Учебник reknow · 5 класс

Математика: теория

17 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:5 6 Математика по всем классам →

Натуральные числа и делимость
Натуральные числа: разряды, сравнение, округление
Вычисления и рациональные приёмы
Сложение и вычитание натуральных чисел
Обыкновенные и десятичные дроби
Умножение и деление натуральных чисел
Уравнения и текстовые задачи
Числовые и буквенные выражения. Уравнения
Логические и комбинаторные задачи
Площади и объёмы
Углы, треугольники и многоугольники
Обыкновенные дроби
Площади и объёмы
Десятичные дроби: сравнение, сложение и вычитание
Умножение и деление десятичных дробей
Проценты. Среднее арифметическое
Углы. Измерение углов. Диаграммы

Тема 01 · Математика, углублённый уровень

Натуральные числа и делимость

Потренироваться: задания по теме →

Разложение на простые множители

Простыми словами

Делимость — это вопрос «можно ли разложить поровну без остатка». 60 конфет можно раздать поровну 12 детям, а 7 детям — нет: останется 4. Почти все задачи темы решаются тремя инструментами: признаки делимости, разложение на простые множители и остатки.

Число $a$ делится на $b$ ( $b$ — делитель $a$ , $a$ — кратное $b$ ), если $a = b \cdot k$ для натурального $k$ .

Простое число имеет ровно два делителя: $1$ и само себя ( $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ ). Составное — больше двух делителей. Число $1$ ни простое, ни составное.

Признаки делимости и неизвестные цифры

На	Признак
2, 5, 10	по последней цифре (чётная; 0 или 5; 0)
4, 25	число из двух последних цифр делится на 4 (на 25)
8	число из трёх последних цифр делится на 8
3, 9	сумма цифр делится на 3 (на 9)

Составной делитель раскладывают на взаимно простые множители (у них нет общих делителей, кроме 1) и проверяют каждый признак:

12 = 4 \cdot 3, 18 = 2 \cdot 9, 20 = 4 \cdot 5, 24 = 8 \cdot 3, 36 = 4 \cdot 9, 45 = 5 \cdot 9, 72 = 8 \cdot 9

$36 = 6 \cdot 6$ не годится: $6$ и $6$ не взаимно просты. Число $30$ делится на $6$ , но не на $36$ . Так же $24 \neq = 4 \cdot 6$ : число $12$ делится и на 4, и на 6, но не на 24.

Какую цифру поставить вместо $*$ , чтобы $3068 * 8$ делилось на $24$ ?

$24 = 8 \cdot 3$ — нужны оба признака.
На 8: три последние цифры $8 * 8$ . Из $808, 818, \dots, 898$ на 8 делятся $808, 848, 888$ — цифра $0$ , $4$ или $8$ .
На 3: сумма цифр $3 + 0 + 6 + 8 + * + 8 = 25 + *$ делится на 3 при $* = 2, 5, 8$ .
Общая цифра — $8$ . Ответ: $8$ .

Чтобы число было наибольшим, ставим в старшие неизвестные разряды самые большие подходящие цифры, наименьшим — самые маленькие. Пример: $756 * *$ делится на $20 = 4 \cdot 5$ → последняя цифра $0$ , число из двух последних цифр $* 0$ делится на 4 → десятки чётные, наибольшая $8$ : $75680$ .

Простые множители и число делителей

Любое составное число единственным образом раскладывается в произведение простых множителей. Удобно делить «деревом»:

Листья дерева — простые числа; их произведение равно

900

n = p^{a} \cdot q^{b} \cdot r^{c} \Rightarrow делителей (a + 1) (b + 1) (c + 1)

p, q, r

— разные простые множители,

a, b, c

— их показатели степени

Почему: делитель содержит $p$ в степени от $0$ до $a$ — это $a + 1$ вариант, и так для каждого множителя. Для $900 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ : $(2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) = 27$ делителей.

Точный квадрат — все показатели чётные; точный куб — все показатели делятся на 3.

Наименьшее $k$ , при котором $4719 \cdot k$ — точный куб.

Раскладываем: $4719 = 3 \cdot 1 1^{2} \cdot 13$ .
Доводим каждый показатель до 3: не хватает $3^{2}$ , $1 1^{1}$ , $1 3^{2}$ .
$k = 9 \cdot 11 \cdot 169 = 16731$ .

Единственное чётное простое число — $2$ . Поэтому сумма двух простых чисел нечётна, только если одно из них равно $2$ .

НОД и НОК

НОД — наибольший общий делительБерём общие простые множители в наименьших степенях.

НОД (60, 90) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

НОК — наименьшее общее кратноеБерём все простые множители в наибольших степенях.

НОК (60, 90) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 180

НОД (a, b) \cdot НОК (a, b) = a \cdot b

верно для любых двух натуральных чисел

«Разложить поровну, использовав всё, на наибольшее число подарков» — НОД. «Снова совпадут», «наименьшее число, которое делится на…» — НОК.

Прямоугольник $99 \times 45$ режут на наибольшие одинаковые квадраты: сторона $НОД (99, 45) = 9$ , квадратов $(99 : 9) \cdot (45 : 9) = 11 \cdot 5 = 55$ . Из плиток $11 \times 3$ складывают наименьший квадрат: сторона $НОК (11, 3) = 33$ , плиток $(33 : 11) \cdot (33 : 3) = 3 \cdot 11 = 33$ .

$НОД = 3$ , $НОК = 495$ , одно число $33$ . Найдите другое.

$33 \cdot b = 3 \cdot 495 = 1485$ .
$b = 1485 : 33 = 45$ .

Деление с остатком

a = b \cdot q + r, 0 \leq r < b

a

— делимое,

b

— делитель,

q

— неполное частное,

r

— остаток

В сумме и произведении числа можно заменять их остатками. Если $a$ даёт остаток $5$ при делении на $8$ , а $b$ — остаток $1$ , то $2 a + 9 b$ даёт тот же остаток, что $2 \cdot 5 + 9 \cdot 1 = 19$ , то есть $3$ .
Одинаковый остаток $r$ при делении на несколько чисел — значит, $n - r$ делится на их НОК.
Остатки на 1 меньше делителей — значит, $n + 1$ делится на НОК.

Наименьшее число с остатками $6$ при делении на 7, $8$ — на 9, $11$ — на 12.

Каждый остаток на 1 меньше делителя, поэтому $n + 1$ делится на 7, 9 и 12.
$НОК (7, 9, 12) = 7 \cdot 9 \cdot 4 = 252$ .
$n = 252 - 1 = 251$ .

Цифры числа

Остаток при делении на $3$ (на $9$ ) такой же, как у суммы цифр. Число $527527 \dots 527$ (5 раз): сумма цифр $14 \cdot 5 = 70$ , остаток от деления на 3 равен $1$ .
Последняя цифра степени повторяется с периодом 1, 2 или 4: у $7^{n}$ — $7, 9, 3, 1, 7, \dots$
Нулей на конце у $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ столько, сколько пятёрок в разложении: $[n : 5] + [n : 25] + [n : 125] + \dots$ (берём неполные частные).

Наименьшее число, кратное 5, с суммой цифр 45.

Чем меньше цифр, тем меньше число; цифры не больше 9.
Последняя цифра $5$ (если $0$ — нужно шесть цифр $999990$ , это больше).
Остальные дают $40$ : минимум пять цифр, $4 + 9 \cdot 4$ . Ставим маленькую впереди: $499995$ .

Подсчёты: делители, остатки, цифры

Делим на простые $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ , пока квадрат делителя не больше числа. Ни одно не подошло — число простое. $251$ : проверяем до $13$ ( $1 7^{2} = 289 > 251$ ) — простое. А $203 = 7 \cdot 29$ , $893 = 19 \cdot 47$ .

сумма делителей 2^{a} \cdot 3^{b} \dots = (1 + 2 + \dots + 2^{a}) (1 + 3 + \dots + 3^{b}) \dots

для каждого простого множителя складываем все его степени от нулевой

$90 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$ : $(1 + 2) (1 + 3 + 9) (1 + 5) = 3 \cdot 13 \cdot 6 = 234$ .

Делитель по частному и остатку. $404 = d \cdot 40 + 4$ → $d \cdot 40 = 400$ , $d = 10$ (остаток $4 < 10$ ✓).

Сколько чисел от 1 до $N$ дают остаток $r$ при делении на $b$ . Это числа $r, r + b, r + 2 b, \dots$ Для остатка $4$ при делении на $5$ до $1838$ : $4, 9, \dots, 1834$ ; их $(1834 - 4) : 5 + 1 = 367$ .

Сколько цифр в записи $1, 2, \dots, N$ . Однозначных чисел $9$ (9 цифр), двузначных $90$ (180 цифр), трёхзначных $900$ (2700 цифр). До $984$ : $9 + 180 + (984 - 99) \cdot 3 = 9 + 180 + 2655 = 2844$ .

На нумерацию страниц ушло $3373$ цифры. Сколько страниц?

Страницы $1$ – $999$ — это $9 + 180 + 2700 = 2889$ цифр.
Осталось $3373 - 2889 = 484$ цифры — это $484 : 4 = 121$ четырёхзначная страница.
Страниц $999 + 121 = 1120$ .

Тема 1 · Математика

Натуральные числа: разряды, сравнение, округление

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Натуральные числа — те, которыми считают предметы: $1, 2, 3, \dots$ Десятью цифрами $0$ – $9$ можно записать любое число, потому что значение цифры зависит от её места. В числе 555 три одинаковые пятёрки, но первая означает 500, вторая — 50, третья — 5.

Разряды и классы

Место цифры в записи называют разрядом. Разряды считают справа налево; по три разряда объединяют в класс.

Класс тысяч			Класс единиц
сотни тысяч	десятки тысяч	единицы тысяч	сотни	десятки	единицы
5	4	2	6	0	7

В числе $542607$ в разряде сотен тысяч стоит $5$ , в разряде сотен — $6$ . Каждый следующий разряд в 10 раз «тяжелее» предыдущего: $1, 10, 100, 1000, 10000, 100000$ .

Отделите классы пробелом: $596248$ . Справа класс единиц (248: сотни — 2), слева класс тысяч (596: сотни тысяч — 5).

Разрядные слагаемые

Число — сумма вкладов всех цифр:

5407 = 5 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7

Запишите число: 4 тысячи, 0 сотен, 1 десяток, 4 единицы.

Пишем цифры по разрядам слева направо: тысячи $4$ , сотни $0$ , десятки $1$ , единицы $4$ .
Ответ: $4014$ .

Если разряда нет («0 сотен»), на его месте обязательно пишут ноль. Без него $4014$ превратится в $414$ .

Сравнение

Больше то число, у которого больше цифр: $5223 < 22721$ (4 цифры против 5).
Если цифр поровну — сравниваем слева направо до первой различающейся цифры: $37635 < 89094$ , потому что $3 < 8$ .

Знак $<$ или $>$ всегда «открыт» к большему числу, острым концом — к меньшему.

Округление

Округлить число до разряда — заменить его ближайшим «круглым» числом. Смотрим на первую отбрасываемую цифру (сразу справа от разряда):

0–4: внизЦифра разряда не меняется, справа — нули:

4738 \approx 4700

(до сотен, отбрасываем 3).

5–9: вверхЦифра разряда увеличивается на 1, справа — нули:

128872 \approx 128900

(до сотен, отбрасываем 7).

4738

левее середины

4750

— ближе к

4700

Округлите $591573$ до тысяч.

Разряд тысяч — цифра $1$ ; первая отбрасываемая — $5$ (сотни).
$5$ — округляем вверх: $1$ становится $2$ , правее нули.
$591573 \approx 592000$ .

Смотрят только на одну цифру — первую отбрасываемую. Если в разряде стоит 9 и надо увеличить, получаем перенос: $3962 \approx 4000$ (до сотен).

Тема 02 · Математика, углублённый уровень

Вычисления и рациональные приёмы

Потренироваться: задания по теме →

Прогрессии

Простыми словами

Считать можно «в лоб», а можно с умом. $25 \cdot 74 \cdot 4$ — долго, если умножать по порядку, но $25 \cdot 4 = 100$ , и ответ $7400$ получается в уме. Законы арифметики разрешают переставлять и группировать числа так, чтобы получались «круглые» результаты. Но сначала нужно твёрдо знать порядок действий.

Порядок действий

Действия в скобках (сначала во внутренних).
Возведение в степень.
Умножение и деление — по порядку слева направо.
Сложение и вычитание — по порядку слева направо.

$(393 \cdot 8 + 342) : 6 + 87$

В скобках сначала умножение: $393 \cdot 8 = 3144$ , затем $3144 + 342 = 3486$ .
Деление: $3486 : 6 = 581$ .
Сложение: $581 + 87 = 668$ .

$48 : 4 \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$ , а не $48 : 8 = 6$ . Умножение и деление равноправны — выполняются слева направо.

Вынесение общего множителя

a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)

распределительный закон: общий множитель

a

выносим за скобки

$124 \cdot 71 + 129 \cdot 124 = 124 \cdot (71 + 129) = 124 \cdot 200 = 24800$ .
$(62 \cdot 90 + 62 \cdot 10) : 5 = 62 \cdot 100 : 5 = 6200 : 5 = 1240$ .
Умножение на 99: $46 \cdot 99 = 46 \cdot 100 - 46 = 4554$ .

Ищите число, которое повторяется в обоих произведениях, — множители можно переставлять ( $129 \cdot 124 = 124 \cdot 129$ ). Обычно в скобках получается 100, 1000 или другое круглое число.

Удобные множители и группировка

Пара	Результат	Приём
$25 \cdot 4$	100	$n \cdot 25 = n : 4 \cdot 100$
$125 \cdot 8$	1000	$n : 25 = n \cdot 4 : 100$
$50 \cdot 2$	100	$n : 5 = n \cdot 2 : 10$

Пример: $25 \cdot 74 \cdot 4 \cdot 52 = (25 \cdot 4) \cdot (74 \cdot 52) = 100 \cdot 3848 = 384800$ .

При вычитании нескольких чисел их можно сначала сложить: $561 - 16 - 184 = 561 - (16 + 184) = 561 - 200 = 361$ .

Скобку после минуса раскрываем со сменой знаков: $a - (b + c) = a - b - c$ , а $a - (b - c) = a - b + c$ .

Сумма ряда чисел (приём Гаусса)

Если числа идут с одинаковым шагом, первое и последнее, второе и предпоследнее и т. д. дают одну и ту же сумму. Поэтому:

S = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2} n = \frac{a _{n} - a _{1}}{d} + 1

a_{1}

— первое число,

a_{n}

— последнее,

d

— шаг,

n

— количество чисел,

S

— сумма

Две одинаковые лесенки составляют прямоугольник

5 \times 6

, одна лесенка — его половина

$45 + 52 + 59 + \dots + 318$ (шаг 7).

Количество: $(318 - 45) : 7 + 1 = 39 + 1 = 40$ .
Сумма: $(45 + 318) \cdot 40 : 2 = 363 \cdot 20 = 7260$ .

Не забывайте « $+ 1$ » в количестве: от 1 до 10 — десять чисел, а $10 - 1 = 9$ . Для ряда $37, 39, \dots, 405$ : $(405 - 37) : 2 + 1 = 185$ .

Суммы с чередованием знаков

Если знаки чередуются или из одной суммы вычитают другую, числа объединяют в пары, каждая из которых даёт одно и то же.

$360 - 359 + 358 - 357 + \dots + 2 - 1$

Пары: $(360 - 359) + (358 - 357) + \dots + (2 - 1)$ — каждая равна $1$ .
Чисел $360$ , пар $360 : 2 = 180$ . Ответ: $180$ .

$(2 + 4 + 6 + \dots + 214) - (1 + 3 + 5 + \dots + 213)$

В каждой скобке по $107$ чисел. Ставим их в пары: $(2 - 1) + (4 - 3) + \dots + (214 - 213)$ .
Каждая пара даёт $1$ , пар $107$ . Ответ: $107$ .

Разрядные слагаемые со степенями 10: $8 \cdot 1 0^{3} + 2 \cdot 1 0^{2} + 7 \cdot 10 + 1 = 8000 + 200 + 70 + 1 = 8271$ — цифры $8, 2, 7, 1$ просто встают в свои разряды.

Квадраты и кубы

a^{2} = a \cdot a a^{3} = a \cdot a \cdot a

a^{2}

— «

a

в квадрате» (площадь квадрата со стороной

a

a^{3}

— «

a

в кубе» (объём куба)

Полезно помнить: $1 0^{2} = 100$ , $1 0^{3} = 1000$ , $2^{10} = 1024$ , $2 0^{3} = 8000$ , $3 0^{3} = 27000$ .

Найдите $n$ , если $n^{3} = 10648$ .

Оценка: $2 0^{3} = 8000 < 10648 < 27000 = 3 0^{3}$ , значит $n$ между 20 и 30.
Последняя цифра: куб оканчивается на 8 только у чисел, оканчивающихся на 2.
$n = 22$ ; проверка: $2 2^{3} = 484 \cdot 22 = 10648$ ✓.

Сравнение степеней — вычислите каждую: $1 0^{3} = 1000$ , $1 2^{3} = 1728$ , $7^{4} = 2401$ , $1 1^{2} = 121$ . Наибольшее — $7^{4}$ .

$a^{3} \neq = a \cdot 3$ : $5^{3} = 125$ , а не $15$ .

Тема 2 · Математика

Сложение и вычитание натуральных чисел

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Сложение — объединить две кучки в одну, вычитание — забрать часть. Большие числа удобно складывать столбиком: единицы под единицами, десятки под десятками — и считать по разрядам справа налево.

$слагаемое a + слагаемое b = сумма c$ $уменьшаемое a - вычитаемое b = разность c$

Столбиком

СложениеЕсли в разряде получилось 10 и больше, пишем единицы, а 1 десяток «запоминаем» и прибавляем к следующему разряду.

ВычитаниеЕсли в разряде не хватает, «занимаем» 1 единицу старшего разряда — она даёт 10 единиц текущего.

8230 + 5097 13327 52881 - 1893 50988

$52881 - 1893$

Единицы: $1 - 3$ — занимаем десяток: $11 - 3 = 8$ .
Десятки: было 8, стало 7; $7 - 9$ — занимаем: $17 - 9 = 8$ .
Сотни: было 8, стало 7; $7 - 8$ — занимаем: $17 - 8 = 9$ .
Тысячи: было 2, стало 1; $1 - 1 = 0$ . Десятки тысяч: $5$ . Ответ: $50988$ .

Выравнивайте числа по правому краю: $66836 - 980$ — девятка стоит под тройкой (сотни), а не под шестёркой. Ответ $65856$ .

Вычитание проверяют сложением: $50988 + 1893 = 52881$ ✓.

Свойства сложения

Переместительное: $a + b = b + a$ .
Сочетательное: $(a + b) + c = a + (b + c)$ .
Свойство нуля: $a + 0 = a$ , $a - 0 = a$ , $a - a = 0$ .

Они позволяют считать удобно: $27 + 46 + 73 = (27 + 73) + 46 = 100 + 46 = 146$ .

Уравнения

Уравнение	Правило	Пример
$x + a = b$	слагаемое = сумма − другое слагаемое	$x + 774 = 5525$ , $x = 4751$
$x - a = b$	уменьшаемое = разность + вычитаемое	$x - 20 = 35$ , $x = 55$
$a - x = b$	вычитаемое = уменьшаемое − разность	$90 - x = 35$ , $x = 55$

Подставьте ответ: $4751 + 774 = 5525$ ✓. Если равенство верное — корень найден правильно.

Текстовые задачи «на … больше / меньше»

Моркови — столько же, сколько картофеля, и ещё 462 кг

«На $a$ больше» — прибавляем: $1663 + 462 = 2125$ кг.
«На $a$ меньше» — вычитаем.
«На сколько больше / меньше?» — из большего вычитаем меньшее.

«На 129 больше» — это сложение, а «в 2 раза больше» — умножение. Не путайте «на» и «в».

Тема 03 · Математика, углублённый уровень

Обыкновенные и десятичные дроби

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Дробь — это часть целого. Пиццу разрезали на 8 кусков, съели 3 — съели $\frac{3}{8}$ пиццы. Обыкновенная дробь $\frac{3}{8}$ и десятичная $0, 375$ — одно и то же число, записанное по-разному. Главное умение темы — выбрать удобную запись и не ошибиться в порядке действий.

В дроби $\frac{a}{b}$ знаменатель $b$ показывает, на сколько равных частей разделили целое, числитель $a$ — сколько частей взяли. Смешанное число $2 \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ .

Сложение и вычитание

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d _{1} \pm c \cdot b _{1}}{НОК ( b , d )}

d_{1} = НОК : b

b_{1} = НОК : d

— дополнительные множители

$\frac{2}{5} - \frac{2}{7} - \frac{1}{15}$

$НОК (5, 7, 15) = 105$ ; множители $21$ , $15$ , $7$ .
$\frac{42 - 30 - 7}{105} = \frac{5}{105} = \frac{1}{21}$ .

У смешанных чисел целые и дробные части складывают отдельно. При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше, «занимают» единицу:

5 \frac{1}{4} - 2 \frac{3}{4} = 4 \frac{5}{4} - 2 \frac{3}{4} = 2 \frac{2}{4} = 2 \frac{1}{2}

Умножение и деление

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

делить на дробь — умножать на перевёрнутую (обратную) дробь

Смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби: $4 \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{32}{7}$ . Сокращают до умножения — числа остаются маленькими.

$4 \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{5} - 2 \frac{1}{2} : \frac{5}{6}$

Сначала умножение и деление: $\frac{32}{7} \cdot \frac{4}{5} = \frac{128}{35}$ ; $\frac{5}{2} \cdot \frac{6}{5} = 3$ .
Затем вычитание: $\frac{128}{35} - \frac{105}{35} = \frac{23}{35}$ .

Нельзя умножать смешанные числа «по частям»: $2 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{1}{2} \neq = 4 \frac{1}{4}$ . Верно: $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6 \frac{1}{4}$ .

Десятичные дроби и смешанные выражения

Сложение, вычитание — запятая под запятой.
Умножение — умножаем как целые, в ответе отделяем столько знаков, сколько у обоих множителей вместе: $2, 8 \cdot 5, 1 = 14, 28$ .
Деление на дробь — переносим запятые вправо, пока делитель не станет целым: $22, 38 : 2, 4 = 223, 8 : 24 = 9, 325$ .

Дробь	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{20}$
Десятичная	0,5	0,25	0,75	0,2	0,125	0,375	0,05

Если знаменатель содержит только множители 2 и 5 — переводим в десятичные. Если есть 3, 6, 7, 9 — переводим десятичные в обыкновенные: $0, 23 = \frac{23}{100}$ . Пример: $(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) \cdot 9, 9 = \frac{1}{6} \cdot 9, 9 = 1, 65$ .

Часть и целое

часть = целое \cdot дробь целое = часть : дробь

\frac{2}{3}

от 18 — это

18 \cdot \frac{2}{3} = 12

; если

\frac{2}{3}

числа равны 12, число равно

12 : \frac{2}{3} = 18

Остаток — это

0, 25

маршрута; 3 км — это

0, 6

остатка

После первого дня осталось $1 - 0, 75 = 0, 25$ маршрута.
Во второй день прошли $0, 4$ остатка, осталось $0, 6$ остатка: $0, 6 \cdot 0, 25 = 0, 15$ маршрута.
$0, 15$ маршрута = 3 км, весь маршрут: $3 : 0, 15 = 20$ км.

« $\frac{2}{5}$ остатка» — доля остатка, а не целого. После $\frac{1}{3}$ и затем $\frac{1}{4}$ остатка остаётся $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ целого, а не $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ .

Тема 3 · Математика

Умножение и деление натуральных чисел

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Умножение — быстрый способ сложить одинаковые слагаемые: 4 пачки по 5 карандашей — это $5 + 5 + 5 + 5 = 5 \cdot 4 = 20$ . Деление — обратная задача: 20 карандашей разложили по 4 пачкам поровну — в каждой $20 : 4 = 5$ .

$множитель a \cdot множитель b = произведение c$ $делимое a : делитель b = частное c$

Деление проверяют умножением: $c \cdot b = a$ . Делить на нуль нельзя.

Свойства умножения

Свойство	Запись
Переместительное	$a \cdot b = b \cdot a$
Сочетательное	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Распределительное	$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
Единица и нуль	$a \cdot 1 = a$ , $a \cdot 0 = 0$

Распределительное свойство помогает считать в уме: $72 \cdot 14 = 72 \cdot 10 + 72 \cdot 4 = 720 + 288 = 1008$ .

$70 \cdot 62$ : умножаем $7 \cdot 62 = 434$ и приписываем ноль — $4340$ .

Деление уголком

Берём первое неполное делимое — наименьшее число из первых цифр, которое не меньше делителя.
Подбираем цифру частного, умножаем, вычитаем, сносим следующую цифру.
Повторяем до конца делимого.

$7480 : 88$

Первое неполное делимое $748$ ; $88 \cdot 8 = 704$ , остаток $44$ .
Сносим $0$ : $440 : 88 = 5$ .
Ответ: $85$ . Проверка: $85 \cdot 88 = 7480$ ✓.

Округлите делитель: $592 : 37$ — примерно $600 : 40 = 15$ ; пробуем $16$ : $37 \cdot 16 = 592$ ✓.

Порядок действий

Действия в скобках.
Умножение и деление — по порядку слева направо.
Сложение и вычитание — по порядку слева направо.

$122 \cdot 6 + 12 = 732 + 12 = 744$ ; $(239 - 38) \cdot 12 = 201 \cdot 12 = 2412$ .

$12 + 5 \cdot 4 = 12 + 20 = 32$ , а не $17 \cdot 4 = 68$ . Умножение выполняется раньше сложения, если нет скобок.

Деление с остатком

a = b \cdot q + r, r < b

a

— делимое,

b

— делитель,

q

— неполное частное,

r

— остаток

17 = 5 \cdot 3 + 2

: неполное частное 3, остаток 2

Найдите остаток: $3234 : 47$ .

Подбираем: $47 \cdot 68 = 3196$ , а $47 \cdot 69 = 3243$ — уже больше.
Остаток: $3234 - 3196 = 38$ . Проверка: $38 < 47$ ✓.

Остаток всегда меньше делителя. Если вышло больше — неполное частное подобрано слишком маленьким.

Тема 04 · Математика, углублённый уровень

Уравнения и текстовые задачи

Потренироваться: задания по теме →

Задачи на движение Относительность движения: лодка и река

Простыми словами

Текстовая задача — это история, в которой спрятаны числа и связи между ними. Решить её — перевести историю на язык математики: найти, какие величины связаны ( $s = v \cdot t$ , работа $=$ производительность $\cdot$ время), обозначить неизвестное и составить уравнение. Иногда удобнее рассуждать «частями» или идти от конца к началу.

Уравнения в несколько действий

Уравнение решают «снаружи внутрь»: находят действие, которое выполняется последним, и по правилу находят неизвестный компонент этого действия.

Неизвестно	Как найти
слагаемое	сумма − другое слагаемое
уменьшаемое	разность + вычитаемое
вычитаемое	уменьшаемое − разность
множитель	произведение : другой множитель
делимое	частное · делитель
делитель	делимое : частное

$136 - (x + 47) + 91 = 96$

Сначала $136 + 91 = 227$ : $227 - (x + 47) = 96$ .
$(x + 47)$ — вычитаемое: $x + 47 = 227 - 96 = 131$ .
$x = 131 - 47 = 84$ .

Если $x$ встречается несколько раз — приводим подобные: $6 x - 4, 2 x = 1, 8 x$ . Тогда $1, 8 x + 5, 73 = 17, 79$ , $1, 8 x = 12, 06$ , $x = 6, 7$ .

Задачи на движение

s = v \cdot t v = \frac{s}{t} t = \frac{s}{v}

s

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч)

НавстречуСкорость сближения

v_{1} + v_{2}

ВдогонкуСкорость сближения

v_{2} - v_{1}

(из большей вычесть меньшую).

По рекеПо течению

v + v_{т}

, против течения

v - v_{т}

За 2 ч вместе прошли

26 - 4 = 22

км

Вместе за 2 ч: $22$ км, скорость сближения $22 : 2 = 11$ км/ч.
Скорость второго: $11 - 4 = 7$ км/ч.

$v_{ср} = \frac{весь путь}{всё время}$ . 300 км туда со скоростью 50 км/ч ( $6$ ч) и обратно со скоростью 30 км/ч ( $10$ ч): $600 : 16 = 37, 5$ км/ч.

Средняя скорость — не среднее арифметическое скоростей: $(50 + 30) : 2 = 40 \neq = 37, 5$ .

Совместная работа

A = p \cdot t p = \frac{1}{t}

A

— работа (вся работа

= 1

p

— производительность (часть работы за час),

t

— время

При совместной работе производительности складываются; сливная труба — вычитается.

Трубы наполняют бассейн за 12 ч и за 36 ч. Вместе?

$p = \frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ бассейна в час.
$t = 1 : \frac{1}{9} = 9$ ч.

Если работа в деталях: двое за 6 ч сделали 144 детали — вместе $24$ детали в час; первый на 10 больше: $x + (x + 10) = 24$ , $x = 7$ .

Части, «с конца» и предположение

Отношение $a : b$ : сумма — это $a + b$ частей, разность — $a - b$ частей. Медь и цинк $10 : 1$ , меди больше на 225 г: $9$ частей $= 225$ г, часть $25$ г, сплав $11 \cdot 25 = 275$ г.
Разность возрастов со временем не меняется.
Если переложили $d$ и стало поровну — разница была $2 d$ .

Продали половину арбузов и ещё 3, потом половину остатка и ещё 3, осталось 21.

Идём назад, заменяя каждое действие обратным: перед вторым покупателем было $(21 + 3) \cdot 2 = 48$ .
Сначала: $(48 + 3) \cdot 2 = 102$ .

308 страниц за 7 дней, каждый день на 7 больше.

В первый день $x$ , далее $x + 7, \dots, x + 42$ .
Сумма: $7 x + 7 \cdot (0 + 1 + \dots + 6) = 7 x + 147 = 308$ .
$7 x = 161$ , $x = 23$ .

«Пусть все были одного вида» — посчитайте, на сколько не хватает (или лишнее), и разделите на разницу между видами. Так решаются задачи про кур и кроликов, монеты разного достоинства.

Поезд, банка, возраст

Поезд мимо столба проходит свою длину; через мост — длину моста плюс свою длину (от въезда головы до съезда хвоста).

Поезд длиной 174 м проходит мимо столба за 6 с. За сколько секунд он пройдёт мост длиной 1566 м?

Скорость: $174 : 6 = 29$ м/с.
Путь по мосту: $1566 + 174 = 1740$ м.
Время: $1740 : 29 = 60$ с.

Один выехал раньше. Сначала находим, сколько он проехал один, и вычитаем из расстояния; дальше — обычная встреча со скоростью сближения $v_{1} + v_{2}$ .

Банка с мёдом весит 2811 г, с керосином — 1561 г. Мёд вдвое тяжелее керосина. Сколько весит пустая банка?

Разность $2811 - 1561 = 1250$ г — это «мёд минус керосин», то есть одна часть (керосин).
Банка: $1561 - 1250 = 311$ г.

Возраст «во сколько раз». Разность возрастов не меняется. Отцу 60, сыну 12, разность 48. Когда отец старше в 3 раза, разность — это $3 - 1 = 2$ части: сыну $48 : 2 = 24$ года, ждать $24 - 12 = 12$ лет.

Тема 4 · Математика

Числовые и буквенные выражения. Уравнения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Тетрадь стоит $x$ рублей. Сколько стоят 8 тетрадей и ручка за 68 ₽? Ответ — буквенное выражение $8 x + 68$ . Узнали цену тетради — подставили число вместо буквы и получили значение. А если известна итоговая сумма, но не цена — получается уравнение.

Числовое выражениеТолько числа и знаки действий:

4 \cdot 7 + 5

. У него есть значение:

33

Буквенное выражениеЕсть буквы:

4 x + 5

. Значение зависит от

x

: при

x = 7

оно равно

33

Значение буквенного выражения

Подставляем число вместо буквы (лучше в скобках).
Считаем по порядку действий: скобки, умножение и деление, сложение и вычитание.

$8 (x + 68)$ при $x = 45$ .

$8 \cdot (45 + 68)$ .
Скобки: $45 + 68 = 113$ .
$8 \cdot 113 = 904$ .

Между числом и скобкой (или буквой) стоит невидимый знак умножения: $8 (x + 68) = 8 \cdot (x + 68)$ , $3 x = 3 \cdot x$ . При $x = 5$ выражение $3 x$ равно $15$ , а не $35$ .

Уравнение и его корень

Уравнение — равенство с неизвестным числом (буквой). Корень уравнения — значение буквы, при котором равенство становится верным. Решить уравнение — найти все его корни.

Равенство — как весы в равновесии:

3 x = 78

, значит одна гиря

x = 78 : 3 = 26

Неизвестно	Правило
слагаемое	сумма − известное слагаемое
уменьшаемое	разность + вычитаемое
вычитаемое	уменьшаемое − разность
множитель	произведение : известный множитель
делимое	частное · делитель
делитель	делимое : частное

$13 x = 1014$

$x$ — неизвестный множитель: $x = 1014 : 13 = 78$ .
Проверка: $13 \cdot 78 = 1014$ ✓.

Подставьте найденный корень в уравнение. Верное равенство — значит, решено правильно.

Формулы

Формула — буквенное равенство, по которому одну величину вычисляют через другие.

Формула	Что означают буквы
$P = 2 (a + b)$	периметр прямоугольника; $a$ — длина, $b$ — ширина
$P = 4 a$	периметр квадрата; $a$ — сторона
$s = v \cdot t$	путь $s$ (км) при скорости $v$ (км/ч) за время $t$ (ч)

$a = 36$ см, $b = 74$ см: $P = 2 \cdot (36 + 74) = 2 \cdot 110 = 220$ см.

Подставляйте величины в одних единицах: если $a$ в метрах, а $b$ в сантиметрах, сначала переведите.

Тема 05 · Математика, углублённый уровень

Логические и комбинаторные задачи

Потренироваться: задания по теме →

События и множества: круги Эйлера Перестановки, размещения, сочетания

Простыми словами

У Маши 3 кофты и 4 юбки. Сколько разных нарядов? К каждой кофте подходит любая из 4 юбок — получаем $3 \cdot 4 = 12$ . Так устроено большинство задач на подсчёт: выбор делят на шаги и перемножают число вариантов на каждом шаге. Остальные задачи темы — про «худший случай», пересекающиеся группы и закономерности.

Правило произведения

вариантов = n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}

n_{1}

— число способов сделать первый шаг,

n_{2}

— второй (при любом первом) и т. д.

Первая цифра числа не может быть $0$ .
Без повторений каждый следующий выбор на 1 меньше: $n$ предметов в ряд — $n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$ способов.
«Двое рядом» — склеиваем их в один блок и умножаем на 2 (внутри блока два порядка).
Если путь идёт одним из нескольких разных способов (или так, или так), варианты складывают.

Сколько чётных трёхзначных чисел из цифр 0, 3, 8 (повторять можно)?

Сотни: 3 или 8 — 2 способа (не 0).
Десятки: любая — 3 способа.
Единицы: чётная, 0 или 8 — 2 способа.
$2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ .

A–B: 3 дороги, B–C: 3, A–C напрямую: 3. Съездить A → C → A, не проезжая дважды по одной дороге.

Туда напрямую (3 способа). Обратно: напрямую по другой — 2, или через B — $3 \cdot 3 = 9$ . Итого $3 \cdot 11 = 33$ .
Туда через B ( $3 \cdot 3 = 9$ ). Обратно: напрямую — 3, или через B по другим дорогам — $2 \cdot 2 = 4$ . Итого $9 \cdot 7 = 63$ .
Всего $33 + 63 = 96$ .

Подсчёт чисел с условием

От 1 до $N$ на $k$ делятся $[N : k]$ чисел — неполное частное.
Делятся на $a$ или на $b$ : $[N : a] + [N : b] - [N : НОК (a, b)]$ — общие посчитаны дважды.
Делятся на $a$ , но не на $b$ : $[N : a] - [N : НОК (a, b)]$ .
«Хотя бы одна цифра $d$ » = все числа − числа без цифры $d$ .

Сколько чисел от 1 до 284 делятся на 5, но не на 7?

На 5: $[284 : 5] = 56$ .
На 5 и на 7, то есть на 35: $[284 : 35] = 8$ .
$56 - 8 = 48$ .

Трёхзначные числа с возрастающими цифрами, делящиеся на 5: последняя цифра 5 (ноль не может быть больше предыдущих), впереди две разные цифры из $1, 2, 3, 4$ по возрастанию — 6 пар: 12, 13, 14, 23, 24, 34.

Запреты и подсчёт цифр

Есть запрет — считаем все варианты и вычитаем запрещённые.

2 рубашки (одна зелёная), 5 пар брюк (одни серые), 2 пары обуви. Зелёную рубашку с серыми брюками не надевают. Сколько комплектов?

Всего: $2 \cdot 5 \cdot 2 = 20$ .
Запрещённые: зелёная рубашка + серые брюки + любая обувь — $1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$ .
$20 - 2 = 18$ .

Сколько раз пишут цифру. Числа от $1$ до $999$ удобно считать как $000$ – $999$ : в каждом из трёх разрядов каждая цифра встречается $100$ раз. Цифра $4$ — $3 \cdot 100 = 300$ раз.

Мало вариантов — выписываем все по порядку. Двузначные с суммой цифр $9$ : $18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90$ — их $9$ .

Принцип Дирихле и худший случай

Если $n$ кроликов сидят в $k$ клетках и $n > k$ , то в какой-то клетке не меньше двух кроликов. Общее: хотя бы в одной клетке не меньше $n : k$ кроликов (округляем вверх).

«Наверняка» = представим самый неудачный случай и добавим 1. Чтобы 5 человек наверняка родились в одном месяце: в худшем случае по 4 в каждом из 12 месяцев — $48$ человек, и 49-й даёт пятого. Ответ: $4 \cdot 12 + 1 = 49$ .

86 учеников в 4 классах. Сколько наверняка окажется в одном классе? $86 : 4 = 21, 5$ — поровну не получится, значит, где-то не меньше $22$ . Ответ: $22$ .

Худший случай: примеры

В мешке шары 4 цветов. Сколько вынуть, чтобы наверняка было 2 одного цвета?

Худший случай — по одному каждого цвета: $4$ шара.
Пятый обязательно повторит цвет. Ответ: $5$ .

9 пар перчаток каждого из 2 цветов. Сколько взять, чтобы наверняка была пара (левая и правая) одного цвета?

Худший случай — все левые: $9 + 9 = 18$ перчаток, пары нет.
19-я — правая какого-то цвета, к ней есть левая. Ответ: $19$ .

В коробке 5 красных и синих карандашей. Среди любых 4 есть красный, среди любых 3 — синий. Сколько красных?

«Среди любых 4 есть красный» — синих не больше 3.
«Среди любых 3 есть синий» — красных не больше 2.
$2 + 3 = 5$ , значит, красных ровно $2$ .

Круги Эйлера

Только чай

18 - 4 = 14

, только какао

5 - 4 = 1

, оба

4

; вне кругов

21 - 19 = 2

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣

∣ A ∣

— сколько в группе

A

∣ A \cap B ∣

— сколько сразу в обеих,

∣ A \cup B ∣

— хотя бы в одной

∣ A \cup B \cup C ∣ = A + B + C - A B - BC - A C + A BC

31 ученик; хор 20, театр 14, шахматы 16; попарно 10, 10, 9; во всех трёх 8. Хотя бы в одном: $20 + 14 + 16 - 10 - 10 - 9 + 8 = 29$ . Ни в одном: $31 - 29 = 2$ .

Нельзя просто сложить группы: тех, кто в двух кружках, мы посчитаем дважды. Удобно заполнять круги изнутри: сначала общая часть, потом остальное.

Закономерности и последовательности

«Каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих» — просто выписываем по порядку: $7, 8, 15, 23, 38, 61, 99, 160, 259, 419$ — десятое число $419$ .
Если ряд повторяется с периодом $k$ , $n$ -й элемент равен элементу с номером, равным остатку от деления $n$ на $k$ (остаток 0 — последний в периоде).
«Каждый с каждым» (рукопожатия, матчи): $n \cdot (n - 1) : 2$ .
Ряд из $n$ квадратов из спичек — $3 n + 1$ спичка.

Считайте номера внимательно: первое число — номер 1. Полезно подписывать номер над каждым членом.

Циклы, разности, цифры подряд

Дни недели повторяются через 7. Через $198$ дней после вторника: $198 = 7 \cdot 28 + 2$ — сдвиг на 2 дня, четверг.

Разности растут на одно и то же число. $10, 13, 18, 25, 34$ : разности $3, 5, 7, 9$ — значит, $a_{n} = n^{2} + 9$ ( $1 + 9 = 10$ , $4 + 9 = 13$ , …). 16-й член: $1 6^{2} + 9 = 265$ .

«Каждый с каждым» наоборот. Матчей $136$ : $n (n - 1) : 2 = 136$ , $n (n - 1) = 272 = 17 \cdot 16$ — команд $17$ .

Спичечная сетка $m \times n$ клеток: горизонтальных отрезков $(m + 1) \cdot n$ , вертикальных $(n + 1) \cdot m$ . Для $8 \times 12$ : $9 \cdot 12 + 13 \cdot 8 = 108 + 104 = 212$ .

Выписали $123456789101112 \dots$ Какая цифра на 654-м месте?

Однозначные занимают места 1–9, двузначные — ещё $90 \cdot 2 = 180$ : всего $189$ .
Осталось $654 - 189 = 465 = 3 \cdot 155$ — ровно 155 трёхзначных чисел, последнее из них $100 + 154 = 254$ .
654-е место — последняя цифра числа $254$ : ответ $4$ .

Повторяющаяся запись $953595359535 \dots$ : период 4, $1320 = 4 \cdot 330$ — остаток 0, последняя цифра периода: $5$ .

Тема 5 · Математика

Площади и объёмы

Потренироваться: задания по теме →

Гектары в квадратные метры Литры в кубические метры Литры в миллилитры

Простыми словами

Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости, — сколько квадратиков $1 \times 1$ в неё помещается. Объём показывает, сколько места занимает тело в пространстве, — сколько кубиков $1 \times 1 \times 1$ в него помещается. Отсюда и единицы: см² («квадратный сантиметр»), см³ («кубический сантиметр»).

Площадь прямоугольника

3 ряда по 5 квадратиков:

S = 5 \cdot 3 = 15

см²

S = a \cdot b S_{квадрата} = a \cdot a = a^{2}

S

— площадь,

a

— длина,

b

— ширина (в одних единицах); ответ — в квадратных единицах

$a = 17$ см, $b = 27$ см: $S = 17 \cdot 27 = 459$ см².

Известны площадь и одна сторона — делим: $b = S : a$ . Например, $S = 156$ см², $a = 13$ см: $b = 156 : 13 = 12$ см.

Площадь и периметр — разные вещи. Периметр — длина границы $P = 2 (a + b)$ в см, площадь — в см². Для $5 \times 3$ : $P = 16$ см, $S = 15$ см².

Объём параллелепипеда

Три измерения: длина

a

, ширина

b

, высота

c

V = a \cdot b \cdot c V_{куба} = a^{3}

V

— объём,

a, b, c

— длина, ширина, высота; ответ — в кубических единицах

$12 \times 7 \times 13$ см: $V = 12 \cdot 7 \cdot 13 = 84 \cdot 13 = 1092$ см³.

На дно ( $a \cdot b$ кубиков) кладут $c$ таких слоёв — получается $a \cdot b \cdot c$ кубиков. Отсюда же $V = S_{дна} \cdot c$ .

Единицы площади и объёма

Площадь	Объём
1 дм² = 100 см²	1 дм³ = 1000 см³ = 1 л
1 м² = 100 дм² = 10 000 см²	1 м³ = 1000 дм³ = 1000 л
1 а («сотка») = 100 м²	1 см³ = 1000 мм³
1 га = 100 а = 10 000 м²
1 км² = 100 га = 1 000 000 м²

$49$ дм³ $= 49$ л; $4$ м³ $= 4 \cdot 1000 = 4000$ л.

1 м = 10 дм, но 1 м² = 100 дм², а 1 м³ = 1000 дм³: квадрат $1 \times 1$ м содержит $10 \cdot 10$ квадратов по 1 дм², куб — $10 \cdot 10 \cdot 10$ кубиков.

Тема 06 · Математика, углублённый уровень

Углы, треугольники и многоугольники

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Угол — это «раствор» между двумя лучами из одной точки, как раскрытые ножницы. Его меряют в градусах: полный оборот — $36 0^{\circ}$ , развёрнутый угол (лучи в разные стороны по прямой) — $18 0^{\circ}$ , прямой — $9 0^{\circ}$ . Главная идея темы: углы и отрезки складываются, поэтому задачи решаются уравнением или делением на части.

Луч внутри угла и биссектриса

∠ A OB = ∠ A OC + ∠ COB

Углы относятся как $m : n$ — одна часть $= ∠ A OB : (m + n)$ . Для $∠ A OB = 4 2^{\circ}$ и $5 : 2$ : часть $6^{\circ}$ , $∠ A OC = 3 0^{\circ}$ .
Один угол больше другого на $d$ — меньший $= (∠ A OB - d) : 2$ .
Биссектриса — луч, делящий угол пополам.
Угол между биссектрисами двух соседних углов равен половине их суммы.

$OC$ — биссектриса $∠ A OB$ , $O D$ — биссектриса $∠ COB$ , $∠ A O D = 9 3^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ .

Пусть $∠ A OC = ∠ COB = x$ ; тогда $∠ CO D = \frac{x}{2}$ .
$∠ A O D = x + \frac{x}{2} = 1, 5 x = 9 3^{\circ}$ , $x = 6 2^{\circ}$ .
$∠ A OB = 2 x = 12 4^{\circ}$ .

Смежные углы

Смежные углы — у них одна сторона общая, а две другие продолжают друг друга (образуют прямую). Их сумма:

∠ A OC + ∠ COB = 18 0^{\circ}

«Один в 17 раз больше» — всего $18$ частей: меньший $18 0^{\circ} : 18 = 1 0^{\circ}$ .
Угол между биссектрисами смежных углов равен $9 0^{\circ}$ .

$∠ A OC$ на $2 4^{\circ}$ больше смежного $∠ COB$ ; $OM$ — биссектриса $∠ A OC$ . Найдите $∠ MOB$ .

$∠ COB = (18 0^{\circ} - 2 4^{\circ}) : 2 = 7 8^{\circ}$ , $∠ A OC = 10 2^{\circ}$ .
$∠ MOC = 10 2^{\circ} : 2 = 5 1^{\circ}$ .
$∠ MOB = 5 1^{\circ} + 7 8^{\circ} = 12 9^{\circ}$ .

Угол между стрелками часов

Положения стрелок отсчитываем от «12» по ходу часов

минутная : 6 m^{\circ} часовая : (30 h + 0, 5 m)^{\circ}

h

— часы (от 0 до 11),

m

— минуты; минутная проходит

6^{\circ}

в минуту, часовая —

3 0^{\circ}

в час, то есть

0, 5^{\circ}

в минуту

Угол между стрелками — разность положений. Если она больше $18 0^{\circ}$ , меньший угол $= 36 0^{\circ}$ минус она.

Часы показывают 11:32.

Часовая: $30 \cdot 11 + 0, 5 \cdot 32 = 34 6^{\circ}$ ; минутная: $6 \cdot 32 = 19 2^{\circ}$ .
Разность $15 4^{\circ}$ — она меньше $18 0^{\circ}$ . Ответ: $15 4^{\circ}$ .

Часовая стрелка не стоит на месте: в 7:41 она уже не на «7», а сдвинулась на $0, 5 \cdot 41 = 20, 5^{\circ}$ . Угол: $∣230, 5^{\circ} - 24 6^{\circ} ∣ = 15, 5^{\circ}$ .

Треугольники и многоугольники

Периметр — сумма длин всех сторон: $P = a + b + c$ . У равностороннего $P = 3 a$ , у равнобедренного $P = 2 \cdot боковая + основание$ .
Сумма углов треугольника: $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$ .
Прямоугольник: $P = 2 (a + b)$ , полупериметр $a + b = P : 2$ .
Длина ломаной — сумма длин её звеньев.
Два треугольника с общей стороной $d$ , сложенные в один: $P_{1} + P_{2} = P + 2 d$ .

$P = 61$ см, $A B$ на 14 см длиннее $BC$ , $A C$ на 5 см длиннее $BC$ . Наибольшая сторона?

$BC = x$ , $A B = x + 14$ , $A C = x + 5$ .
$3 x + 19 = 61$ , $x = 14$ .
Наибольшая $A B = 28$ см.

У фигуры с прямыми углами («лесенки») периметр равен периметру описанного прямоугольника: горизонтальные ступеньки вместе дают длину, вертикальные — высоту. Для размеров $15$ и $26$ : $P = 2 (15 + 26) = 82$ см.

Ещё приёмы: углы и периметры

Два луча внутри угла. Лучи $OB$ и $OC$ внутри $∠ A O D$ ( $OB$ ближе к $O A$ ). Тогда $∠ A OC + ∠ BO D = ∠ A O D + ∠ BOC$ — угол $BOC$ посчитан дважды. При $∠ A O D = 7 2^{\circ}$ , $∠ A OC = 6 1^{\circ}$ , $∠ BO D = 4 6^{\circ}$ : $∠ BOC = 6 1^{\circ} + 4 6^{\circ} - 7 2^{\circ} = 3 5^{\circ}$ .

Равнобедренный треугольник: углы при основании равны. Если $A B = BC$ и $∠ B = 9 2^{\circ}$ , то $∠ A = ∠ C = (18 0^{\circ} - 9 2^{\circ}) : 2 = 4 4^{\circ}$ .

Квадрат разрезали на два прямоугольника. Сумма их периметров — периметр квадрата плюс два раза линия разреза: $4 a + 2 a = 6 a$ . Если сумма $120$ см, то $a = 20$ см, $P = 80$ см.

Квадраты в ряд. Прямоугольник из 3 квадратов со стороной $a$ : длина $3 a$ , ширина $a$ , $P = 2 (3 a + a) = 8 a$ . При $P = 32$ см $a = 4$ см, периметр квадрата $16$ см.

Удобно обозначить самую маленькую величину буквой $x$ и выразить через неё остальные: длина ломаной $A B = x$ , $BC = x + 8$ , $C D = 3 (x + 8)$ ; $x + x + 8 + 3 x + 24 = 57$ , $x = 5$ .

Тема 6 · Математика

Обыкновенные дроби

Потренироваться: задания по теме →

Калькулятор дробей

Простыми словами

Шоколадку из 8 долек разделили поровну — каждая долька это одна восьмая, $\frac{1}{8}$ шоколадки. Съели 3 дольки — съели $\frac{3}{8}$ . Число под чертой говорит, на сколько равных частей разделили целое, число над чертой — сколько частей взяли.

Запись $\frac{a}{b}$ — обыкновенная дробь. $b$ — знаменатель: на сколько равных долей разделено целое. $a$ — числитель: сколько долей взято. Черта дроби означает деление: $\frac{a}{b} = a : b$ .

Закрашено

\frac{3}{8}

полосы, не закрашено

\frac{5}{8}

Считаем все равные части (знаменатель) и закрашенные (числитель). Если полосу разбили на 4 части и закрасили 2 — это $\frac{2}{4}$ (то же, что $\frac{1}{2}$ ).

Часть от числа и число по части

\frac{a}{b} от числа N = N : b \cdot a

делим на знаменатель (находим одну долю), умножаем на числитель (берём

a

долей)

Найдите $\frac{8}{12}$ от 444.

Одна доля: $444 : 12 = 37$ .
Восемь долей: $37 \cdot 8 = 296$ .

Обратная задача — число по его части: делим на числитель, умножаем на знаменатель. Если $\frac{3}{4}$ числа равны 60, то $\frac{1}{4}$ — это $20$ , а всё число $20 \cdot 4 = 80$ .

Не путайте порядок: для $\frac{2}{5}$ от 75 сначала $75 : 5 = 15$ , потом $15 \cdot 2 = 30$ . Если разделить на 2 и умножить на 5, получится ответ к другой задаче.

Сравнение, сложение и вычитание

Из дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель: $\frac{5}{8} < \frac{6}{8}$ . При сложении и вычитании таких дробей числители складывают (вычитают), а знаменатель оставляют прежним:

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

$\frac{19}{24} + \frac{3}{24} = \frac{22}{24}$ ; $\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9}$ ; $\frac{1}{17} < \frac{2}{17}$ .

Знаменатели не складывают: $\frac{1}{17} + \frac{9}{17} = \frac{10}{17}$ , а не $\frac{10}{34}$ . Доли остались те же — семнадцатые, их просто стало больше.

Из дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше: $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ (треть пирога больше пятой части).

Правильные, неправильные и смешанные

ПравильнаяЧислитель меньше знаменателя; дробь меньше 1:

\frac{3}{7}

НеправильнаяЧислитель больше знаменателя или равен ему; дробь не меньше 1:

\frac{17}{5}

\frac{4}{4}

Смешанное числоЦелая часть и правильная дробь:

3 \frac{2}{5} = 3 + \frac{2}{5}

Чтобы выделить целую часть, делим числитель на знаменатель с остатком: неполное частное — целая часть, остаток — новый числитель.

Выделите целую часть: $\frac{166}{13}$ .

$166 : 13 = 12$ (остаток $10$ ), ведь $13 \cdot 12 = 156$ .
$\frac{166}{13} = 12 \frac{10}{13}$ . Целая часть — $12$ .

Обратно: $3 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$ — целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель.

Тема 07 · Математика, углублённый уровень

Площади и объёмы

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Площадь — сколько квадратиков $1 \times 1$ помещается в фигуре (сколько плитки нужно на пол). Объём — сколько кубиков $1 \times 1 \times 1$ помещается в теле (сколько воды войдёт в аквариум). Периметр — длина забора вокруг фигуры. Почти любая задача сводится к прямоугольнику и прямоугольному параллелепипеду.

Прямоугольник и составные фигуры

S = a \cdot b P = 2 (a + b)

a

— длина,

b

— ширина; для квадрата

S = a^{2}

P = 4 a

Обратные задачи: $b = S : a$ ; полупериметр $a + b = P : 2$ .
Составную фигуру разрезают на прямоугольники и складывают площади — или достраивают до большого прямоугольника и вычитают лишнее. $S_{рамки} = S_{внешн .} - S_{внутр .}$
При одинаковом периметре наибольшую площадь имеет квадрат.

Периметр 108 см, длина в 2 раза больше ширины. Площадь?

Ширина — 1 часть, длина — 2 части; полупериметр $108 : 2 = 54$ см — это 3 части.
Ширина $54 : 3 = 18$ см, длина $36$ см.
$S = 18 \cdot 36 = 648$ см².

Крест из пяти одинаковых квадратов, площадь 45 см². Периметр?

Один квадрат: $45 : 5 = 9$ см², сторона $3$ см.
Граница креста состоит из 12 сторон квадратов: $12 \cdot 3 = 36$ см.

Внутренние линии разреза в периметр не входят — считаем только внешнюю границу.

Объём параллелепипеда и куба

Длина

a

, ширина

b

, высота

c

; у параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин

V = a \cdot b \cdot c V_{куба} = a^{3}

V

— объём (см³, дм³, м³),

a, b, c

— длина, ширина, высота

Высота по объёму: $c = V : (a \cdot b)$ .
У куба 12 равных рёбер: ребро = сумма рёбер $: 12$ . Если $V = 216$ см³, ребро $6$ см ( $6^{3} = 216$ ), сумма рёбер $72$ см.
Сколько кубиков с ребром $k$ войдёт в коробку: $(a : k) \cdot (b : k) \cdot (c : k)$ . Для $56 \times 28 \times 35$ и $k = 7$ : $8 \cdot 4 \cdot 5 = 160$ .
Подъём воды = объём погружённого тела $:$ площадь дна.

Делить объём коробки на объём кубика можно не всегда: если размеры не делятся на ребро нацело, «хвосты» пропадут. Надёжнее считать кубики по каждому измерению.

Площадь поверхности и развёртки

S_{поверхн .} = 2 (ab + b c + a c) S_{куба} = 6 a^{2}

три пары одинаковых противоположных граней

Коробка без крышки $27 \times 32 \times 3$ см. Сколько картона?

Дно: $27 \cdot 32 = 864$ см² (одно — крышки нет).
Боковые стенки: $2 \cdot (27 \cdot 3 + 32 \cdot 3) = 2 \cdot 177 = 354$ см².
Итого $864 + 354 = 1218$ см².

Подробнее: окрашенный куб

Куб $n \times n \times n$ покрасили снаружи и распилили на кубики $1 \times 1 \times 1$ . Три окрашенные грани — у 8 угловых кубиков, две — $12 (n - 2)$ , одна — $6 (n - 2)^{2}$ , ни одной — $(n - 2)^{3}$ .

Склеенные кубы, развёртка, стены

5 кубов с ребром 7 см склеили в ряд. Площадь поверхности?

Получился параллелепипед $35 \times 7 \times 7$ см.
$S = 2 (35 \cdot 7 + 7 \cdot 7 + 35 \cdot 7) = 2 (245 + 49 + 245) = 1078$ см².
Проверка по граням: у 5 кубов $5 \cdot 6 = 30$ граней, при склейке спрятались $4 \cdot 2 = 8$ ; осталось $22$ грани по $49$ см² — $1078$ см² ✓

Развёртка — все 6 граней, разложенные на плоскости. На ней находят три разных размера (длину, ширину, высоту) и считают $V = a \cdot b \cdot c$ : развёртка с размерами 12, 4 и 3 см даёт $V = 12 \cdot 4 \cdot 3 = 144$ см³. Площадь развёртки — это площадь поверхности: $2 (12 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 12 \cdot 3) = 192$ см².

Стены комнаты — боковая поверхность без пола и потолка: $S_{стен} = 2 (a + b) \cdot c$ . Окна и двери вычитают. Комната $5 \times 5$ м, высота $3, 4$ м, 4 проёма по 2 м²: $2 \cdot 10 \cdot 3, 4 - 8 = 60$ м². При расходе 100 г краски на 1 м² нужно $6000$ г $= 6$ кг; банок по 3 кг — $6 : 3 = 2$ .

Банки, плитки, автобусы считают с округлением вверх: если краски нужно $9, 36$ кг, а банка 2 кг, то $9, 36 : 2 = 4, 68$ — покупают $5$ банок.

Единицы измерения

Единица	Равна
1 м²	100 дм² = 10 000 см²
1 а (сотка)	100 м²
1 га	100 а = 10 000 м²
1 л = 1 дм³	1000 см³
1 м³	1000 дм³ = 1000 л

Для длины шаг $10$ (1 дм = 10 см), для площади — $10 \cdot 10 = 100$ , для объёма — $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ .

Ящик $1 дм \times 60 см \times 0, 4 м$ . Сколько кубиков с ребром 5 см войдёт?

Всё в сантиметрах: $10 \times 60 \times 40$ .
$(10 : 5) \cdot (60 : 5) \cdot (40 : 5) = 2 \cdot 12 \cdot 8 = 192$ .

Аквариум $60 \times 20$ см, вода до высоты 33 см: $60 \cdot 20 \cdot 33 = 39600$ см³ $= 39, 6$ л (берём высоту воды, а не аквариума).

Тема 7 · Математика

Десятичные дроби: сравнение, сложение и вычитание

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Цена 23,40 ₽ — это 23 рубля и 40 копеек, то есть 23 целых и $\frac{40}{100}$ рубля. Десятичная дробь — удобная запись дробей со знаменателем 10, 100, 1000…: знаменатель не пишут, а целую и дробную части разделяют запятой.

Обыкновенная	Десятичная	Читается
$\frac{3}{10}$	0,3	ноль целых три десятых
$\frac{47}{100}$	0,47	ноль целых сорок семь сотых
$2 \frac{5}{100}$	2,05	две целых пять сотых

После запятой идут разряды: десятые, сотые, тысячные… Сколько нулей в знаменателе — столько цифр после запятой. Нули справа в конце дробной части ничего не меняют: $3, 4 = 3, 40 = 3, 400$ .

Сравнение

Сравниваем целые части: у кого больше, та дробь и больше. $84, 45 > 7, 467$ , потому что $84 > 7$ ; $8, 5 < 861$ .
Если целые части равны — уравниваем число знаков после запятой нулями и сравниваем дробные части поразрядно: десятые, потом сотые…

$3, 5$ и $3, 48$ : пишем $3, 50$ и $3, 48$ . Десятые: $5 > 4$ — значит, $3, 5 > 3, 48$ .

Больше цифр — ещё не больше число: $7, 467 < 84, 45$ , а $0, 5 > 0, 4999$ . Сначала целые части, потом разряд за разрядом.

Сложение и вычитание

Записываем запятую под запятой (тогда разряд стоит под разрядом), недостающие знаки дополняем нулями и считаем столбиком, как натуральные числа. Запятую в ответе ставим под запятыми.

64, 25 + 37, 10 101, 35 68, 34 - 16, 49 51, 85

$997, 6 - 339, 9$

Десятые: из 6 не вычесть 9 — занимаем единицу: $16 - 9 = 7$ .
Единицы: $6 - 9$ — снова занимаем: $16 - 9 = 7$ ; десятки: $8 - 3 = 5$ ; сотни: $9 - 3 = 6$ .
Ответ: $657, 7$ .

Нельзя выравнивать по правому краю: $6, 7 + 2, 45$ — это $6, 70 + 2, 45 = 9, 15$ , а не $67 + 245$ .

Округление

Смотрим на первую отбрасываемую цифру (справа от разряда, до которого округляем):

0, 1, 2, 3, 4Отбрасываем, цифру разряда не меняем:

3, 472 \approx 3

(до целых).

5, 6, 7, 8, 9Цифру разряда увеличиваем на 1:

3, 472 \approx 3, 5

(до десятых).

3, 47

правее середины

3, 45

— ближе к

3, 5

, поэтому

3, 47 \approx 3, 5

$885, 86$ до целых: первая отбрасываемая цифра $8$ — увеличиваем: $886$ .
$144, 86$ до десятых: отбрасываем $6$ — $8$ становится $9$ : $144, 9$ .

Округляя до десятых, ответ записывают с одним знаком после запятой, даже если это ноль: $2, 96 \approx 3, 0$ .

Тема 8 · Математика

Умножение и деление десятичных дробей

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

3,47 м — это 347 см: при умножении на 100 цифры те же, только запятая «переехала» на два знака вправо. Умножение и деление десятичных дробей почти не отличаются от действий с натуральными числами — главное правильно поставить запятую.

На 10, 100, 1000

УмножениеЗапятая переносится вправо на столько знаков, сколько нулей в множителе:

201, 42 \cdot 10 = 2014, 2

;

931, 53 \cdot 100 = 93153

ДелениеЗапятая переносится влево на столько знаков, сколько нулей в делителе:

2697, 1 : 10 = 269, 71

;

3, 47 : 100 = 0, 0347

Два нуля в 100 — два прыжка запятой вправо

Если цифр не хватает — дописываем нули: $3, 47 : 100 = 0, 0347$ , $2, 5 \cdot 1000 = 2500$ .

Умножили на 10 — число стало больше, разделили — меньше. Если вышло наоборот, запятую сдвинули не туда.

Умножение на натуральное число

Умножаем столбиком, не обращая внимания на запятую.
В ответе отделяем запятой справа столько цифр, сколько их было после запятой в дроби.

$850, 8 \cdot 12$

$8508 \cdot 12 = 102096$ .
В $850, 8$ один знак после запятой — отделяем одну цифру: $10209, 6$ .

$2, 35 \cdot 4$ : $235 \cdot 4 = 940$ , два знака → $9, 40 = 9, 4$ .

Нули на конце дробной части можно отбросить, но после того, как поставили запятую: $9, 40 = 9, 4$ , а не $0, 94$ .

Деление на натуральное число

Делим уголком, как натуральные числа.
Как только закончили делить целую часть, ставим запятую в частном.
Если остаток не ноль, дописываем к делимому нули и делим дальше.

$431, 4 : 12$

Целая часть: $431 : 12 = 35$ (ост. $11$ ) — пишем $35$ и ставим запятую.
Сносим $4$ : $114 : 12 = 9$ (ост. $6$ ) → $35, 9$ .
Дописываем $0$ : $60 : 12 = 5$ → $35, 95$ .

Если целая часть меньше делителя, в частном пишем $0$ целых: $9, 6 : 12 = 0, 8$ .

Деление проверяют умножением: $35, 95 \cdot 12 = 431, 4$ ✓.

Тема 9 · Математика

Проценты. Среднее арифметическое

Потренироваться: задания по теме →

Сложный процент Среднее и медиана Калькулятор процентов Среднее, медиана, мода

Простыми словами

«Скидка 20 %» значит: из каждых 100 рублей цены вычтут 20. Процент — это сотая часть: целое делят на 100 равных кусочков, и 20 % — это 20 таких кусочков. Всё число — это $100 %$ .

$1 % = \frac{1}{100}$ числа. Значит, $p % = \frac{p}{100}$ числа: $20 % = 0, 2$ , $5 % = 0, 05$ , $150 % = 1, 5$ .

$50 %$ — половина, $25 %$ — четверть, $20 %$ — пятая часть, $10 %$ — десятая часть, $100 %$ — всё число.

Три типа задач

Задача	Как решать	Пример
Найти $p %$ от числа $a$	$a : 100 \cdot p$	$20 %$ от 900: $900 : 100 \cdot 20 = 180$
Найти число, если $p %$ его равны $b$	$b : p \cdot 100$	$40 %$ числа равны 272: $272 : 40 \cdot 100 = 680$
Сколько процентов $a$ составляет от $b$	$a : b \cdot 100 %$	$168$ от $420$ : $168 : 420 \cdot 100 = 40 %$

40 %

— это 4 кусочка по

10 %

. Один кусочек:

272 : 4 = 68

, всё число:

68 \cdot 10 = 680

$60 %$ числа равны 276. Найдите число.

$1 %$ числа: $276 : 60 = 4, 6$ .
$100 %$ : $4, 6 \cdot 100 = 460$ .

Смотрите, что известно: всё число (ищем часть — делим на 100, умножаем на $p$ ) или часть (ищем целое — делим на $p$ , умножаем на 100). Перепутать — частая ошибка.

Среднее арифметическое

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

x_{1}, \dots, x_{n}

— числа,

n

— их количество,

\overset{x}{ˉ}

— среднее арифметическое

Числа $25, 56, 33$ .

Сумма: $25 + 56 + 33 = 114$ .
Чисел три: $114 : 3 = 38$ .

Смысл: если «выровнять» все числа, сделав их одинаковыми при той же сумме, каждое станет равно среднему. Поэтому среднее всегда лежит между наименьшим и наибольшим числом.

Делим на количество чисел, а не на 2. Для $17, 33, 10$ : $60 : 3 = 20$ .

Тема 10 · Математика

Углы. Измерение углов. Диаграммы

Потренироваться: задания по теме →

Диаграммы: столбчатая, круговая и таблица

Простыми словами

Откройте книгу: обложки образуют угол, и чем шире раскрыта книга, тем угол больше. Угол — это две стороны-луча, выходящие из одной точки, вершины. Размер угла меряют в градусах ( $^{\circ}$ ) с помощью транспортира.

$∠ A OB$ — угол с вершиной $O$ (буква вершины всегда в середине) и сторонами $O A$ и $OB$ .

Виды углов

Острый

< 9 0^{\circ}

; прямой

= 9 0^{\circ}

; тупой — от

9 0^{\circ}

до

18 0^{\circ}

; развёрнутый

= 18 0^{\circ}

Вид угла	Градусная мера
Острый	меньше $9 0^{\circ}$
Прямой	ровно $9 0^{\circ}$
Тупой	больше $9 0^{\circ}$ , но меньше $18 0^{\circ}$
Развёрнутый	ровно $18 0^{\circ}$ (стороны — одна прямая)

$∠ A OB = 9 7^{\circ}$ : больше $9 0^{\circ}$ , меньше $18 0^{\circ}$ — тупой.

У транспортира две шкалы. Совместите центр с вершиной, одну сторону — с нулём и считайте по той шкале, которая от этого нуля начинается. Иначе вместо $5 0^{\circ}$ прочитаете $13 0^{\circ}$ .

Сложение углов и смежные углы

Если луч $OC$ проходит внутри угла $A OB$ , он делит его на два угла:

∠ A OB = ∠ A OC + ∠ COB

$∠ A OC = 3 9^{\circ}$ , $∠ COB = 5 4^{\circ}$ : $∠ A OB = 3 9^{\circ} + 5 4^{\circ} = 9 3^{\circ}$ .

Смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, поэтому их сумма $18 0^{\circ}$ . Один равен $11 2^{\circ}$ — другой $18 0^{\circ} - 11 2^{\circ} = 6 8^{\circ}$ .

Луч делит прямой угол на два — их сумма $9 0^{\circ}$ : если один $4 3^{\circ}$ , другой $9 0^{\circ} - 4 3^{\circ} = 4 7^{\circ}$ .

Прямой — $90$ , развёрнутый — $180$ , полный оборот — $360$ . Каждое следующее вдвое больше.

Столбчатые диаграммы

Чем выше столбик, тем больше значение

Значение столбика читаем по шкале слева: проводим мысленно горизонтальную линию от верха столбика к оси.

Сумма всех значений: $20 + 35 + 28 + 55 = 138$ .
На сколько наибольшее больше наименьшего: $55 - 20 = 35$ .

Смотрите на цену деления шкалы: здесь одна линия сетки — 20 единиц, а не 1. Если столбик между линиями — значение промежуточное.

Математика: теория

Оглавление

Натуральные числа и делимость

Простыми словами

Признаки делимости и неизвестные цифры

Простые множители и число делителей

НОД и НОК

Деление с остатком

Цифры числа

Подсчёты: делители, остатки, цифры

Натуральные числа: разряды, сравнение, округление

Простыми словами

Разряды и классы

Разрядные слагаемые

Сравнение

Округление

Вычисления и рациональные приёмы

Простыми словами

Порядок действий

Вынесение общего множителя

Удобные множители и группировка

Сумма ряда чисел (приём Гаусса)

Суммы с чередованием знаков

Квадраты и кубы

Сложение и вычитание натуральных чисел

Простыми словами

Столбиком

Свойства сложения

Уравнения

Текстовые задачи «на … больше / меньше»

Обыкновенные и десятичные дроби

Простыми словами

Сложение и вычитание

Умножение и деление

Десятичные дроби и смешанные выражения

Часть и целое

Умножение и деление натуральных чисел

Простыми словами

Свойства умножения

Деление уголком

Порядок действий

Деление с остатком

Уравнения и текстовые задачи

Простыми словами

Уравнения в несколько действий

Задачи на движение

Совместная работа

Части, «с конца» и предположение

Поезд, банка, возраст

Числовые и буквенные выражения. Уравнения

Простыми словами

Значение буквенного выражения

Уравнение и его корень

Формулы

Логические и комбинаторные задачи

Простыми словами

Правило произведения

Подсчёт чисел с условием

Запреты и подсчёт цифр

Принцип Дирихле и худший случай

Худший случай: примеры

Круги Эйлера

Закономерности и последовательности

Циклы, разности, цифры подряд

Площади и объёмы

Простыми словами

Площадь прямоугольника

Объём параллелепипеда

Единицы площади и объёма

Углы, треугольники и многоугольники

Простыми словами

Луч внутри угла и биссектриса

Смежные углы

Угол между стрелками часов

Треугольники и многоугольники

Ещё приёмы: углы и периметры

Обыкновенные дроби

Простыми словами

Часть от числа и число по части

Сравнение, сложение и вычитание