Комбинаторные задачи — Вероятность и статистика, 9 класс

Размещения и сочетания в задачах о выборе. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами?». Главный вопрос перед решением: важен ли порядок? Пьедестал «1-е, 2-е, 3-е место» — порядок важен. Команда из трёх человек — важен только состав.

Если первый выбор можно сделать $m$ способами, а после него второй — $n$ способами, то оба выбора вместе — $m \cdot n$ способами.

Три человека на три места:

3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6

способов

Три формулы

$n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ — факториал («эн факториал»), $0! = 1$ .

Что считаем	Порядок	Формула
Перестановки — расставить все $n$ элементов	важен	$P_{n} = n!$
Размещения — выбрать $k$ из $n$ и расставить	важен	$A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$
Сочетания — выбрать $k$ из $n$	не важен	$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Здесь $n$ — сколько всего элементов, $k$ — сколько выбираем. Размещений всегда в $k!$ раз больше, чем сочетаний: $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ — каждый набор можно упорядочить $k!$ способами.

Удобный счёт сочетаний: $C_{n}^{k} = \frac{n \cdot ( n - 1 ) \cdot \dots}{k !}$ — в числителе $k$ множителей, начиная с $n$ . Например, $C_{9}^{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ .

Разберём задания

В урне 9 шаров. Наудачу берут 4. Сколько всего способов выбора?

Шары берут горстью — порядок не важен: сочетания.
$C_{9}^{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24} = \frac{3024}{24} = 126$ .

В урне 5 шаров, из них 3 белых. Способов выбрать 3 белых шара: $C_{3}^{3} = 1$ — берём все белые, вариант один.

Из 10 участников выбирают председателя и секретаря: $A_{10}^{2} = 10 \cdot 9 = 90$ . Если бы выбирали просто двух делегатов — $C_{10}^{2} = \frac{90}{2} = 45$ .

Понять, важен ли порядок (есть ли «роли», места, очерёдность).
Выбрать формулу: перестановки, размещения или сочетания.
Проверить, могут ли элементы повторяться (код замка из цифр — могут: $10 \cdot 10 \cdot 10$ ).

Если порядок не важен, а посчитали размещения, ответ завышен в $k!$ раз.

Когда элементы повторяются

Если каждый из $k$ выборов делается из одних и тех же $n$ вариантов (повторы разрешены), по правилу умножения получаем $n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^{k}$ .

Задача	Счёт
3-значный код из цифр 0–9	$1 0^{3} = 1000$
3-значный код из различных цифр	$10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$
3 различных предмета по 7 коробкам (в коробку можно класть несколько)	каждый предмет — в любую из 7: $7^{3} = 343$
Подмножества множества из 4 элементов	каждый элемент «берём / не берём»: $2^{4} = 16$

Выбор $3$ предметов из $9$ — это не $9 \cdot 3$ , а $C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Перестановки, размещения, сочетания

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В урне 9 шаров, из них 5 белых. Наудачу берут 4 шара. Сколько всего способов выбора?

Показать ответ

Ответ: 126
Решение. C(9, 4) = 126.

В урне 5 шаров, 3 белых. Сколько способов выбрать 3 белых шара?

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. C(3, 3) = 1.

Из 5 человек выбирают 3 в комиссию. Сколько вариантов?

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. C(5, 3) = 10.

Вероятность выбрать 2 белых шара из урны с 11 шарами, где 9 белых. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ

Ответ: 0,65
Решение. P = C(9,2) : C(11,2) = 36 : 55 = 0,65.

Сколькими способами можно разложить 3 различных предмета по 7 коробкам (в коробку можно класть несколько)?

Показать ответ

Ответ: 343
Решение. 7³ = 343.

Сколько существует 3-значных кодов из цифр 0–9?

Показать ответ

Ответ: 1000
Решение. 10³ = 1000.

Сколько существует 3-значных кодов из различных цифр 0–9?

Показать ответ

Ответ: 720
Решение. 10 · 9 · … — всего 720 вариантов.

Из колоды в 20 карт выбирают одну. Сколько исходов?

Показать ответ

Ответ: 20
Решение. Каждая карта — отдельный исход.