Учебник reknow · 9 класс

Вероятность и статистика: теория

10 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:7 8 9 Математика по всем классам →

Перестановки и факториал
Сочетания
Треугольник Паскаля
Комбинаторные задачи
Геометрическая вероятность
Испытания Бернулли
Случайная величина и математическое ожидание
Дисперсия и закон больших чисел
Чтение и анализ данных
Вероятность в задачах ОГЭ

Тема 1 · Вероятность и статистика

Перестановки и факториал

Потренироваться: задания по теме →

Перестановки, размещения, сочетания

Простыми словами

Три друга встают в очередь за мороженым. Первым может встать любой из трёх, вторым — любой из двух оставшихся, третьим — последний. Всего $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ вариантов очереди. Каждый такой порядок называют перестановкой.

Перестановка из $n$ элементов — любой способ расположить все $n$ различных предметов по порядку. Число перестановок обозначают $P_{n}$ .

Дерево вариантов:

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

перестановок трёх букв

Факториал

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n, 0! = 1

n!

читается «эн факториал» — произведение всех натуральных чисел от 1 до

n

P_{n} = n!

число перестановок

n

различных предметов

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	10
$n!$	1	1	2	6	24	120	720	5040	3 628 800

Факториал растёт очень быстро: уже $10!$ больше трёх миллионов.

$n! = n \cdot (n - 1)!$ — каждый следующий факториал получается из предыдущего умножением: $6! = 6 \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720$ .

Дроби с факториалами не вычисляют «в лоб», а сокращают: $\frac{8 !}{6 !} = \frac{6 ! \cdot 7 \cdot 8}{6 !} = 56$ .

Разбор заданий

Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на полке?

Расставляем все книги, порядок важен — это перестановки.
$P_{6} = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$ .
Ответ: 720.

Сколько «слов» (не обязательно осмысленных) можно составить, переставляя буквы слова ПЕНАЛ?

Пять различных букв, используем все: $5! = 120$ .
Ответ: 120.

5 человек садятся в ряд, причём Аня обязательно садится с краю слева. Сколько вариантов?

Место Ани определено, остальные 4 человека переставляются: $4! = 24$ .

$0! = 1$ , а не $0$ : расставить «ничего» можно ровно одним способом. И $1! = 1$ .

Перестановки и размещения

Если из $n$ предметов выбирают и упорядочивают только $k$ (призовые места, должности), это размещения.

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

n

— сколько всего предметов,

k

— сколько выбираем с учётом порядка

Перестановки $P_{n}$ Упорядочиваем все

n

предметов. 4 бегуна финишируют:

4! = 24

варианта протокола.

Размещения $A_{n}^{k}$ Выбираем

k

из

n

, порядок важен. Золото, серебро и бронза среди 10 участников:

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Перестановка — это размещение «всех из всех»: $A_{n}^{n} = \frac{n !}{0 !} = n!$ .

Рассадка за круглым столом

За круглым столом нет «первого» места: если все сдвинутся на один стул по кругу, рассадка останется той же. Поэтому фиксируют одного человека, а остальных $n - 1$ переставляют.

(n - 1)!

число рассадок

n

человек за круглым столом, повороты считаются одинаковыми

Сколькими способами можно рассадить 8 человек за круглым столом?

Сажаем одного на любое место — оно становится точкой отсчёта.
Остальные 7 переставляются: $7! = 5040$ .

Сравнение факториала и степени: $8! = 40320$ , а $2^{8} = 256$ — факториал растёт быстрее. $8!$ — это не $8 \cdot 7$ , а произведение всех чисел от 1 до 8.

Тема 2 · Вероятность и статистика

Сочетания

Потренироваться: задания по теме →

Перестановки, размещения, сочетания Треугольник Паскаля и число путей

Простыми словами

Из 4 друзей нужно выбрать двоих в поход. Пара «Аня и Борис» — то же самое, что «Борис и Аня»: порядок не важен. Такой выбор называется сочетанием.

Сочетание из $n$ по $k$ — любой набор из $k$ предметов, выбранных из $n$ различных, без учёта порядка. Их число обозначают $C_{n}^{k}$ (читается «цэ из эн по ка»).

Из 4 человек можно выбрать

C_{4}^{2} = 6

пар — столько отрезков соединяют 4 точки

Формула

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

n

— сколько всего предметов,

k

— сколько выбираем

Откуда она: упорядоченных выборок $k$ из $n$ — размещений — $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ . Но каждый набор из $k$ предметов в них посчитан $k!$ раз (столько способов его упорядочить). Делим на $k!$ .

Сверху — $k$ множителей, начиная с $n$ и вниз; снизу — $k!$ :

C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{504}{6} = 84.

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = n$ , $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

Симметрия

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}

выбрать

k

предметов — то же самое, что оставить

n - k

$C_{20}^{18} = C_{20}^{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$ — так считать гораздо быстрее.

Разбор заданий

Сколькими способами можно выбрать 4 человека из 6 без учёта порядка?

Порядок не важен — сочетания: $C_{6}^{4}$ .
По симметрии $C_{6}^{4} = C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ .
Ответ: 15.

В классе 10 мальчиков и 8 девочек. Сколькими способами выбрать 2 мальчиков и 1 девочку?

Мальчиков: $C_{10}^{2} = 45$ , девочку: $C_{8}^{1} = 8$ .
Выборы независимы — перемножаем: $45 \cdot 8 = 360$ .

Порядок важенПризовые места, пароль, расписание — размещения или перестановки.

Порядок не важенКоманда, набор книг, пара точек, букет — сочетания.

Главная ошибка — не задать себе вопрос «важен ли порядок?». Если поменять двух выбранных местами и получится то же самое — это сочетания, делим на $k!$ .

Пары, рукопожатия, диагонали

Многие задачи сводятся к числу пар из $n$ объектов: $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

Задача	Решение
Сколько рукопожатий у 6 человек, если каждый здоровается с каждым один раз?	$C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$
Сколько диагоналей у выпуклого 8-угольника?	пар вершин $C_{8}^{2} = 28$ , из них 8 — стороны: $28 - 8 = 20$
Команда из 3 человек среди 9, один — обязательный капитан	капитан уже в команде, двоих берём из оставшихся 8: $C_{8}^{2} = 28$

Число диагоналей $n$ -угольника: $C_{n}^{2} - n = \frac{n ( n - 3 )}{2}$ . Сумма $C_{n}^{0} + C_{n}^{n} = 1 + 1 = 2$ .

Тема 3 · Вероятность и статистика

Треугольник Паскаля

Потренироваться: задания по теме →

Испытания Бернулли и биномиальное распределение Доска Гальтона Треугольник Паскаля и число путей

Простыми словами

Треугольник Паскаля — числовая «пирамида»: по краям стоят единицы, а каждое внутреннее число равно сумме двух чисел над ним. Эта простая таблица хранит готовые ответы на вопрос «сколькими способами выбрать $k$ предметов из $n$ ».

Каждое число — сумма двух над ним:

3 + 3 = 6

. Справа — сумма строки,

2^{n}

Связь с сочетаниями

Строки нумеруют с нуля. Строка $n$ состоит из чисел $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$ — всего $n + 1$ число.

C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}

правило построения: число равно сумме двух соседних чисел строкой выше

C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}

сумма чисел в строке

n

Почему $2^{n}$ : сумма строки — это число всех подмножеств множества из $n$ предметов, а каждый предмет либо берём, либо нет — $2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{n}$ вариантов.

Треугольник даёт числа сочетаний без вычисления факториалов и показывает их симметрию: строка читается одинаково с обоих концов, ведь $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ .

Разбор заданий

Найдите сумму чисел во 2-й строке (нумерация строк с нуля).

Строка 2: $1, 2, 1$ .
Сумма $1 + 2 + 1 = 4 = 2^{2}$ . Ответ: 4.

Выпишите 4-ю строку и найдите её 3-й элемент (элементы нумеруются с первого).

Строим: строка 3 — $1, 3, 3, 1$ ; строка 4 — $1, 1 + 3, 3 + 3, 3 + 1, 1$ = $1, 4, 6, 4, 1$ .
Третий элемент — 6. Это $C_{4}^{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ .

Две разные нумерации! Строки — с нуля, а « $m$ -й элемент, считая с первого» — это $C_{n}^{m - 1}$ . Третий элемент строки 4 — $C_{4}^{2}$ , а не $C_{4}^{3}$ .

Второе число в строке $n$ равно номеру строки: в строке 7 — $1, 7, \dots$ . Так легко проверить, что строку пронумеровали правильно.

Тема 4 · Вероятность и статистика

Комбинаторные задачи

Потренироваться: задания по теме →

Парадокс дней рождения Перестановки, размещения, сочетания

Простыми словами

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами?». Главный вопрос перед решением: важен ли порядок? Пьедестал «1-е, 2-е, 3-е место» — порядок важен. Команда из трёх человек — важен только состав.

Если первый выбор можно сделать $m$ способами, а после него второй — $n$ способами, то оба выбора вместе — $m \cdot n$ способами.

Три человека на три места:

3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6

способов

Три формулы

$n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ — факториал («эн факториал»), $0! = 1$ .

Что считаем	Порядок	Формула
Перестановки — расставить все $n$ элементов	важен	$P_{n} = n!$
Размещения — выбрать $k$ из $n$ и расставить	важен	$A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$
Сочетания — выбрать $k$ из $n$	не важен	$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Здесь $n$ — сколько всего элементов, $k$ — сколько выбираем. Размещений всегда в $k!$ раз больше, чем сочетаний: $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ — каждый набор можно упорядочить $k!$ способами.

Удобный счёт сочетаний: $C_{n}^{k} = \frac{n \cdot ( n - 1 ) \cdot \dots}{k !}$ — в числителе $k$ множителей, начиная с $n$ . Например, $C_{9}^{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ .

Разберём задания

В урне 9 шаров. Наудачу берут 4. Сколько всего способов выбора?

Шары берут горстью — порядок не важен: сочетания.
$C_{9}^{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24} = \frac{3024}{24} = 126$ .

В урне 5 шаров, из них 3 белых. Способов выбрать 3 белых шара: $C_{3}^{3} = 1$ — берём все белые, вариант один.

Из 10 участников выбирают председателя и секретаря: $A_{10}^{2} = 10 \cdot 9 = 90$ . Если бы выбирали просто двух делегатов — $C_{10}^{2} = \frac{90}{2} = 45$ .

Понять, важен ли порядок (есть ли «роли», места, очерёдность).
Выбрать формулу: перестановки, размещения или сочетания.
Проверить, могут ли элементы повторяться (код замка из цифр — могут: $10 \cdot 10 \cdot 10$ ).

Если порядок не важен, а посчитали размещения, ответ завышен в $k!$ раз.

Когда элементы повторяются

Если каждый из $k$ выборов делается из одних и тех же $n$ вариантов (повторы разрешены), по правилу умножения получаем $n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^{k}$ .

Задача	Счёт
3-значный код из цифр 0–9	$1 0^{3} = 1000$
3-значный код из различных цифр	$10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$
3 различных предмета по 7 коробкам (в коробку можно класть несколько)	каждый предмет — в любую из 7: $7^{3} = 343$
Подмножества множества из 4 элементов	каждый элемент «берём / не берём»: $2^{4} = 16$

Выбор $3$ предметов из $9$ — это не $9 \cdot 3$ , а $C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84$ .

Тема 5 · Вероятность и статистика

Геометрическая вероятность

Потренироваться: задания по теме →

Геометрическая вероятность: точка в фигуре

Простыми словами

Дротик наугад попадает в мишень. Чем больше площадь зоны, тем чаще в неё попадают. Если точка выбирается совсем наудачу, вероятность попасть в часть — это просто доля, которую часть занимает от целого.

P (A) = \frac{мера части}{мера целого}

мера — длина (на отрезке), площадь (на фигуре) или объём (в теле)

Части и целое измеряют одной и той же мерой и в одних единицах.

Точка на отрезке

P = \frac{12}{40} = 0, 3

На отрезке длиной $40$ наудачу выбрана точка. Вероятность попасть на участок длиной $12$ :

Мера части — $12$ , мера целого — $40$ .
$P = \frac{12}{40} = 0, 3$ .

Вероятность попасть на участок $0, 02$ , длина отрезка $100$ . Длина участка: $ℓ = P \cdot L = 0, 02 \cdot 100 = 2$ .

Из формулы: $ℓ = P \cdot L$ и $L = \frac{ℓ}{P}$ , где $ℓ$ — длина участка, $L$ — длина всего отрезка.

Точка в фигуре и время ожидания

В квадрат со стороной $10$ вписан круг радиуса $5$ . Вероятность, что случайная точка квадрата попадёт в круг:

$P = \frac{π \cdot 5 ^{2}}{1 0 ^{2}} = \frac{π}{4} \approx 0, 785$ .

Автобус ходит каждые $15$ минут, пассажир приходит в случайный момент. Вероятность ждать не больше $3$ минут: время — тоже «отрезок», $P = \frac{3}{15} = 0, 2$ .

Нельзя делить длину на площадь или минуты на часы: часть и целое — в одной мере и одних единицах ( $20$ мин из $1$ ч — это $\frac{20}{60}$ ).

Ответ всегда от $0$ до $1$ : часть не может быть больше целого. Получилось больше $1$ — перепутали числитель и знаменатель.

Тема 6 · Вероятность и статистика

Испытания Бернулли

Потренироваться: задания по теме →

Испытания Бернулли и биномиальное распределение Дерево вероятностей Доска Гальтона Независимые события и «хотя бы один» Вероятность

Простыми словами

Бросаем монету, стреляем по мишени, отвечаем наугад на тест — каждый раз только два исхода: «получилось» (успех) или «нет» (неудача). Если такие попытки повторяются и не влияют друг на друга, это испытания Бернулли.

Испытания независимы, в каждом два исхода: успех с вероятностью $p$ и неудача с вероятностью $q = 1 - p$ . Вероятность $p$ одна и та же во всех испытаниях.

Дерево для двух испытаний

Вероятности вдоль ветки перемножаются. Ровно один успех — две ветки:

2 pq

$p = 0, 5$ , $n = 2$ . Вероятность, что успеха не будет ни разу: ветка «НН», $q^{2} = 0, 5^{2} = 0, 25$ .

Формула Бернулли

P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

вероятность ровно

k

успехов в

n

испытаниях

$p^{k}$ — $k$ успехов, $(1 - p)^{n - k}$ — остальные $n - k$ неудач, $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ — число сочетаний: сколькими способами можно выбрать, в каких именно испытаниях случились успехи.

$p = 0, 1$ . Вероятность ровно $4$ успехов в $4$ испытаниях.

$C_{4}^{4} = 1$ — все четыре испытания успешные, способ один.
$P = 1 \cdot 0, 1^{4} \cdot 0, 9^{0} = 0, 0001$ .

Монету бросают $3$ раза. Вероятность ровно $2$ орлов: $C_{3}^{2} = 3$ (ООР, ОРО, РОО), $P = 3 \cdot 0, 5^{2} \cdot 0, 5 = 0, 375$ .

Самая частая ошибка — забыть множитель $C_{n}^{k}$ : тогда учитывается лишь один порядок успехов из многих.

Серия до первого успеха

P (первый успех на k - м испытании) = (1 - p)^{k - 1} p

сначала

k - 1

неудача, затем успех

Стрелок попадает с вероятностью $0, 6$ . Вероятность, что первое попадание будет с третьего выстрела: $0, 4^{2} \cdot 0, 6 = 0, 096$ .

«Хотя бы один успех» удобно считать через противоположное событие: $1 - (1 - p)^{n}$ .

Наиболее вероятное число успехов

Какое число успехов $k$ в серии из $n$ испытаний встречается чаще всего? Оно находится рядом с ожидаемым значением $n p$ — точнее, это целое число $k$ , для которого

n p - (1 - p) \leq k \leq n p + p

n

— число испытаний,

p

— вероятность успеха

$n = 2$ , $p = 0, 5$ . Наиболее вероятное число успехов?

$n p = 1$ , границы: $1 - 0, 5 = 0, 5$ и $1 + 0, 5 = 1, 5$ .
Единственное целое между ними — $k = 1$ . Проверка: $P_{2} (0) = 0, 25$ , $P_{2} (1) = 2 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 5$ , $P_{2} (2) = 0, 25$ .
Ответ: 1.

При $p = 0, 5$ вероятности $P_{n} (k)$ симметричны (это строка треугольника Паскаля, делённая на $2^{n}$ ), и наиболее вероятное число успехов — середина: $\frac{n}{2}$ при чётном $n$ .

Тема 7 · Вероятность и статистика

Случайная величина и математическое ожидание

Потренироваться: задания по теме →

Случайная величина и математическое ожидание

Простыми словами

Бросаем игральную кость. Сколько очков выпадет — заранее неизвестно, но известно, какие числа возможны и с какой вероятностью. Такая «число-неожиданность» называется случайной величиной.

Случайная величина $X$ — величина, которая в результате опыта принимает одно из числовых значений $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ с вероятностями $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ .

Распределение случайной величины записывают таблицей: сверху значения, снизу их вероятности.

$X$	0	2	6
$P$	0,1	0,4	0,5

Сумма всех вероятностей распределения равна 1: $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ . Какое-то из значений обязательно выпадет.

Математическое ожидание

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

каждое значение умножаем на его вероятность и складываем

Здесь $x_{i}$ — возможные значения, $p_{i}$ — их вероятности. $E (X)$ — это среднее значение величины при большом числе опытов.

Высота столбика — вероятность значения; пунктир — математическое ожидание, «центр тяжести» распределения

Величина принимает значения 0, 2, 6 с вероятностями 0,1; 0,4; 0,5. Найдите её математическое ожидание.

Проверяем: $0, 1 + 0, 4 + 0, 5 = 1$ ✓
$E = 0 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0, 4 + 6 \cdot 0, 5 = 0 + 0, 8 + 3 = 3, 8$ .
Ответ: 3,8.

Ещё типы заданий

Значения 1, 3, 5 принимаются с вероятностями 0,2; $p$ ; 0,3. Найдите $p$ .

Сумма вероятностей равна 1: $0, 2 + p + 0, 3 = 1$ .
$p = 0, 5$ .

Найдите матожидание числа очков на правильной кости.

Значения $1, \dots, 6$ , каждое с вероятностью $\frac{1}{6}$ .
$E = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3, 5$ .

Матожидание может не совпадать ни с одним из возможных значений: на кости никогда не выпадает 3,5, но в среднем за много бросков получается именно столько.

Матожидание — не «среднее арифметическое значений». Для $0, 2, 6$ среднее арифметическое $\frac{8}{3} \approx 2, 67$ , а матожидание $3, 8$ : значение 6 встречается чаще, поэтому весит больше.

Проверка ответа: $E (X)$ всегда лежит между наименьшим и наибольшим значением величины.

Свойства математического ожидания

Что сделали со значениями	Что стало с $E (X)$
К каждому значению прибавили $c$	$E (X + c) = E (X) + c$
Каждое значение умножили на $k$	$E (k X) = k \cdot E (X)$
Величина постоянна: всегда равна $c$	$E = c$ , а дисперсия $D = 0$ — разброса нет

$E (X) = 6, 25$ . Каждое значение умножили на 3. Каким стало матожидание?

$E (3 X) = 3 \cdot 6, 25 = 18, 75$ .

$E (X) = 6, 75$ . Каждое значение увеличили на 2.

$E (X + 2) = 6, 75 + 2 = 8, 75$ .

Для числа успехов в $n$ испытаниях Бернулли $E = n p$ : в 3 бросках монеты в среднем $3 \cdot 0, 5 = 1, 5$ орла. Для одного броска монеты $E = 0 \cdot 0, 5 + 1 \cdot 0, 5 = 0, 5$ .

Тема 8 · Вероятность и статистика

Дисперсия и закон больших чисел

Потренироваться: задания по теме →

Испытания Бернулли и биномиальное распределение Дисперсия и стандартное отклонение Монета: частота и вероятность Нормальное распределение: правило трёх сигм

Простыми словами

Два стрелка в среднем выбивают по 8 очков. Но один всегда попадает в 7–9, а другой — то в 10, то в 5. Среднее одинаковое, а разброс разный. Число, которое измеряет разброс вокруг среднего, — дисперсия.

Ожидание и дисперсия

Математическое ожидание $E (X)$ — «среднее значение» случайной величины: $E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$ , где $x_{i}$ — значения, $p_{i}$ — их вероятности.

Дисперсия $D (X)$ — среднее значение квадрата отклонения от ожидания: $D (X) = E ((X - E (X))^{2})$ .

Чем больше дисперсия, тем сильнее значения разбросаны. Корень из дисперсии $σ = D (X)$ — стандартное отклонение, оно измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

$X$ принимает значения $0$ и $2$ с вероятностями $0, 5$ и $0, 5$ .

$E (X) = 0 \cdot 0, 5 + 2 \cdot 0, 5 = 1$ .
Отклонения $- 1$ и $1$ , их квадраты $1$ и $1$ : $D (X) = 1 \cdot 0, 5 + 1 \cdot 0, 5 = 1$ .

Число успехов в схеме Бернулли

Проводим $n$ независимых испытаний, в каждом успех с вероятностью $p$ . Для числа успехов $X$ :

E (X) = n p, D (X) = n p (1 - p)

n

— число испытаний,

p

— вероятность успеха,

1 - p

— вероятность неудачи

$n = 2$ , $p = 0, 8$ : ожидаемое число успехов $E = 2 \cdot 0, 8 = 1, 6$ .

$n = 4$ , $p = 0, 5$ : дисперсия $D = 4 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 1$ .

Не путайте формулы: $n p$ — это ожидание, а дисперсия содержит ещё множитель $(1 - p)$ . Ожидание может быть дробным ( $1, 6$ успеха), хотя число успехов всегда целое.

Дисперсия числа успехов наибольшая при $p = 0, 5$ — когда исход «угадать» труднее всего. При $p = 0$ или $p = 1$ она равна нулю: исход заранее известен.

Закон больших чисел

При большом числе независимых повторений опыта частота события (доля опытов, в которых оно произошло) приближается к его вероятности.

Схема: частота выпадения орла колеблется, но с ростом числа бросков всё теснее прижимается к

0, 5

Поэтому вероятность можно оценивать по частоте — например, долю брака в партии по выборке. Но закон не гарантирует точного совпадения: после 100 бросков монеты орлов может быть 47 или 53, а не ровно 50.

Монета «не помнит» прошлого: после пяти орлов подряд вероятность орла в следующем броске по-прежнему $0, 5$ . Закон больших чисел говорит о долях в длинной серии, а не о «восстановлении справедливости».

Тема 9 · Вероятность и статистика

Чтение и анализ данных

Потренироваться: задания по теме →

Случайная изменчивость: выборка и гистограмма Среднее и медиана Ящик с усами: квартили и выбросы

Простыми словами

График — это таблица, нарисованная точками. Чтобы ответить на вопрос, нужно аккуратно «снять» с него числа: найти точку, опустить взгляд на горизонтальную ось (когда?) и на вертикальную (сколько?).

Одна клетка по вертикали — 10 единиц. Значения: 57, 40, 55, 89, 75, 65, 70

Что ищут по графику

Вопрос	Что делать
Наибольшее / наименьшее значение	самая высокая / самая низкая точка; ответ — число на вертикальной оси
Когда достигнуто	от этой точки — вниз, к горизонтальной оси
Промежутки роста и убывания	где линия идёт вверх / вниз при движении слева направо
Разность, изменение	конечное значение минус начальное

Прочитать подписи осей и единицы измерения.
Определить цену деления: разность соседних подписей, делённая на число клеток между ними.
Снять нужное значение; если точка между линиями сетки — посчитать по цене деления.

Отвечают «когда» вместо «сколько» (или наоборот). На вопрос «наибольшее значение» ответ на рисунке — $89$ , а не номер дня $4$ .

Характеристики набора

Среднее, медиана и размах описывают набор с разных сторон: центр, устойчивый центр и разброс. В заданиях их часто просят найти или сравнить.

Мера	Определение	Для данных графика
Среднее $\overset{x}{ˉ}$	$\frac{x _{1} + \dots + x _{n}}{n}$	$\frac{451}{7} \approx 64, 4$
Медиана	середина упорядоченного ряда	$40, 55, 57, 65, 70, 75, 89 \to 65$
Размах	наибольшее минус наименьшее	$89 - 40 = 49$

При чётном числе значений медиана — полусумма двух средних членов упорядоченного набора: для $3, 5, 8, 10$ медиана $\frac{5 + 8}{2} = 6, 5$ .

Медиана «устойчива»: если самое большое значение заменить на огромное, среднее сильно вырастет, а медиана не изменится.

Счётные вопросы по графику

Вопрос	Что делать
Сколько раз значение росло (убывало)?	Сравнить каждую точку с соседней слева: считаем пары, где правая точка выше (ниже)
Сумма за первые три месяца	Снять три значения и сложить
Сколько значений больше среднего?	Найти среднее $\overset{x}{ˉ}$ , затем пересчитать точки выше $\overset{x}{ˉ}$
На сколько отличаются значения в двух месяцах?	Модуль разности: $∣ x_{1} - x_{2} ∣$
Разность наибольшего и медианы	Упорядочить значения, найти медиану, вычесть её из наибольшего

Значения по месяцам: $12, 39, 76, 59, 65, 81$ . Сколько раз значение росло?

Пары соседей: $12 \to 39$ рост, $39 \to 76$ рост, $76 \to 59$ спад, $59 \to 65$ рост, $65 \to 81$ рост.
Ответ: 4.

Медиану ищут только в упорядоченном наборе. Брать «среднюю по месяцам» точку графика нельзя.

Тема 10 · Вероятность и статистика

Вероятность в задачах ОГЭ

Потренироваться: задания по теме →

Дерево вероятностей Классическая вероятность: благоприятные из всех Независимые события и «хотя бы один»

Простыми словами

Вероятность — это доля «удачных» исходов среди всех равновозможных. Из 80 спортсменов 59 — из России, значит шанс, что первым выступит россиянин, равен $\frac{59}{80}$ . Почти все задачи экзамена решаются тремя приёмами.

Задание 10 ОГЭ по математике (1 балл): найти вероятность события. Ответ — число от 0 до 1, обычно десятичная дробь.

Приём 1. Классическая вероятность

P (A) = \frac{m}{n}

m

— число благоприятных исходов,

n

— число всех равновозможных исходов

В соревновании 80 спортсменов, из них 59 из России. Найдите вероятность того, что первым выступит россиянин.

Всех исходов $n = 80$ (первым может быть любой), благоприятных $m = 59$ .
$P = \frac{59}{80} = 0, 7375$ .

Читайте, что спрашивают. «Из 1000 насосов 5 подтекают. Найдите вероятность, что насос не подтекает»: $\frac{1000 - 5}{1000} = 0, 995$ . А если «на 1000 исправных приходится 5 неисправных», то всего насосов 1005!

Приём 2. Независимые события — умножаем

P (A и B) = P (A) \cdot P (B)

для независимых событий: исход одного не влияет на другое

$P (A) = 0, 4$ , независимое от него событие $B$ имеет вероятность $0, 1$ . Найдите вероятность того, что произойдут оба.

«Оба» — значит «и», события независимы: $0, 4 \cdot 0, 1 = 0, 04$ .

Если события не могут произойти одновременно (выпало 1 или выпало 2), то $P (A или B) = P (A) + P (B)$ .

Приём 3. Противоположное событие

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

\overset{ˉ}{A}

— «

A

не произошло»

Особенно удобно для «хотя бы один»: противоположное событие — «ни одного».

Стрелок попадает с вероятностью 0,8. Он стреляет 2 раза. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.

Оба промаха: $0, 2 \cdot 0, 2 = 0, 04$ .
Хотя бы одно попадание: $1 - 0, 04 = 0, 96$ .

Два источника: полная вероятность

Если есть два источника (два завода, два стрелка), рисуют дерево: вероятности вдоль каждой ветви перемножают, а подходящие ветви складывают.

P (брак) = 0, 6 \cdot 0, 02 + 0, 4 \cdot 0, 03 = 0, 024

Вероятность обязана попасть в промежуток от 0 до 1. Если получилось больше единицы — где-то сложили вместо того, чтобы умножить. А сумма вероятностей всех ветвей дерева равна 1.

Сколько раз произойдёт событие

Вероятность показывает долю опытов, в которых событие происходит при большом их числе. Отсюда ожидаемое число наступлений:

m \approx n \cdot P (A)

n

— число опытов,

P (A)

— вероятность события

Вероятность события 0,8. Сколько раз оно произойдёт примерно за 25 опытов?

$25 \cdot 0, 8 = 20$ . Ответ: примерно 20 раз.

«Хотя бы одно из двух независимых событий» — не сумма вероятностей: события могут произойти вместе, и этот случай посчитается дважды. Верно: $1 - (1 - P (A)) (1 - P (B))$ ; для $0, 3$ и $0, 1$ это $1 - 0, 7 \cdot 0, 9 = 0, 37$ .

Вероятность и статистика: теория

Оглавление

Перестановки и факториал

Простыми словами

Факториал

Разбор заданий

Перестановки и размещения

Рассадка за круглым столом

Сочетания

Простыми словами

Формула

Симметрия

Разбор заданий

Пары, рукопожатия, диагонали

Треугольник Паскаля

Простыми словами

Связь с сочетаниями

Разбор заданий

Комбинаторные задачи

Простыми словами

Три формулы

Разберём задания

Когда элементы повторяются

Геометрическая вероятность

Простыми словами

Точка на отрезке

Точка в фигуре и время ожидания

Испытания Бернулли

Простыми словами

Дерево для двух испытаний

Формула Бернулли

Серия до первого успеха

Наиболее вероятное число успехов

Случайная величина и математическое ожидание

Простыми словами

Математическое ожидание

Ещё типы заданий

Свойства математического ожидания

Дисперсия и закон больших чисел

Простыми словами

Ожидание и дисперсия

Число успехов в схеме Бернулли

Закон больших чисел

Чтение и анализ данных

Простыми словами

Что ищут по графику

Характеристики набора

Счётные вопросы по графику

Вероятность в задачах ОГЭ

Простыми словами

Приём 1. Классическая вероятность

Приём 2. Независимые события — умножаем

Приём 3. Противоположное событие

Два источника: полная вероятность

Сколько раз произойдёт событие