Тема 07 · Математика, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Площадь многоугольника по координатам вершин

Координатная плоскость: симметрия, углы, площади. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Площадь многоугольника по координатам вершин»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Координаты превращают геометрию в арифметику. Длина отрезка вдоль клеток — это разность координат, площадь фигуры на клетчатой бумаге — прямоугольник минус «уголки», а симметричную точку находят простым правилом. Углы же подчиняются двум законам: смежные дают $18 0^{\circ}$ , а все углы вокруг точки — $36 0^{\circ}$ .

Площадь по координатам вершин

Многоугольник достраивают до прямоугольника со сторонами вдоль линий сетки и вычитают лишние прямоугольные треугольники. Катеты каждого — разности координат концов стороны.

Прямоугольник

8 \times 4 = 32

; лишние треугольники

12 + 4 + 3 = 19

;

S_{A BC} = 13

$A (2; - 6)$ , $B (- 4; - 2)$ , $C (4; - 3)$ .

Прямоугольник: $x$ от $- 4$ до $4$ (ширина 8), $y$ от $- 6$ до $- 2$ (высота 4) → $S = 32$ .
Треугольник у $A B$ : катеты $6$ и $4$ → $12$ . У $BC$ : $8$ и $1$ → $4$ . У $C A$ : $2$ и $3$ → $3$ .
$S = 32 - (12 + 4 + 3) = 13$ .

S = S_{прям .} - \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2} + a _{3} b _{3}}{2}

a_{i}, b_{i}

— катеты лишних прямоугольных треугольников

Длина отрезка вдоль оси — модуль разности: от $- 4$ до $4$ — это $8$ , а не $0$ .

Симметрия точки

Относительно	Правило
оси $O x$	$(x; y) \to (x; - y)$
оси $O y$	$(x; y) \to (- x; y)$
начала $O$	$(x; y) \to (- x; - y)$
прямой $x = a$	$(x; y) \to (2 a - x; y)$
прямой $y = b$	$(x; y) \to (x; 2 b - y)$
прямой $y = x$	$(x; y) \to (y; x)$

Почему $2 a - x$ : прямая $x = a$ — середина между точкой и её отражением, значит $\frac{x + x ^{'}}{2} = a$ .

$A (- 7; 3)$ относительно $y = - 4$ : $y^{'} = 2 \cdot (- 4) - 3 = - 11$ , $B (- 7; - 11)$ , сумма координат $- 18$ .
$A (- 3; - 5)$ относительно $x = - 2$ : $x^{'} = - 4 + 3 = - 1$ ; $A B = ∣ - 1 - (- 3) ∣ = 2$ .

Смежные и вертикальные углы

СмежныеВ сумме

18 0^{\circ}

ВертикальныеРавны (образуются при пересечении двух прямых).

Вокруг точкиВсе углы вместе —

36 0^{\circ}

Угол между биссектрисами соседних углов $α$ и $β$ : $\frac{α + β}{2}$ ; биссектрисы смежных углов перпендикулярны ( $9 0^{\circ}$ ).
При пересечении двух прямых сумма всех четырёх углов $36 0^{\circ}$ : если три дают $30 8^{\circ}$ , четвёртый $5 2^{\circ}$ .

4 луча делят плоскость на углы в отношении $7 : 1 : 4 : 6$ . Всего $18$ частей $= 36 0^{\circ}$ , часть $2 0^{\circ}$ , наименьший угол $2 0^{\circ}$ .

Стрелки часов

φ_{мин} = 6 m^{\circ} φ_{час} = (30 h + 0, 5 m)^{\circ}

положение от «12» по ходу часов;

h

— часы (0–11),

m

— минуты

Каждое деление-число на циферблате — $3 0^{\circ}$ : «7» стоит на $21 0^{\circ}$ . Угол между стрелками в $h$ ч $m$ мин: $∣30 h - 5, 5 m ∣$ (если больше $18 0^{\circ}$ — вычесть из $36 0^{\circ}$ ). Пример: 3:40 → $∣90 - 220∣ = 13 0^{\circ}$ .

8:08 — угол между часовой стрелкой и «7». Часовая: $30 \cdot 8 + 0, 5 \cdot 8 = 24 4^{\circ}$ ; до «7»: $24 4^{\circ} - 21 0^{\circ} = 3 4^{\circ}$ .
За 115 мин часовая повернётся на $0, 5 \cdot 115 = 57, 5^{\circ}$ .

Прямоугольники и ступенчатые фигуры

Ступенчатую фигуру считают как описанный прямоугольник минус вырезы: вершины $(0; 0), (8; 0), (8; 2), (7; 2), (7; 5), (0; 5)$ → $8 \cdot 5 - 1 \cdot 3 = 37$ .
Периметр «лесенки» с прямыми углами равен периметру описанного прямоугольника.
Площадь объединения: $S_{1} + S_{2} - S_{общей части}$ .

$A BC D$ : $A (- 6; - 1)$ , $C (- 1; 5)$ ; $K L MN$ : $K (- 5; 4)$ , $M (2; 10)$ . Площадь, покрытая хотя бы одним.

$S_{1} = 5 \cdot 6 = 30$ , $S_{2} = 7 \cdot 6 = 42$ .
Общая часть: $x$ от $- 5$ до $- 1$ (4), $y$ от $4$ до $5$ (1) → $4$ .
$30 + 42 - 4 = 68$ .

Общую часть не вычтешь — посчитаешь её дважды. Общая часть по каждой оси: от большего из левых концов до меньшего из правых.

Вершины прямоугольника и квадрата

Если стороны идут вдоль линий сетки, у соседних вершин совпадает одна координата.

Вершины прямоугольника $A (2; - 1)$ , $B (2; - 3)$ , $C (- 1; - 3)$ . Найдите $D$ .

$A B$ вертикальна ( $x = 2$ ), $BC$ горизонтальна ( $y = - 3$ ).
$D$ берёт $x$ от $C$ и $y$ от $A$ : $D (- 1; - 1)$ , сумма координат $- 2$ .

Противоположные вершины квадрата со сторонами вдоль осей: $A (0; 1)$ , $C (6; - 5)$ . Сторона — разность абсцисс $∣6 - 0∣ = 6$ (она равна и разности ординат $∣1 - (- 5) ∣ = 6$ ), площадь $36$ .

Отрезок и его отражение относительно оси $O x$ образуют трапецию; её площадь находят тем же способом — описанный прямоугольник минус лишние треугольники.

Серия: 0