Вероятность в задачах ОГЭ — Вероятность и статистика, 9 класс

Типовые задачи экзамена: выбор, серии опытов, полная вероятность. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Вероятность — это доля «удачных» исходов среди всех равновозможных. Из 80 спортсменов 59 — из России, значит шанс, что первым выступит россиянин, равен $\frac{59}{80}$ . Почти все задачи экзамена решаются тремя приёмами.

Задание 10 ОГЭ по математике (1 балл): найти вероятность события. Ответ — число от 0 до 1, обычно десятичная дробь.

Приём 1. Классическая вероятность

P (A) = \frac{m}{n}

m

— число благоприятных исходов,

n

— число всех равновозможных исходов

В соревновании 80 спортсменов, из них 59 из России. Найдите вероятность того, что первым выступит россиянин.

Всех исходов $n = 80$ (первым может быть любой), благоприятных $m = 59$ .
$P = \frac{59}{80} = 0, 7375$ .

Читайте, что спрашивают. «Из 1000 насосов 5 подтекают. Найдите вероятность, что насос не подтекает»: $\frac{1000 - 5}{1000} = 0, 995$ . А если «на 1000 исправных приходится 5 неисправных», то всего насосов 1005!

Приём 2. Независимые события — умножаем

P (A и B) = P (A) \cdot P (B)

для независимых событий: исход одного не влияет на другое

$P (A) = 0, 4$ , независимое от него событие $B$ имеет вероятность $0, 1$ . Найдите вероятность того, что произойдут оба.

«Оба» — значит «и», события независимы: $0, 4 \cdot 0, 1 = 0, 04$ .

Если события не могут произойти одновременно (выпало 1 или выпало 2), то $P (A или B) = P (A) + P (B)$ .

Приём 3. Противоположное событие

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

\overset{ˉ}{A}

— «

A

не произошло»

Особенно удобно для «хотя бы один»: противоположное событие — «ни одного».

Стрелок попадает с вероятностью 0,8. Он стреляет 2 раза. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.

Оба промаха: $0, 2 \cdot 0, 2 = 0, 04$ .
Хотя бы одно попадание: $1 - 0, 04 = 0, 96$ .

Два источника: полная вероятность

Если есть два источника (два завода, два стрелка), рисуют дерево: вероятности вдоль каждой ветви перемножают, а подходящие ветви складывают.

P (брак) = 0, 6 \cdot 0, 02 + 0, 4 \cdot 0, 03 = 0, 024

Вероятность обязана попасть в промежуток от 0 до 1. Если получилось больше единицы — где-то сложили вместо того, чтобы умножить. А сумма вероятностей всех ветвей дерева равна 1.

Сколько раз произойдёт событие

Вероятность показывает долю опытов, в которых событие происходит при большом их числе. Отсюда ожидаемое число наступлений:

m \approx n \cdot P (A)

n

— число опытов,

P (A)

— вероятность события

Вероятность события 0,8. Сколько раз оно произойдёт примерно за 25 опытов?

$25 \cdot 0, 8 = 20$ . Ответ: примерно 20 раз.

«Хотя бы одно из двух независимых событий» — не сумма вероятностей: события могут произойти вместе, и этот случай посчитается дважды. Верно: $1 - (1 - P (A)) (1 - P (B))$ ; для $0, 3$ и $0, 1$ это $1 - 0, 7 \cdot 0, 9 = 0, 37$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Дерево вероятностей Независимые события и «хотя бы один»

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В соревновании 80 спортсменов, из них 59 из России. Найдите вероятность того, что первым выступит россиянин.

Показать ответ

Ответ: 0,7375
Решение. P = 59 : 80 = 0,7375.

Вероятность события A равна 0,4, независимого от него события B — 0,1. Найдите вероятность того, что произойдут оба.

Показать ответ

Ответ: 0,04
Решение. 0,4 · 0,1 = 0,04.

Вероятность события A равна 0,3, независимого события B — 0,2. Найдите вероятность хотя бы одного из них.

Показать ответ

Ответ: 0,44
Решение. 1 − (1 − 0,3)(1 − 0,2) = 0,44.

Фабрика выпускает сумки, 10% из них с дефектом. Найдите вероятность купить сумку без дефекта.

Показать ответ

Ответ: 0,9
Решение. 1 − 0,1 = 0,9.

В урне 100 шаров, 43 из них белые. Найдите вероятность вынуть не белый шар.

Показать ответ

Ответ: 0,57
Решение. P = 57 : 100 = 0,57.

Стрелок попадает с вероятностью 0,4. Найдите вероятность двух попаданий подряд.

Показать ответ

Ответ: 0,16
Решение. 0,4² = 0,16.

Вероятность того, что прибор исправен, равна 0,5. Найдите вероятность того, что из двух приборов исправен хотя бы один.

Показать ответ

Ответ: 0,75
Решение. 1 − (1 − 0,5)² = 0,75.

Первый завод даёт 80% продукции, второй — остальное. Брак: 50% и 25%. Найдите вероятность купить бракованное изделие. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 0,45
Решение. P = 0,8·0,5 + 0,2·0,25 = 0,45.