Треугольник Паскаля — Вероятность и статистика, 9 класс

Строки треугольника, сумма строки, связь с сочетаниями. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Треугольник Паскаля — числовая «пирамида»: по краям стоят единицы, а каждое внутреннее число равно сумме двух чисел над ним. Эта простая таблица хранит готовые ответы на вопрос «сколькими способами выбрать $k$ предметов из $n$ ».

Каждое число — сумма двух над ним:

3 + 3 = 6

. Справа — сумма строки,

2^{n}

Связь с сочетаниями

Строки нумеруют с нуля. Строка $n$ состоит из чисел $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$ — всего $n + 1$ число.

C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}

правило построения: число равно сумме двух соседних чисел строкой выше

C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}

сумма чисел в строке

n

Почему $2^{n}$ : сумма строки — это число всех подмножеств множества из $n$ предметов, а каждый предмет либо берём, либо нет — $2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{n}$ вариантов.

Треугольник даёт числа сочетаний без вычисления факториалов и показывает их симметрию: строка читается одинаково с обоих концов, ведь $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ .

Разбор заданий

Найдите сумму чисел во 2-й строке (нумерация строк с нуля).

Строка 2: $1, 2, 1$ .
Сумма $1 + 2 + 1 = 4 = 2^{2}$ . Ответ: 4.

Выпишите 4-ю строку и найдите её 3-й элемент (элементы нумеруются с первого).

Строим: строка 3 — $1, 3, 3, 1$ ; строка 4 — $1, 1 + 3, 3 + 3, 3 + 1, 1$ = $1, 4, 6, 4, 1$ .
Третий элемент — 6. Это $C_{4}^{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ .

Две разные нумерации! Строки — с нуля, а « $m$ -й элемент, считая с первого» — это $C_{n}^{m - 1}$ . Третий элемент строки 4 — $C_{4}^{2}$ , а не $C_{4}^{3}$ .

Второе число в строке $n$ равно номеру строки: в строке 7 — $1, 7, \dots$ . Так легко проверить, что строку пронумеровали правильно.

Посмотреть и посчитать

Модели

Испытания Бернулли и биномиальное распределение Доска Гальтона

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите сумму чисел в 2-й строке треугольника Паскаля (нумерация строк с нуля).

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. Сумма строки равна 2² = 4.

Выпишите 4-ю строку треугольника Паскаля и найдите её 3-й элемент (нумерация с первого).

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. Строка: 1, 4, 6, 4, 1; нужный элемент 6.

Сколько чисел в 3-й строке треугольника Паскаля?

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. В строке n стоит n + 1 число: 4.

Найдите наибольшее число в 3-й строке треугольника Паскаля.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Строка: 1, 3, 3, 1.

Чему равны крайние числа любой строки треугольника Паскаля?

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Крайние элементы всегда равны единице.

Каждое число треугольника Паскаля равно…

разности соседних чисел
произведению двух чисел над ним
сумме двух чисел над ним
номеру строки

Показать ответ

Ответ: сумме двух чисел над ним
Решение. Это правило и строит треугольник.

Найдите C(4, 2) по треугольнику Паскаля.

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. Это 3-й элемент 4-й строки: 6.

Сумма чисел строки треугольника Паскаля равна 128. Какой номер у этой строки?

Показать ответ

Ответ: 7
Решение. 2⁷ = 128.