18$ .
$∣ x - a ∣ \leq b$ ⇔ $a - b \leq x \leq a + b$ (точки на расстоянии не больше $b$ от $a$ ). Для строгого $<$ концы не берём.
$∣ x ∣ \leq a$ , $∣ y ∣ \leq b$ : $(2 a + 1) (2 b + 1)$ целых точек; не на осях — $2 a \cdot 2 b$ .
Четверти: I $(+; +)$ , II $(-; +)$ , III $(-; -)$ , IV $(+; -)$ .

Сумма целых $x$ : $∣ x + 12∣ < 15$ .

$∣ x - (- 12) ∣ < 15$ : $- 27 < x < 3$ , целые от $- 26$ до $2$ — их $29$ .
Сумма (по Гауссу): $\frac{( - 26 + 2 ) \cdot 29}{2} = - 348$ .

Прыжки по очереди

Если точка прыгает поочерёдно на $p$ вправо и на $q$ влево, удобно считать парами прыжков: одна пара сдвигает её на $p - q$ .

Кузнечик в точке $- 15$ прыгает: на 4 вправо, на 7 влево, снова на 4 вправо, на 7 влево… Где он окажется после 22 прыжков?

Пара прыжков: $4 - 7 = - 3$ .
22 прыжка — это 11 пар: сдвиг $11 \cdot (- 3) = - 33$ .
$- 15 + (- 33) = - 48$ .

Если прыжков нечётное число, после всех пар остаётся ещё один прыжок — первый из пары (вправо). После 23 прыжков: $- 48 + 4 = - 44$ .

Графики зависимостей

Горизонтальный участок — остановка: с 40-й по 70-ю минуту, 30 мин

Наклонный участок — движение: чем круче, тем быстрее. Горизонтальный — стоянка. Пересечение двух графиков — встреча.
Средняя скорость = весь путь : всё время (вместе со стоянками).
Прямая через начало координат — прямая пропорциональность $y = k x$ . Через $A (2; 8)$ : $k = 8 : 2 = 4$ ; при $x = - 12$ : $y = - 48$ .

Тема 5 · Математика

Отношения и пропорции. Масштаб

Потренироваться: задания по теме →

Пропорции

Простыми словами

В рецепте на 2 стакана муки — 1 стакан молока. Для 6 стаканов муки молока нужно в 3 раза больше — 3 стакана. «Мука к молоку как 2 к 1» — это отношение, а равенство $2 : 1 = 6 : 3$ — пропорция.

Отношение двух чисел — их частное $a : b$ ; оно показывает, во сколько раз одно больше другого (или какую часть составляет). Пропорция — равенство двух отношений $a : b = c : d$ . Числа $a$ и $d$ — крайние члены, $b$ и $c$ — средние.

Основное свойство пропорции

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

произведение крайних членов равно произведению средних (

b \neq = 0, d \neq = 0

)

Отсюда любой неизвестный член: крайний = произведение средних : известный крайний; средний = произведение крайних : известный средний.

$22 : 12 = 308 : x$

$x$ — крайний член: $22 \cdot x = 12 \cdot 308$ .
$x = \frac{12 \cdot 308}{22} = 12 \cdot 14 = 168$ .

Удобнее заметить: $308 : 22 = 14$ — первый член увеличился в 14 раз, значит, и $x = 12 \cdot 14 = 168$ . Так же $21 : 13 = 42 : x$ → $x = 13 \cdot 2 = 26$ .

Подставьте ответ и сравните «крест-накрест»: $22 \cdot 168 = 3696$ и $12 \cdot 308 = 3696$ ✓.

Прямая и обратная пропорциональность

Прямаяво сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз увеличивается другая. Путь и время при постоянной скорости; цена и количество товара.

Обратнаяво сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз уменьшается другая. Число рабочих и время работы; скорость и время на одном пути.

4 рабочих выполняют заказ за 28 дней. За сколько дней выполнят заказ 7 рабочих?

Рабочих больше — дней меньше: зависимость обратная, произведение «рабочие × дни» постоянно.
Объём работы: $4 \cdot 28 = 112$ «человеко-дней».
$112 : 7 = 16$ дней.

Так же: $15 \cdot 12 = 180$ , $180 : 20 = 9$ дней.

Не всякая зависимость пропорциональна. Возраст и рост ребёнка растут вместе, но не «во столько же раз». Сначала спросите себя: «во сколько раз больше одно — во столько ли раз больше (меньше) другое?»

Масштаб

Масштаб — отношение длины на карте к длине на местности. Запись $1 : 50000$ означает, что 1 см на карте соответствует $50000$ см $= 500$ м на местности.

L = l \cdot M

l

— длина на карте,

M

— число из масштаба

1 : M

L

— длина на местности (в тех же единицах, что

l

)

Масштаб $1 : 200000$ , на карте 17 см. Какое расстояние на местности в км?

$17 \cdot 200000 = 3400000$ см.
Переводим: $1$ км $= 100000$ см, значит, $3400000$ см $= 34$ км.

Ещё: $1 : 50000$ , 3 см → $150000$ см $= 1500$ м $= 1, 5$ км; 10 см → $500000$ см $= 5$ км.

Чтобы из сантиметров получить километры, зачеркните у числа пять нулей: $200000$ см $= 2$ км, значит, в 1 см карты $1 : 200000$ — 2 км.

Деление числа в данном отношении

Разделить число в отношении $a : b$ — значит разбить его на $a + b$ равных частей и отдать одному $a$ частей, другому $b$ .

Деление числа 320 в отношении

9 : 7

Всего частей: $9 + 7 = 16$ .
Одна часть: $320 : 16 = 20$ .
Бо́льшая часть: $9 \cdot 20 = 180$ (меньшая — $7 \cdot 20 = 140$ ; проверка $180 + 140 = 320$ ✓).

$143$ в отношении $6 : 5$ : $143 : 11 = 13$ , бо́льшая часть $6 \cdot 13 = 78$ .

Тема 06 · Математика, углублённый уровень

Окружность и круг: составные фигуры

Потренироваться: задания по теме →

Площадь круга

Простыми словами

У любой окружности длина примерно в 3,14 раза больше диаметра — у монеты и у колеса обозрения одинаково. Это число называют $π$ («пи»). Окружность — это линия (обод колеса), круг — часть плоскости внутри неё (блин). У окружности есть длина, у круга — площадь.

C = 2 π R = π d S = π R^{2} π \approx 3, 14

C

— длина окружности,

S

— площадь круга,

R

— радиус,

d = 2 R

— диаметр

Длина окружности и колёса

Радиус по площади: $R^{2} = S : π$ . Если $S = 3215, 36$ см², то $R^{2} = 1024$ , $R = 32$ см, $C = 2 \cdot 3, 14 \cdot 32 = 200, 96$ см.
Дуга с углом $α$ : $l = C \cdot \frac{α}{36 0 ^{\circ}}$ ; полуокружность диаметра $d$ — $\frac{π d}{2}$ .
За один оборот колесо проходит длину своей окружности: путь $= C \cdot n$ ( $n$ — число оборотов).
Колёса, связанные ремнём или зубцами, за одно время проходят одинаковую длину обода: $d_{1} n_{1} = d_{2} n_{2}$ .

Отрезок 208 см разделили на 8 частей и на каждой построили полуокружность. Длина волнистой линии?

Каждая полуокружность: $\frac{π d}{2}$ ; вместе $\frac{π ( d _{1} + \dots + d _{8} )}{2} = \frac{π \cdot 208}{2}$ .
$3, 14 \cdot 104 = 326, 56$ см. Число частей не важно!

Площадь круга, сектора и кольца

Фигура	Площадь
Сектор с углом $α$	$S = π R^{2} \cdot \frac{α}{36 0 ^{\circ}}$
Полукруг диаметра $d$	$S = \frac{π d ^{2}}{8}$
Кольцо (радиусы $R > r$ )	$S = π (R^{2} - r^{2})$

Кольцо площадью $125, 6$ см², внешний радиус 7 см. Внутренний?

$R^{2} - r^{2} = 125, 6 : 3, 14 = 40$ .
$r^{2} = 49 - 40 = 9$ , $r = 3$ см.

Площадь кольца — не $π (R - r)^{2}$ : для радиусов 12 и 6 верно $3, 14 \cdot (144 - 36) = 339, 12$ см², а не $3, 14 \cdot 36$ .

Составные фигуры

Слева:

a^{2} - \frac{π a ^{2}}{4}

. Справа (круг вписан,

R = \frac{a}{2}

a^{2} - π (\frac{a}{2})^{2}

Квадрат $7$ см без четверти круга радиуса 7: $49 - \frac{3 , 14 \cdot 49}{4} = 49 - 38, 465 = 10, 535$ см².
Квадрат $20$ см без вписанного круга ( $R = 10$ ): $400 - 314 = 86$ см².
Квадрат, вписанный в круг радиуса $R$ : его площадь $2 R^{2}$ (диагональ равна $2 R$ ).
«Стадион» (прямоугольник $w \times h$ с полукругами на сторонах $h$ ): периметр $2 w + πh$ .

Периметр — только внешняя граница: прямые стороны плюс дуги. Внутренние линии разреза не считаются.

Фигуры из полуокружностей

На отрезке длиной $d$ построена большая полуокружность, а на его частях $d_{1}$ и $d_{2}$ ( $d_{1} + d_{2} = d$ ) — две маленькие с той же стороны.

Длина полуокружности $\frac{π d}{2}$ . Две маленькие вместе $\frac{π ( d _{1} + d _{2} )}{2} = \frac{π d}{2}$ — столько же, сколько большая. Периметр фигуры: $\frac{π d}{2} \cdot 2 = π d$ . Для $d = 96$ : $3, 14 \cdot 96 = 301, 44$ см.

$d = 28$ см, части $22$ и $6$ см. Площадь фигуры между полуокружностями?

Площадь полукруга $\frac{π R ^{2}}{2}$ : большой ( $R = 14$ ) — $\frac{3 , 14 \cdot 196}{2} = 307, 72$ см².
Маленькие ( $R = 11$ и $R = 3$ ): $189, 97$ и $14, 13$ см².
$307, 72 - 189, 97 - 14, 13 = 103, 62$ см².

Для длины маленькие дуги «съедают» ровно столько, сколько большая, а для площади — нет: площадь зависит от квадрата радиуса.

Изменение радиуса

Радиус × $k$ Длина окружности ×

k

, площадь ×

k^{2}

. Длину увеличили в 5 раз — площадь в 25 раз.

Радиус + 10 %Площадь ×

1, 1^{2} = 1, 21

— на 21 %.

Радиус + $Δ R$ Длина +

2 π \cdot Δ R

— не зависит от самого радиуса!

Длину окружности увеличили на $144, 44$ см: $Δ R = 144, 44 : 6, 28 = 23$ см.

Если верёвку вокруг Земли по экватору удлинить всего на 6,28 м, она поднимется над землёй на 1 м — как и вокруг мяча: $Δ R = 6, 28 : (2 \cdot 3, 14) = 1$ м.

Тема 6 · Математика

Окружность и круг

Потренироваться: задания по теме →

Площадь круга

Простыми словами

Обруч — это окружность (только линия), а блин — круг (вся часть плоскости внутри). Длину окружности измеряют ниткой вдоль края, а площадь круга — сколько места занимает блин.

Радиус

R

— от центра до окружности; диаметр

d

— через центр от края до края

Окружность — линия, все точки которой находятся на одном расстоянии от центра. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Радиус $R$ — отрезок от центра до точки окружности, диаметр $d = 2 R$ .

Длина окружности

Отношение длины любой окружности к её диаметру одно и то же — это число $π$ («пи»). $π = 3, 14159 \dots$ , в расчётах берут $π \approx 3, 14$ .

C = 2 π R = π d

C

— длина окружности,

R

— радиус,

d

— диаметр (все в одних единицах: см, м)

По радиусу: $R = 60$ см → $C = 2 \cdot 3, 14 \cdot 60 = 376, 8$ см.
По диаметру: $d = 48$ см → $C = 3, 14 \cdot 48 = 150, 72$ см.

Длина окружности $C = 119, 32$ см. Найдите радиус.

Из $C = 2 π R$ получаем $R = \frac{C}{2 π}$ .
$R = \frac{119 , 32}{2 \cdot 3 , 14} = \frac{119 , 32}{6 , 28} = 19$ см.

Длина окружности чуть больше трёх диаметров: обруч диаметром 1 м — это примерно 3,14 м по краю.

Площадь круга

S = π R^{2}

S

— площадь круга (см², м²),

R

— радиус

$R = 9$ см → $S = 3, 14 \cdot 9^{2} = 3, 14 \cdot 81 = 254, 34$ см².
$R = 38$ см → $S = 3, 14 \cdot 1444 = 4534, 16$ см².
$R = 5$ см → $C = 2 \cdot 3, 14 \cdot 5 = 31, 4$ см, $S = 3, 14 \cdot 25 = 78, 5$ см².

Не путайте: в длине окружности радиус в первой степени, в площади — во второй. Если дан диаметр, а нужна площадь, сначала найдите $R = d : 2$ : при $d = 10$ площадь $π \cdot 5^{2}$ , а не $π \cdot 1 0^{2}$ .

Единицы подскажут формулу: длина — в см (одна «длина» $R$ ), площадь — в см² (две «длины» $R \cdot R$ ).

Тема 07 · Математика, углублённый уровень

Координатная плоскость: симметрия, углы, площади

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Координаты превращают геометрию в арифметику. Длина отрезка вдоль клеток — это разность координат, площадь фигуры на клетчатой бумаге — прямоугольник минус «уголки», а симметричную точку находят простым правилом. Углы же подчиняются двум законам: смежные дают $18 0^{\circ}$ , а все углы вокруг точки — $36 0^{\circ}$ .

Площадь по координатам вершин

Многоугольник достраивают до прямоугольника со сторонами вдоль линий сетки и вычитают лишние прямоугольные треугольники. Катеты каждого — разности координат концов стороны.

Прямоугольник

8 \times 4 = 32

; лишние треугольники

12 + 4 + 3 = 19

;

S_{A BC} = 13

$A (2; - 6)$ , $B (- 4; - 2)$ , $C (4; - 3)$ .

Прямоугольник: $x$ от $- 4$ до $4$ (ширина 8), $y$ от $- 6$ до $- 2$ (высота 4) → $S = 32$ .
Треугольник у $A B$ : катеты $6$ и $4$ → $12$ . У $BC$ : $8$ и $1$ → $4$ . У $C A$ : $2$ и $3$ → $3$ .
$S = 32 - (12 + 4 + 3) = 13$ .

S = S_{прям .} - \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2} + a _{3} b _{3}}{2}

a_{i}, b_{i}

— катеты лишних прямоугольных треугольников

Длина отрезка вдоль оси — модуль разности: от $- 4$ до $4$ — это $8$ , а не $0$ .

Симметрия точки

Относительно	Правило
оси $O x$	$(x; y) \to (x; - y)$
оси $O y$	$(x; y) \to (- x; y)$
начала $O$	$(x; y) \to (- x; - y)$
прямой $x = a$	$(x; y) \to (2 a - x; y)$
прямой $y = b$	$(x; y) \to (x; 2 b - y)$
прямой $y = x$	$(x; y) \to (y; x)$

Почему $2 a - x$ : прямая $x = a$ — середина между точкой и её отражением, значит $\frac{x + x ^{'}}{2} = a$ .

$A (- 7; 3)$ относительно $y = - 4$ : $y^{'} = 2 \cdot (- 4) - 3 = - 11$ , $B (- 7; - 11)$ , сумма координат $- 18$ .
$A (- 3; - 5)$ относительно $x = - 2$ : $x^{'} = - 4 + 3 = - 1$ ; $A B = ∣ - 1 - (- 3) ∣ = 2$ .

Смежные и вертикальные углы

СмежныеВ сумме

18 0^{\circ}

ВертикальныеРавны (образуются при пересечении двух прямых).

Вокруг точкиВсе углы вместе —

36 0^{\circ}

Угол между биссектрисами соседних углов $α$ и $β$ : $\frac{α + β}{2}$ ; биссектрисы смежных углов перпендикулярны ( $9 0^{\circ}$ ).
При пересечении двух прямых сумма всех четырёх углов $36 0^{\circ}$ : если три дают $30 8^{\circ}$ , четвёртый $5 2^{\circ}$ .

4 луча делят плоскость на углы в отношении $7 : 1 : 4 : 6$ . Всего $18$ частей $= 36 0^{\circ}$ , часть $2 0^{\circ}$ , наименьший угол $2 0^{\circ}$ .

Стрелки часов

φ_{мин} = 6 m^{\circ} φ_{час} = (30 h + 0, 5 m)^{\circ}

положение от «12» по ходу часов;

h

— часы (0–11),

m

— минуты

Каждое деление-число на циферблате — $3 0^{\circ}$ : «7» стоит на $21 0^{\circ}$ . Угол между стрелками в $h$ ч $m$ мин: $∣30 h - 5, 5 m ∣$ (если больше $18 0^{\circ}$ — вычесть из $36 0^{\circ}$ ). Пример: 3:40 → $∣90 - 220∣ = 13 0^{\circ}$ .

8:08 — угол между часовой стрелкой и «7». Часовая: $30 \cdot 8 + 0, 5 \cdot 8 = 24 4^{\circ}$ ; до «7»: $24 4^{\circ} - 21 0^{\circ} = 3 4^{\circ}$ .
За 115 мин часовая повернётся на $0, 5 \cdot 115 = 57, 5^{\circ}$ .

Прямоугольники и ступенчатые фигуры

Ступенчатую фигуру считают как описанный прямоугольник минус вырезы: вершины $(0; 0), (8; 0), (8; 2), (7; 2), (7; 5), (0; 5)$ → $8 \cdot 5 - 1 \cdot 3 = 37$ .
Периметр «лесенки» с прямыми углами равен периметру описанного прямоугольника.
Площадь объединения: $S_{1} + S_{2} - S_{общей части}$ .

$A BC D$ : $A (- 6; - 1)$ , $C (- 1; 5)$ ; $K L MN$ : $K (- 5; 4)$ , $M (2; 10)$ . Площадь, покрытая хотя бы одним.

$S_{1} = 5 \cdot 6 = 30$ , $S_{2} = 7 \cdot 6 = 42$ .
Общая часть: $x$ от $- 5$ до $- 1$ (4), $y$ от $4$ до $5$ (1) → $4$ .
$30 + 42 - 4 = 68$ .

Общую часть не вычтешь — посчитаешь её дважды. Общая часть по каждой оси: от большего из левых концов до меньшего из правых.

Вершины прямоугольника и квадрата

Если стороны идут вдоль линий сетки, у соседних вершин совпадает одна координата.

Вершины прямоугольника $A (2; - 1)$ , $B (2; - 3)$ , $C (- 1; - 3)$ . Найдите $D$ .

$A B$ вертикальна ( $x = 2$ ), $BC$ горизонтальна ( $y = - 3$ ).
$D$ берёт $x$ от $C$ и $y$ от $A$ : $D (- 1; - 1)$ , сумма координат $- 2$ .

Противоположные вершины квадрата со сторонами вдоль осей: $A (0; 1)$ , $C (6; - 5)$ . Сторона — разность абсцисс $∣6 - 0∣ = 6$ (она равна и разности ординат $∣1 - (- 5) ∣ = 6$ ), площадь $36$ .

Отрезок и его отражение относительно оси $O x$ образуют трапецию; её площадь находят тем же способом — описанный прямоугольник минус лишние треугольники.

Тема 7 · Математика

Положительные и отрицательные числа

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Термометр показывает и $+ 5^{\circ}$ , и $- 5^{\circ}$ : это одинаково далеко от нуля, но в разные стороны. Знак говорит, в какую сторону от нуля, а модуль — как далеко.

Числа со знаком «−» называют отрицательными, со знаком «+» (или без знака) — положительными. Нуль не относится ни к тем, ни к другим. Натуральные числа, противоположные им и нуль вместе образуют целые числа.

Координатная прямая и модуль

Координатная прямая — прямая с началом отсчёта $0$ , единичным отрезком и направлением. Положительные числа лежат справа от нуля, отрицательные — слева.

5

- 5

— противоположные числа: одинаково далеко от нуля

Модуль $∣ a ∣$ — расстояние от нуля до точки $a$ . Он никогда не бывает отрицательным: $∣7∣ = 7$ , $∣ - 7∣ = 7$ , $∣0∣ = 0$ .

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

у положительного числа и нуля модуль — само число, у отрицательного — число без минуса

Противоположные числа

Противоположные числа отличаются только знаком и лежат симметрично относительно нуля. Число, противоположное $a$ , записывают $- a$ . Их сумма равна нулю: $a + (- a) = 0$ .

Противоположное к $22$ — это $- 22$ ; противоположное к $- 91$ — это $91$ , ведь $- (- 91) = 91$ . Противоположное к нулю — сам нуль.

$- a$ не всегда отрицательное число: при $a = - 3$ получаем $- a = 3$ .

Сравнение чисел

На координатной прямой из двух чисел больше то, что правее.

Разные знакилюбое положительное больше нуля и больше любого отрицательного:

- 56 < 6

Оба отрицательныебольше то, у которого модуль меньше:

- 3 > - 8

, так как

3 < 8

Представьте мороз: $- 3^{\circ}$ теплее, чем $- 8^{\circ}$ . «Чем ближе к нулю отрицательное, тем оно больше».

Сколько целых чисел между двумя

n = b - a - 1

a < b

— целые числа;

n

— количество целых чисел строго между ними (сами

a

b

не считаем)

Между $5$ и $9$ : числа $6, 7, 8$ — их $9 - 5 - 1 = 3$ .
Между $- 4$ и $7$ : $7 - (- 4) - 1 = 11 - 1 = 10$ . Проверка: $- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ — десять чисел.

Не забудьте нуль, когда считаете от отрицательного к положительному: он тоже целое число.

Тема 8 · Математика

Сложение и вычитание рациональных чисел

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Положительное число — это доход, отрицательное — долг. Заработали 25 ₽ и потратили 10 ₽: $25 + (- 10) = 15$ . Два долга складываются в больший долг: $- 5 + (- 3) = - 8$ .

Рациональные числа — все числа, которые можно записать дробью $\frac{m}{n}$ ( $m$ — целое, $n$ — натуральное): целые, обыкновенные и конечные десятичные дроби, положительные и отрицательные.

Сложение

Знаки одинаковыесложить модули и поставить общий знак:

- 5 + (- 3) = - 8

;

- 15 + (- 6) + (- 16) = - 37

Знаки разныеиз большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с бо́льшим модулем:

- 7 + 4 = - 3

;

25 + (- 10) = 15

Прибавить положительное — шагнуть вправо, отрицательное — влево

Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (- a) = 0$ . В длинной сумме сначала вычеркните такие пары: $- 8 + 5 + 8 = 5$ .

Вычитание

a - b = a + (- b)

вычесть число

b

— то же, что прибавить противоположное ему число

- b

Отдельного правила для вычитания запоминать не нужно: заменяем его сложением и применяем правила выше.

$3 - 8 = 3 + (- 8) = - 5$ .
$- 4 - (- 9) = - 4 + 9 = 5$ .
$11 - (- 2) = 11 + 2 = 13$ ; $27 - (- 6) = 33$ .

«Минус на минус» в вычитании даёт плюс: $11 - (- 2) = 11 + 2$ . Частая ошибка — получить $9$ , просто убрав скобки.

Сумма нескольких чисел

Удобно сложить отдельно все положительные, отдельно все отрицательные, а потом сложить два результата.

$- 19 + (- 17) + (- 15)$ и $12 + (- 7) + 5 + (- 10)$

Все отрицательные: $19 + 17 + 15 = 51$ , ответ $- 51$ .
Положительные: $12 + 5 = 17$ , отрицательные: $- 7 + (- 10) = - 17$ . Итого $17 + (- 17) = 0$ .

Расстояние между точками

A B = ∣ a - b ∣

a

b

— координаты точек

A

B

на прямой; расстояние не бывает отрицательным

Точки $- 11$ и $10$ : $∣ - 11 - 10∣ = ∣ - 21∣ = 21$ .
Точки $25$ и $- 15$ : $∣25 - (- 15) ∣ = ∣40∣ = 40$ .

Если точки по разные стороны от нуля, расстояние — сумма их модулей: $11 + 10 = 21$ . Если по одну сторону — разность модулей: между $- 9$ и $- 4$ расстояние $9 - 4 = 5$ .

Тема 9 · Математика

Умножение и деление рациональных чисел

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Каждый день долг растёт на 5 ₽, то есть изменение $- 5$ . Через 3 дня долг больше на 15: $3 \cdot (- 5) = - 15$ . А 3 дня назад долг был на 15 меньше: $(- 3) \cdot (- 5) = + 15$ . Два «минуса» — отменить долг в прошлом — дают «плюс».

Модули перемножают (делят), а знак определяют так: одинаковые знаки — плюс, разные — минус. Для деления правило точно такое же.

Знаки множителей	Знак результата	Пример
$+$ и $+$	$+$	$4 \cdot 5 = 20$
$-$ и $-$	$+$	$(- 4) \cdot (- 5) = 20$
$+$ и $-$	$-$	$17 \cdot (- 16) = - 272$
$-$ и $+$	$-$	$(- 10) \cdot 5 = - 50$

Умножение и деление

$(- 14) : 14$ : знаки разные, $14 : 14 = 1$ → $- 1$ .
$(- 204) : 17$ : знаки разные, $204 : 17 = 12$ → $- 12$ .
$(- 2) \cdot (- 3) \cdot (- 5)$ : три минуса → $- 30$ .

В произведении нескольких чисел считайте минусы: чётное число минусов — результат положительный, нечётное — отрицательный.

На нуль делить нельзя, а $0$ , умноженный на любое число, равен $0$ — без всякого знака.

Раскрытие скобок и подобные слагаемые

Плюс перед скобкамискобки опускают, знаки не меняют:

5 + (x - 3) = 5 + x - 3

Минус перед скобкамизнаки всех слагаемых внутри меняют на противоположные:

7 - (4 - x) = 7 - 4 + x = 3 + x

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть и отличаются только числовым множителем — коэффициентом. Чтобы их сложить, складывают коэффициенты, буквенную часть оставляют: $5 x + 3 x = 8 x$ .

Упростите $- 5 x + 8 x - 4$ и найдите значение при $x = - 12$ .

$- 5 x + 8 x = 3 x$ , выражение равно $3 x - 4$ .
$3 \cdot (- 12) - 4 = - 36 - 4 = - 40$ .

Так же: $- 5 x + (- 9 x) + 4 = - 14 x + 4$ ; при $x = - 9$ : $- 14 \cdot (- 9) + 4 = 126 + 4 = 130$ .

Коэффициент берут вместе со знаком перед ним: в $8 - 3 x$ коэффициент при $x$ равен $- 3$ .

Решение уравнений

1) Слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак. 2) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

- 4 x + 18 = 10 \Rightarrow - 4 x = 10 - 18

$- 4 x + 18 = 10$

Переносим $18$ : $- 4 x = 10 - 18 = - 8$ .
Делим на коэффициент $- 4$ : $x = (- 8) : (- 4) = 2$ .
Проверка: $- 4 \cdot 2 + 18 = 10$ ✓.

$6 x - 26 = 64$ → $6 x = 90$ → $x = 15$ .

Делят на коэффициент со знаком: из $- 4 x = - 8$ получаем $x = 2$ , а не $- 2$ .

Тема 10 · Математика

Координатная плоскость. Диаграммы

Потренироваться: задания по теме →

Диаграммы: столбчатая, круговая и таблица

Простыми словами

В кинотеатре место задают двумя числами: ряд и номер кресла. На плоскости так же — точку задают двумя числами: на сколько шагать вправо-влево и на сколько вверх-вниз от начала.

Две перпендикулярные координатные прямые с общим началом $O$ образуют координатную плоскость. Горизонтальная ось — ось абсцисс ( $O x$ ), вертикальная — ось ординат ( $O y$ ). Точка записывается $A (x; y)$ : сначала абсцисса $x$ , потом ордината $y$ .

Координаты точки и четверти

Четверти нумеруют против часовой стрелки, начиная с правой верхней

Из точки опускаем перпендикуляр на ось $O x$ — получаем $x$ . Для точки $A$ : $x = 2$ .
Проводим перпендикуляр на ось $O y$ — получаем $y$ . Для $A$ : $y = - 5$ .
Записываем в скобках через точку с запятой: $A (2; - 5)$ .

Четверть	Знак $x$	Знак $y$	Пример
I	$+$	$+$	$(4; 3)$
II	$-$	$+$	$(- 3; 2)$
III	$-$	$-$	$(- 1; - 4)$
IV	$+$	$-$	$(2; - 5)$

Точки, у которых $x = 0$ или $y = 0$ , лежат на осях и ни к одной четверти не относятся: $(0; 7)$ — на оси $O y$ , $(- 2; 0)$ — на оси $O x$ .

Не переставляйте координаты: $(2; - 5)$ и $(- 5; 2)$ — разные точки. Первой всегда идёт $x$ («сначала по коридору, потом по лестнице»).

Длина отрезка на плоскости

Если у концов отрезка одинаковые абсциссы, отрезок вертикальный, и его длина — разность ординат. Если одинаковые ординаты — горизонтальный, длина — разность абсцисс.

A B = ∣ y_{1} - y_{2} ∣ при x_{1} = x_{2}, A B = ∣ x_{1} - x_{2} ∣ при y_{1} = y_{2}

A (x_{1}; y_{1})

B (x_{2}; y_{2})

— концы отрезка; модуль нужен, чтобы длина не вышла отрицательной

$A (5; - 5)$ и $B (5; 2)$ . Найдите $A B$ .

Абсциссы равны ( $5$ и $5$ ) — отрезок вертикальный.
$A B = ∣2 - (- 5) ∣ = ∣2 + 5∣ = 7$ .

Так же: $A (3; 3)$ , $B (3; - 2)$ → $A B = ∣3 - (- 2) ∣ = 5$ .

Если концы по разные стороны от оси, длины складываются: от $- 5$ до $0$ — 5 клеток, от $0$ до $2$ — ещё 2, всего 7.

Диаграммы

Столбчатая диаграмма сравнивает величины по высоте столбиков, круговая показывает, какую долю от целого составляет каждая часть.

Число прочитанных страниц по дням

Цена деления шкалы: между соседними линиями $5$ единиц.
Наибольшее значение — самый высокий столбик: $22$ (четверг).
Сумма всех значений: $12 + 20 + 8 + 22 = 62$ .

Сначала найдите цену деления: она не всегда равна 1. Если верх столбика между линиями — значение между отметками шкалы.

Математика: теория

Оглавление

Делимость, НОД и НОК, остатки

Простыми словами

Признаки делимости на составные числа

Разложение и число делителей

НОД и НОК в задачах

Остатки и циклы

Подсчёты и перебор

Простые числа

Делимость чисел. НОД и НОК

Простыми словами

Признаки делимости

Простые и составные числа

НОД и НОК

Дроби и рациональные числа: вычисления

Простыми словами

Смешанные и десятичные дроби вместе

Знаки, скобки, степени

Рациональный счёт

Дробь от числа и число по дроби

Доли в задачах: ещё примеры

Основное свойство дроби

Простыми словами

Сокращение дробей

Общий знаменатель и сравнение

Смешанные числа

Отношения, пропорции, проценты

Простыми словами

Деление в отношении

Прямая и обратная пропорциональность

Две величины сразу и «запас»

Проценты подряд

Смеси, сплавы, сушка

Совместная работа и движение по реке

Сложение и вычитание дробей

Простыми словами

Разные знаменатели: алгоритм

Смешанные числа

Уравнения, модуль, раскрытие скобок

Простыми словами

Раскрытие скобок и подобные слагаемые

Линейные уравнения

Модуль — это расстояние

Модуль в выражениях

Задачи, решаемые уравнением

Ещё задачи на уравнение

Умножение и деление дробей

Простыми словами

Умножение дробей

Деление дробей

Дробь от числа и число по дроби

Координатная прямая и плоскость

Простыми словами

Середина и деление отрезка

Расстояния и точки с условием

Движение точек

Целые точки

Прыжки по очереди

Графики зависимостей

Отношения и пропорции. Масштаб

Простыми словами

Основное свойство пропорции

Прямая и обратная пропорциональность

Масштаб

Деление числа в данном отношении

Окружность и круг: составные фигуры

Простыми словами

Длина окружности и колёса

Площадь круга, сектора и кольца

Составные фигуры

Фигуры из полуокружностей

Изменение радиуса

Окружность и круг

Простыми словами

Длина окружности

Площадь круга

Координатная плоскость: симметрия, углы, площади

Простыми словами

Площадь по координатам вершин