Дисперсия и закон больших чисел — Вероятность и статистика, 9 класс

Разброс случайной величины, частота и вероятность. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Два стрелка в среднем выбивают по 8 очков. Но один всегда попадает в 7–9, а другой — то в 10, то в 5. Среднее одинаковое, а разброс разный. Число, которое измеряет разброс вокруг среднего, — дисперсия.

Ожидание и дисперсия

Математическое ожидание $E (X)$ — «среднее значение» случайной величины: $E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$ , где $x_{i}$ — значения, $p_{i}$ — их вероятности.

Дисперсия $D (X)$ — среднее значение квадрата отклонения от ожидания: $D (X) = E ((X - E (X))^{2})$ .

Чем больше дисперсия, тем сильнее значения разбросаны. Корень из дисперсии $σ = D (X) www.reknow.ru$ — стандартное отклонение, оно измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

$X$ принимает значения $0$ и $2$ с вероятностями $0, 5$ и $0, 5$ .

$E (X) = 0 \cdot 0, 5 + 2 \cdot 0, 5 = 1$ .
Отклонения $- 1$ и $1$ , их квадраты $1$ и $1$ : $D (X) = 1 \cdot 0, 5 + 1 \cdot 0, 5 = 1$ .

Число успехов в схеме Бернулли

Проводим $n$ независимых испытаний, в каждом успех с вероятностью $p$ . Для числа успехов $X$ :

E (X) = n p, D (X) = n p (1 - p)

n

— число испытаний,

p

— вероятность успеха,

1 - p

— вероятность неудачи

$n = 2$ , $p = 0, 8$ : ожидаемое число успехов $E = 2 \cdot 0, 8 = 1, 6$ .

$n = 4$ , $p = 0, 5$ : дисперсия $D = 4 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 1$ .

Не путайте формулы: $n p$ — это ожидание, а дисперсия содержит ещё множитель $(1 - p)$ . Ожидание может быть дробным ( $1, 6$ успеха), хотя число успехов всегда целое.

Дисперсия числа успехов наибольшая при $p = 0, 5$ — когда исход «угадать» труднее всего. При $p = 0$ или $p = 1$ она равна нулю: исход заранее известен.

Закон больших чисел

При большом числе независимых повторений опыта частота события (доля опытов, в которых оно произошло) приближается к его вероятности.

Схема: частота выпадения орла колеблется, но с ростом числа бросков всё теснее прижимается к

0, 5

Поэтому вероятность можно оценивать по частоте — например, долю брака в партии по выборке. Но закон не гарантирует точного совпадения: после 100 бросков монеты орлов может быть 47 или 53, а не ровно 50.

Монета «не помнит» прошлого: после пяти орлов подряд вероятность орла в следующем броске по-прежнему $0, 5$ . Закон больших чисел говорит о долях в длинной серии, а не о «восстановлении справедливости».

Посмотреть и посчитать

Модели

Испытания Бернулли и биномиальное распределение Дисперсия и стандартное отклонение Монета: частота и вероятность

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В серии из 2 испытаний Бернулли вероятность успеха 0,8. Найдите математическое ожидание числа успехов.

Показать ответ

Ответ: 1,6
Решение. E = n·p = 2 · 0,8 = 1,6.

В серии из 4 испытаний вероятность успеха 0,5. Найдите дисперсию числа успехов. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. D = n·p·(1−p) = 4·0,5·0,5 = 1.

Дисперсия числа успехов равна 0,96. Найдите стандартное отклонение. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 0,98
Решение. √0,96 = 0,98.

Монету бросают 7 раз. Найдите математическое ожидание числа орлов.

Показать ответ

Ответ: 3,5
Решение. 7 · 0,5 = 3,5.

Монету бросают 9 раз. Найдите дисперсию числа орлов.

Показать ответ

Ответ: 2,25
Решение. n·p·(1−p) = 9 · 0,25 = 2,25.

Что показывает дисперсия случайной величины?

число возможных значений
наибольшее значение
насколько сильно значения отклоняются от среднего
среднее значение величины

Показать ответ

Ответ: насколько сильно значения отклоняются от среднего
Решение. Чем больше дисперсия, тем шире разброс.

Как связаны дисперсия и стандартное отклонение?

стандартное отклонение — корень из дисперсии
связи нет
они равны
дисперсия — корень из отклонения

Показать ответ

Ответ: стандартное отклонение — корень из дисперсии
Решение. Поэтому отклонение измеряется в тех же единицах, что и величина.

При каком p дисперсия числа успехов в серии испытаний наибольшая?

Показать ответ

Ответ: 0,5
Решение. Произведение p(1−p) максимально при p = 0,5.