Тема 5 · Математика

Отношения и пропорции. Масштаб

Основное свойство пропорции, прямая и обратная пропорциональность, масштаб. 100 заданий на отработку.

Родителю: как помочь с темой «Отношения и пропорции. Масштаб»

В теме 4 подтемы: Пропорции, Масштаб, Обратная пропорциональность, Деление в отношении.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

В рецепте на 2 стакана муки — 1 стакан молока. Для 6 стаканов муки молока нужно в 3 раза больше — 3 стакана. «Мука к молоку как 2 к 1» — это отношение, а равенство $2 : 1 = 6 : 3$ — пропорция.

Отношение двух чисел — их частное $a : b$ ; оно показывает, во сколько раз одно больше другого (или какую часть составляет). Пропорция — равенство двух отношений $a : b = c : d$ . Числа $a$ и $d$ — крайние члены, $b$ и $c$ — средние.

Основное свойство пропорции

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

произведение крайних членов равно произведению средних (

b \neq = 0, d \neq = 0

)

Отсюда любой неизвестный член: крайний = произведение средних : известный крайний; средний = произведение крайних : известный средний.

$22 : 12 = 308 : x$

$x$ — крайний член: $22 \cdot x = 12 \cdot 308$ .
$x = \frac{12 \cdot 308}{22} = 12 \cdot 14 = 168$ .

Удобнее заметить: $308 : 22 = 14$ — первый член увеличился в 14 раз, значит, и $x = 12 \cdot 14 = 168$ . Так же $21 : 13 = 42 : x$ → $x = 13 \cdot 2 = 26$ .

Подставьте ответ и сравните «крест-накрест»: $22 \cdot 168 = 3696$ и $12 \cdot 308 = 3696$ ✓.

Прямая и обратная пропорциональность

Прямаяво сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз увеличивается другая. Путь и время при постоянной скорости; цена и количество товара.

Обратнаяво сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз уменьшается другая. Число рабочих и время работы; скорость и время на одном пути.

4 рабочих выполняют заказ за 28 дней. За сколько дней выполнят заказ 7 рабочих?

Рабочих больше — дней меньше: зависимость обратная, произведение «рабочие × дни» постоянно.
Объём работы: $4 \cdot 28 = 112$ «человеко-дней».
$112 : 7 = 16$ дней.

Так же: $15 \cdot 12 = 180$ , $180 : 20 = 9$ дней.

Не всякая зависимость пропорциональна. Возраст и рост ребёнка растут вместе, но не «во столько же раз». Сначала спросите себя: «во сколько раз больше одно — во столько ли раз больше (меньше) другое?»

Масштаб

Масштаб — отношение длины на карте к длине на местности. Запись $1 : 50000$ означает, что 1 см на карте соответствует $50000$ см $= 500$ м на местности.

L = l \cdot M

l

— длина на карте,

M

— число из масштаба

1 : M

L

— длина на местности (в тех же единицах, что

l

)

Масштаб $1 : 200000$ , на карте 17 см. Какое расстояние на местности в км?

$17 \cdot 200000 = 3400000$ см.
Переводим: $1$ км $= 100000$ см, значит, $3400000$ см $= 34$ км.

Ещё: $1 : 50000$ , 3 см → $150000$ см $= 1500$ м $= 1, 5$ км; 10 см → $500000$ см $= 5$ км.

Чтобы из сантиметров получить километры, зачеркните у числа пять нулей: $200000$ см $= 2$ км, значит, в 1 см карты $1 : 200000$ — 2 км.

Деление числа в данном отношении

Разделить число в отношении $a : b$ — значит разбить его на $a + b$ равных частей и отдать одному $a$ частей, другому $b$ .

Деление числа 320 в отношении

9 : 7

Всего частей: $9 + 7 = 16$ .
Одна часть: $320 : 16 = 20$ .
Бо́льшая часть: $9 \cdot 20 = 180$ (меньшая — $7 \cdot 20 = 140$ ; проверка $180 + 140 = 320$ ✓).

$143$ в отношении $6 : 5$ : $143 : 11 = 13$ , бо́льшая часть $6 \cdot 13 = 78$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Пропорции

Серия: 0

Где это пригодится: ОГЭЗадания экзамена 9 класса, которые опираются на этот материал

ОГЭ, задание 1Практическая задача по плануОткрыть →ОГЭ, задание 2Практический расчётОткрыть →ОГЭ, задание 5Выбор оптимального вариантаОткрыть →