Сложение и вычитание рациональных чисел

Действия с числами разных знаков, расстояние между точками. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Положительное число — это доход, отрицательное — долг. Заработали 25 ₽ и потратили 10 ₽: $25 + (- 10) = 15$ . Два долга складываются в больший долг: $- 5 + (- 3) = - 8$ .

Рациональные числа — все числа, которые можно записать дробью $\frac{m}{n}$ ( $m$ — целое, $n$ — натуральное): целые, обыкновенные и конечные десятичные дроби, положительные и отрицательные.

Сложение

Знаки одинаковыесложить модули и поставить общий знак:

- 5 + (- 3) = - 8

;

- 15 + (- 6) + (- 16) = - 37

Знаки разныеиз большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с бо́льшим модулем:

- 7 + 4 = - 3

;

25 + (- 10) = 15

Прибавить положительное — шагнуть вправо, отрицательное — влево

Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (- a) = 0$ . В длинной сумме сначала вычеркните такие пары: $- 8 + 5 + 8 = 5$ .

Вычитание

a - b = a + (- b)

вычесть число

b

— то же, что прибавить противоположное ему число

- b

Отдельного правила для вычитания запоминать не нужно: заменяем его сложением и применяем правила выше.

$3 - 8 = 3 + (- 8) = - 5$ .
$- 4 - (- 9) = - 4 + 9 = 5$ .
$11 - (- 2) = 11 + 2 = 13$ ; $27 - (- 6) = 33$ .

«Минус на минус» в вычитании даёт плюс: $11 - (- 2) = 11 + 2$ . Частая ошибка — получить $9$ , просто убрав скобки.

Сумма нескольких чисел

Удобно сложить отдельно все положительные, отдельно все отрицательные, а потом сложить два результата.

$- 19 + (- 17) + (- 15)$ и $12 + (- 7) + 5 + (- 10)$

Все отрицательные: $19 + 17 + 15 = 51$ , ответ $- 51$ .
Положительные: $12 + 5 = 17$ , отрицательные: $- 7 + (- 10) = - 17$ . Итого $17 + (- 17) = 0$ .

Расстояние между точками

A B = ∣ a - b ∣

a

b

— координаты точек

A

B

на прямой; расстояние не бывает отрицательным

Точки $- 11$ и $10$ : $∣ - 11 - 10∣ = ∣ - 21∣ = 21$ .
Точки $25$ и $- 15$ : $∣25 - (- 15) ∣ = ∣40∣ = 40$ .

Если точки по разные стороны от нуля, расстояние — сумма их модулей: $11 + 10 = 21$ . Если по одну сторону — разность модулей: между $- 9$ и $- 4$ расстояние $9 - 4 = 5$ .

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Вычислите.

19 + 16

Показать ответ

Ответ: 35
Решение. 19 + 16 = 35.

Вычислите.

11 − (-2)

Показать ответ

Ответ: 13
Решение. 11 − (-2) = 11 + (2) = 13.

Найдите сумму.

-15 + (-6) + (-16)

Показать ответ

Ответ: -37
Решение. -15 + (-6) + (-16) = -37.

Найдите расстояние между точками.

Точки с координатами -11 и 10

Показать ответ

Ответ: 21
Решение. |-11 − (10)| = |-21| = 21.