Случайная величина и матожидание — Вероятность и статистика, 9 класс

Распределение вероятностей и среднее значение величины. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Бросаем игральную кость. Сколько очков выпадет — заранее неизвестно, но известно, какие числа возможны и с какой вероятностью. Такая «число-неожиданность» называется случайной величиной.

Случайная величина $X$ — величина, которая в результате опыта принимает одно из числовых значений $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ с вероятностями $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ .

Распределение случайной величины записывают таблицей: сверху значения, снизу их вероятности.

$X$	0	2	6
$P$	0,1	0,4	0,5

Сумма всех вероятностей распределения равна 1: $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ . Какое-то из значений обязательно выпадет.

Математическое ожидание

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

каждое значение умножаем на его вероятность и складываем

Здесь $x_{i}$ — возможные значения, $p_{i}$ — их вероятности. $E (X)$ — это среднее значение величины при большом числе опытов.

Высота столбика — вероятность значения; пунктир — математическое ожидание, «центр тяжести» распределения

Величина принимает значения 0, 2, 6 с вероятностями 0,1; 0,4; 0,5. Найдите её математическое ожидание.

Проверяем: $0, 1 + 0, 4 + 0, 5 = 1$ ✓
$E = 0 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0, 4 + 6 \cdot 0, 5 = 0 + 0, 8 + 3 = 3, 8$ .
Ответ: 3,8.

Ещё типы заданий

Значения 1, 3, 5 принимаются с вероятностями 0,2; $p$ ; 0,3. Найдите $p$ .

Сумма вероятностей равна 1: $0, 2 + p + 0, 3 = 1$ .
$p = 0, 5$ .

Найдите матожидание числа очков на правильной кости.

Значения $1, \dots, 6$ , каждое с вероятностью $\frac{1}{6}$ .
$E = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3, 5$ .

Матожидание может не совпадать ни с одним из возможных значений: на кости никогда не выпадает 3,5, но в среднем за много бросков получается именно столько.

Матожидание — не «среднее арифметическое значений». Для $0, 2, 6$ среднее арифметическое $\frac{8}{3} \approx 2, 67$ , а матожидание $3, 8$ : значение 6 встречается чаще, поэтому весит больше.

Проверка ответа: $E (X)$ всегда лежит между наименьшим и наибольшим значением величины.

Свойства математического ожидания

Что сделали со значениями	Что стало с $E (X)$
К каждому значению прибавили $c$	$E (X + c) = E (X) + c$
Каждое значение умножили на $k$	$E (k X) = k \cdot E (X)$
Величина постоянна: всегда равна $c$	$E = c$ , а дисперсия $D = 0$ — разброса нет

$E (X) = 6, 25$ . Каждое значение умножили на 3. Каким стало матожидание?

$E (3 X) = 3 \cdot 6, 25 = 18, 75$ .

$E (X) = 6, 75$ . Каждое значение увеличили на 2.

$E (X + 2) = 6, 75 + 2 = 8, 75$ .

Для числа успехов в $n$ испытаниях Бернулли $E = n p$ : в 3 бросках монеты в среднем $3 \cdot 0, 5 = 1, 5$ орла. Для одного броска монеты $E = 0 \cdot 0, 5 + 1 \cdot 0, 5 = 0, 5$ .

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Случайная величина принимает значения 0, 2, 6 с вероятностями 0,1, 0,4, 0,5. Найдите её математическое ожидание.

Показать ответ

Ответ: 3,8
Решение. 0·0,1 + 2·0,4 + 6·0,5 = 3,8.

Чему равна сумма всех вероятностей в распределении случайной величины?

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Величина обязательно принимает одно из своих значений.

В распределении две вероятности равны 0,25 и 0,25. Найдите третью.

Показать ответ

Ответ: 0,5
Решение. 1 − 0,25 − 0,25 = 0,5.

Что такое математическое ожидание случайной величины?

наибольшее значение величины
среднее значение величины при большом числе опытов
сумма всех значений
наиболее вероятное значение

Показать ответ

Ответ: среднее значение величины при большом числе опытов
Решение. Это взвешенное среднее: значения умножают на вероятности.

Найдите математическое ожидание числа очков при одном броске игральной кости.

Показать ответ

Ответ: 3,5
Решение. (1+2+3+4+5+6) : 6 = 3,5.

Найдите математическое ожидание числа орлов при одном броске монеты.

Показать ответ

Ответ: 0,5
Решение. 0·0,5 + 1·0,5 = 0,5.

Случайная величина принимает единственное значение 9. Чему равно её математическое ожидание?

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. Постоянная величина равна своему математическому ожиданию.

Случайная величина принимает единственное значение 7. Чему равна её дисперсия?

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Разброса нет.