Геометрическая вероятность — Вероятность и статистика, 9 класс

Случайный выбор точки на отрезке и в фигуре. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Дротик наугад попадает в мишень. Чем больше площадь зоны, тем чаще в неё попадают. Если точка выбирается совсем наудачу, вероятность попасть в часть — это просто доля, которую часть занимает от целого.

P (A) = \frac{мера части}{мера целого}

мера — длина (на отрезке), площадь (на фигуре) или объём (в теле)

Части и целое измеряют одной и той же мерой и в одних единицах.

Точка на отрезке

P = \frac{12}{40} = 0, 3

На отрезке длиной $40$ наудачу выбрана точка. Вероятность попасть на участок длиной $12$ :

Мера части — $12$ , мера целого — $40$ .
$P = \frac{12}{40} = 0, 3$ .

Вероятность попасть на участок $0, 02$ , длина отрезка $100$ . Длина участка: $ℓ = P \cdot L = 0, 02 \cdot 100 = 2$ .

Из формулы: $ℓ = P \cdot L$ и $L = \frac{ℓ}{P}$ , где $ℓ$ — длина участка, $L$ — длина всего отрезка.

Точка в фигуре и время ожидания

В квадрат со стороной $10$ вписан круг радиуса $5$ . Вероятность, что случайная точка квадрата попадёт в круг:

$P = \frac{π \cdot 5 ^{2}}{1 0 ^{2}} = \frac{π}{4} \approx 0, 785$ .

Автобус ходит каждые $15$ минут, пассажир приходит в случайный момент. Вероятность ждать не больше $3$ минут: время — тоже «отрезок», $P = \frac{3}{15} = 0, 2$ .

Нельзя делить длину на площадь или минуты на часы: часть и целое — в одной мере и одних единицах ( $20$ мин из $1$ ч — это $\frac{20}{60}$ ).

Ответ всегда от $0$ до $1$ : часть не может быть больше целого. Получилось больше $1$ — перепутали числитель и знаменатель.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

На отрезке длиной 40 наудачу выбирают точку. Найдите вероятность того, что она попадёт на участок длиной 12.

Показать ответ

Ответ: 0,3
Решение. P = 12 : 40 = 0,3.

Вероятность попадания точки на участок отрезка равна 0,02, длина отрезка 100. Найдите длину участка.

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. 0,02 · 100 = 2.

Площадь фигуры 100, площадь её части 43. Найдите вероятность того, что случайная точка попадёт в эту часть.

Показать ответ

Ответ: 0,43
Решение. P = 43 : 100 = 0,43.

В квадрат площадью 200 вписана фигура площадью 22. Найдите вероятность промаха мимо фигуры.

Показать ответ

Ответ: 0,89
Решение. 1 − 0,11 = 0,89.

Как считают геометрическую вероятность?

как произведение длин
как разность площадей
как отношение числа исходов
как отношение меры части к мере целого

Показать ответ

Ответ: как отношение меры части к мере целого
Решение. Мерой может быть длина, площадь или объём.

На отрезке [0; 100] выбирают точку. Найдите вероятность того, что её координата меньше 30.

Показать ответ

Ответ: 0,3
Решение. Благоприятен участок длиной 30.

На отрезке [0; 100] выбирают точку. Найдите вероятность того, что её координата больше 8.

Показать ответ

Ответ: 0,92
Решение. Благоприятен участок длиной 92.

Круг радиуса 2 вписан в квадрат со стороной 4. Найдите вероятность попадания случайной точки квадрата в круг. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 0,79
Решение. Отношение площадей: π·2² : 4² = π4 ≈ 0,79.