Основное свойство дроби — Математика, 6 класс

Сокращение, общий знаменатель, сравнение дробей, смешанные числа. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Половина шоколадки — это и 1 кусок из 2, и 2 куска из 4, и 4 куска из 8. Кусков больше, но они мельче — количество шоколада то же. Это и есть основное свойство дроби.

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}

— закрашена одна и та же часть

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится равная ей дробь.

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a : m}{b : m}

a

— числитель,

b

— знаменатель,

k

— любое натуральное число,

m

— общий делитель

a

b

Например: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{15}{20}$ , $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ .

Сокращение дробей

Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Дробь несократима, если НОД числителя и знаменателя равен 1.

$\frac{30}{35}$ : общий делитель $5$ → $\frac{30 : 5}{35 : 5} = \frac{6}{7}$ .
$\frac{12}{18}$ : $НОД (12, 18) = 6$ → $\frac{2}{3}$ . Можно и в два шага: $\frac{12}{18} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

Делите сразу на НОД — получите несократимую дробь за один шаг. Не видно НОД — сокращайте по признакам делимости (на 2, 3, 5…), пока можно.

Сокращать можно только множители, а не слагаемые: в $\frac{2 + 3}{2 + 5}$ двойки сокращать нельзя (это $\frac{5}{7}$ ).

Общий знаменатель и сравнение

Наименьший общий знаменатель равен НОК знаменателей. Для 9 и 2 это $18$ , для 7 и 3 — $21$ , для 4 и 8 — $8$ .

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. С одинаковыми числителями — та, у которой знаменатель меньше.

$\frac{7}{10}$ и $\frac{4}{5}$ : $\frac{4}{5} = \frac{8}{10}$ , $7 < 8$ → $\frac{7}{10} < \frac{4}{5}$ .
$\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$ : $НОК (3, 5) = 15$ → $\frac{10}{15}$ и $\frac{9}{15}$ → $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$ .
$\frac{9}{10}$ и $\frac{1}{4}$ : первая больше половины, вторая меньше → $\frac{9}{10} > \frac{1}{4}$ .

Быстрая прикидка — сравнить с $\frac{1}{2}$ или с $1$ . Если одна дробь больше половины, а другая меньше, считать не нужно.

Смешанные числа

a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}

a

— целая часть,

\frac{b}{c}

— дробная часть; целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель

$4 \frac{2}{11} = \frac{4 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{46}{11}$ .
$14 \frac{12}{17} = \frac{14 \cdot 17 + 12}{17} = \frac{238 + 12}{17} = \frac{250}{17}$ .
Обратно — делением с остатком: $17 : 5 = 3$ (ост. $2$ ), значит, $\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}$ .

Знаменатель при переводе не меняется: $4 \frac{2}{11} = \frac{46}{11}$ , а не $\frac{46}{44}$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Калькулятор дробей

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Сократите дробь.

3035

Показать ответ

Ответ: 67
Решение. НОД(30, 35) = 5. 30:5 = 6, 35:5 = 7 → 67.

Найдите наименьший общий знаменатель дробей.

Знаменатели: 9 и 2

Показать ответ

Ответ: 18
Решение. НОК(9, 2) = 18 — это наименьший общий знаменатель.

Переведите смешанное число в неправильную дробь. В ответе укажите числитель.

4 целых 211

Показать ответ

Ответ: 46
Решение. 4·11 + 2 = 46, знаменатель не меняется → 4611.