Тема 05 · Математика, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Середина отрезка и деление в отношении

Координатная прямая и плоскость. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Середина отрезка и деление в отношении»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Координатная прямая — это линейка, у которой есть отрицательная часть. Расстояние между двумя точками — сколько шагов от одной до другой, середина — точка ровно посередине. Почти любая задача темы решается двумя формулами и рисунком.

A B = ∣ a - b ∣ M = \frac{a + b}{2}

a, b

— координаты точек

A

B

;

∣ \cdot ∣

— модуль (расстояние всегда неотрицательно);

M

— координата середины

Середина и деление отрезка

$M$ — середина $A B$ , известны $a$ и $m$ → $b = 2 m - a$ . Для $A (2, 8)$ , $M (0)$ : $b = - 2, 8$ .
Точка $K$ делит $A B$ в отношении $A K : K B = m : n$ → $k = a + (b - a) \cdot \frac{m}{m + n}$ .
Симметрия относительно начала отсчёта: $a \to - a$ .

$A (3, 4)$ , $A_{1}$ симметрична $A$ относительно 0, $C (7, 8)$ , $D$ — середина $A_{1} C$ : $A_{1} (- 3, 4)$ , $D = \frac{- 3 , 4 + 7 , 8}{2} = 2, 2$ .

Расстояния и точки с условием

От точки $a$ на расстоянии $d$ лежат две точки: $a - d$ и $a + d$ . Условие $A C = k \cdot BC$ ( $k \neq = 1$ ) тоже выполняется в двух точках: внутри отрезка $A B$ и снаружи — за той точкой, к которой $C$ ближе.

A C = 4 \cdot BC

: внутри —

C_{1} (- 6)

, снаружи за

B

—

C_{2} (- 22)

$A B = 30$ . Внутри: $A C + BC = 30$ , $5 BC = 30$ , $BC = 6$ → $C_{1} = - 12 + 6 = - 6$ .
Снаружи (за $B$ ): $A C - BC = 30$ , $3 BC = 30$ , $BC = 10$ → $C_{2} = - 22$ .
Сумма координат: $- 28$ .

Расстояние — всегда «большая координата минус меньшая»: от $5, 2$ до $- 10, 5$ будет $5, 2 - (- 10, 5) = 15, 7$ .

Движение точек

x (t) = a + v t (вправо) x (t) = a - v t (влево)

a

— начальная координата,

v

— скорость (ед./с),

t

— время (с)

Из $A (9)$ вправо со скоростью 5, из $B (39)$ влево со скоростью 3. Где встреча?

$9 + 5 t = 39 - 3 t$ → $8 t = 30$ , $t = 3, 75$ с.
$x = 9 + 5 \cdot 3, 75 = 27, 75$ .

Вдогонку (обе вправо, из $A (4)$ со скоростью 5 и из $B (39)$ со скоростью 1): $t = 35 : (5 - 1) = 8, 75$ , встреча в $4 + 5 \cdot 8, 75 = 47, 75$ .

Навстречу: $t = расстояние : (v_{1} + v_{2})$ . Вдогонку: $t = расстояние : (v_{1} - v_{2})$ .

Целые точки

Целых чисел от $a$ до $b$ включительно: $b - a + 1$ ; строго между $a$ и $b$ : $b - a - 1$ (между $- 32$ и $- 12$ : $- 12 - (- 32) - 1 = 19$ ).
$a < ∣ x ∣ < b$ — два промежутка, симметричных относительно нуля: целых положительных $x$ от $a + 1$ до $b - 1$ и столько же отрицательных. Для $11 < ∣ x ∣ < 21$ : от $12$ до $20$ — $9$ чисел, всего $2 \cdot 9 = 18$ .
$∣ x - a ∣ \leq b$ ⇔ $a - b \leq x \leq a + b$ (точки на расстоянии не больше $b$ от $a$ ). Для строгого $<$ концы не берём.
$∣ x ∣ \leq a$ , $∣ y ∣ \leq b$ : $(2 a + 1) (2 b + 1)$ целых точек; не на осях — $2 a \cdot 2 b$ .
Четверти: I $(+; +)$ , II $(-; +)$ , III $(-; -)$ , IV $(+; -)$ .

Сумма целых $x$ : $∣ x + 12∣ < 15$ .

$∣ x - (- 12) ∣ < 15$ : $- 27 < x < 3$ , целые от $- 26$ до $2$ — их $29$ .
Сумма (по Гауссу): $\frac{( - 26 + 2 ) \cdot 29}{2} = - 348$ .

Прыжки по очереди

Если точка прыгает поочерёдно на $p$ вправо и на $q$ влево, удобно считать парами прыжков: одна пара сдвигает её на $p - q$ .

Кузнечик в точке $- 15$ прыгает: на 4 вправо, на 7 влево, снова на 4 вправо, на 7 влево… Где он окажется после 22 прыжков?

Пара прыжков: $4 - 7 = - 3$ .
22 прыжка — это 11 пар: сдвиг $11 \cdot (- 3) = - 33$ .
$- 15 + (- 33) = - 48$ .

Если прыжков нечётное число, после всех пар остаётся ещё один прыжок — первый из пары (вправо). После 23 прыжков: $- 48 + 4 = - 44$ .

Графики зависимостей

Горизонтальный участок — остановка: с 40-й по 70-ю минуту, 30 мин

Наклонный участок — движение: чем круче, тем быстрее. Горизонтальный — стоянка. Пересечение двух графиков — встреча.
Средняя скорость = весь путь : всё время (вместе со стоянками).
Прямая через начало координат — прямая пропорциональность $y = k x$ . Через $A (2; 8)$ : $k = 8 : 2 = 4$ ; при $x = - 12$ : $y = - 48$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Графики движения: подбери график

Серия: 0