Испытания Бернулли — Вероятность и статистика, 9 класс

Вероятность k успехов в серии испытаний, серия до первого успеха. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Бросаем монету, стреляем по мишени, отвечаем наугад на тест — каждый раз только два исхода: «получилось» (успех) или «нет» (неудача). Если такие попытки повторяются и не влияют друг на друга, это испытания Бернулли.

Испытания независимы, в каждом два исхода: успех с вероятностью $p$ и неудача с вероятностью $q = 1 - p$ . Вероятность $p$ одна и та же во всех испытаниях.

Дерево для двух испытаний

Вероятности вдоль ветки перемножаются. Ровно один успех — две ветки:

2 pq

$p = 0, 5$ , $n = 2$ . Вероятность, что успеха не будет ни разу: ветка «НН», $q^{2} = 0, 5^{2} = 0, 25$ .

Формула Бернулли

P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

вероятность ровно

k

успехов в

n

испытаниях

$p^{k}$ — $k$ успехов, $(1 - p)^{n - k}$ — остальные $n - k$ неудач, $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ — число сочетаний: сколькими способами можно выбрать, в каких именно испытаниях случились успехи.

$p = 0, 1$ . Вероятность ровно $4$ успехов в $4$ испытаниях.

$C_{4}^{4} = 1$ — все четыре испытания успешные, способ один.
$P = 1 \cdot 0, 1^{4} \cdot 0, 9^{0} = 0, 0001$ .

Монету бросают $3$ раза. Вероятность ровно $2$ орлов: $C_{3}^{2} = 3$ (ООР, ОРО, РОО), $P = 3 \cdot 0, 5^{2} \cdot 0, 5 = 0, 375$ .

Самая частая ошибка — забыть множитель $C_{n}^{k}$ : тогда учитывается лишь один порядок успехов из многих.

Серия до первого успеха

P (первый успех на k - м испытании) = (1 - p)^{k - 1} p

сначала

k - 1

неудача, затем успех

Стрелок попадает с вероятностью $0, 6$ . Вероятность, что первое попадание будет с третьего выстрела: $0, 4^{2} \cdot 0, 6 = 0, 096$ .

«Хотя бы один успех» удобно считать через противоположное событие: $1 - (1 - p)^{n}$ .

Наиболее вероятное число успехов

Какое число успехов $k$ в серии из $n$ испытаний встречается чаще всего? Оно находится рядом с ожидаемым значением $n p$ — точнее, это целое число $k$ , для которого

n p - (1 - p) \leq k \leq n p + p

n

— число испытаний,

p

— вероятность успеха

$n = 2$ , $p = 0, 5$ . Наиболее вероятное число успехов?

$n p = 1$ , границы: $1 - 0, 5 = 0, 5$ и $1 + 0, 5 = 1, 5$ .
Единственное целое между ними — $k = 1$ . Проверка: $P_{2} (0) = 0, 25$ , $P_{2} (1) = 2 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 5$ , $P_{2} (2) = 0, 25$ .
Ответ: 1.

При $p = 0, 5$ вероятности $P_{n} (k)$ симметричны (это строка треугольника Паскаля, делённая на $2^{n}$ ), и наиболее вероятное число успехов — середина: $\frac{n}{2}$ при чётном $n$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Дерево вероятностей Доска Гальтона Независимые события и «хотя бы один»

Калькуляторы

Вероятность

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Вероятность успеха в одном испытании 0,1. Найдите вероятность ровно 4 успехов в 4 испытаниях. Ответ округлите до десятитысячных.

Показать ответ

Ответ: 0,0001
Решение. P = C(4,4)·0,1⁴·(1−0,1)⁰ = 0,0001.

Вероятность успеха 0,5. Найдите вероятность того, что в 2 испытаниях успеха не будет ни разу. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 0,25
Решение. (1 − 0,5)² = 0,25.

Вероятность успеха 0,4. Найдите вероятность того, что все 4 испытания дадут успех. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 0,03
Решение. 0,4⁴ = 0,03.

Вероятность успеха 0,5. Найдите вероятность хотя бы одного успеха в 5 испытаниях. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 0,97
Решение. 1 − (1 − 0,5)⁵ = 0,97.

Сколько различных последовательностей из 3 испытаний содержат ровно 2 успехов?

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. C(3, 2) = 3.

Что такое испытание Бернулли?

серия любых опытов
опыт без случайности
опыт с двумя исходами: успех и неудача
опыт с равновозможными исходами

Показать ответ

Ответ: опыт с двумя исходами: успех и неудача
Решение. Вероятность успеха одинакова в каждом испытании.

Вероятность успеха 0,1. Найдите вероятность неудачи.

Показать ответ

Ответ: 0,9
Решение. 1 − 0,1 = 0,9.

В серии до первого успеха вероятность успеха 0,8. Найдите вероятность того, что первый успех придёт на втором испытании. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 0,16
Решение. Первая неудача, затем успех: (1 − 0,8)·0,8 = 0,16.