Делимость чисел. НОД и НОК — Математика, 6 класс

Признаки делимости, простые и составные числа, НОД и НОК. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

24 конфеты можно раздать поровну 2, 3, 4, 6, 8, 12 или 24 детям — это делители числа 24. А 25 конфет поровну раздать 3 детям нельзя: 25 не делится на 3.

Делитель числа $a$ — число, на которое $a$ делится без остатка. Кратное числа $a$ — число, которое делится на $a$ : $a, 2 a, 3 a, \dots$ Например, 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6.

Признаки делимости

На что	Признак	Пример
на 2	последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8)	$3574$ ✓
на 3	сумма цифр делится на 3	$5412$ : $5 + 4 + 1 + 2 = 12$ ✓
на 4	число из двух последних цифр делится на 4	$7316$ : $16$ ✓
на 5	оканчивается на 0 или 5	$9035$ ✓
на 9	сумма цифр делится на 9	$7452$ : $18$ ✓
на 10	оканчивается на 0	$480$ ✓

Делится ли $8572$ на 3? Делится ли $4913$ на 9?

$8 + 5 + 7 + 2 = 22$ ; 22 не делится на 3 — значит, $8572$ на 3 не делится.
$4 + 9 + 1 + 3 = 17$ ; 17 не делится на 9 — $4913$ на 9 не делится.

Признаки на 2, 5, 10 смотрят на последнюю цифру, а на 3 и 9 — на сумму всех цифр. Число 39 оканчивается на 9, но на 9 не делится ( $3 + 9 = 12$ ).

Всё, что делится на 9, делится и на 3 (но не наоборот: 12 делится на 3, но не на 9).

Простые и составные числа

Простое число имеет ровно два делителя — 1 и само себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … Составное имеет и другие делители. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным.

Как проверить: пробуем делить на простые 2, 3, 5, 7, 11, … пока квадрат делителя не больше числа. Нашёлся делитель — число составное.

$128$ — чётное, делится на 2 → составное.
$147$ : $1 + 4 + 7 = 12$ , делится на 3 ( $147 = 3 \cdot 49$ ) → составное.
$79$ : не делится на 2, 3, 5, 7, а $1 1^{2} = 121 > 79$ → простое.

Любое составное число раскладывается на простые множители, и такое разложение единственно (с точностью до порядка): $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ .

2 — единственное чётное простое число. А 1 — не простое.

НОД и НОК

НОД(a, b)наибольший общий делитель — самое большое число, на которое делятся оба. Перемножаем общие простые множители.

НОК(a, b)наименьшее общее кратное — самое маленькое число, которое делится на оба. Берём все множители, общие — по одному разу.

24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

. Общая часть — НОД, всё вместе — НОК

НОК (a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД ( a , b )}

a, b

— натуральные числа; например,

НОК (24, 36) = \frac{24 \cdot 36}{12} = 72

Одно число делится на другое: $54 : 9 = 6$ → $НОД (9, 54) = 9$ , $НОК = 54$ .
Взаимно простые числа (НОД равен 1): $74 = 2 \cdot 37$ и $79$ — простое, общих множителей нет → $НОД (74, 79) = 1$ .
Для взаимно простых НОК — просто произведение: $НОК (29, 33) = 29 \cdot 33 = 957$ , $НОК (12, 17) = 204$ .

НОД не больше меньшего числа, НОК не меньше большего. Если ответ нарушает это — где-то ошибка.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

НОД и НОК Разложение на простые множители

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Определите, делится ли число.

Делится ли число 8572 на 3?

Нет
Да

Показать ответ

Ответ: Нет
Решение. Сумма цифр числа 8572 равна 22. 22 не делится на 3, значит и само число не делится. Ответ: Нет.

Определите, делится ли число.

Делится ли число 4913 на 9?

Нет
Да

Показать ответ

Ответ: Нет
Решение. Сумма цифр числа 4913 равна 17. 17 не делится на 9, значит и само число не делится. Ответ: Нет.

Простое это число или составное?

Число: 128

Составное
Простое

Показать ответ

Ответ: Составное
Решение. 128 делится на 2 (128 = 2·64), значит число составное.