Перестановки и факториал — Вероятность и статистика, 9 класс

Число перестановок, факториал и его свойства. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Три друга встают в очередь за мороженым. Первым может встать любой из трёх, вторым — любой из двух оставшихся, третьим — последний. Всего $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ вариантов очереди. Каждый такой порядок называют перестановкой.

Перестановка из $n$ элементов — любой способ расположить все $n$ различных предметов по порядку. Число перестановок обозначают $P_{n}$ .

Дерево вариантов:

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

перестановок трёх букв

Факториал

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n, 0! = 1

n!

читается «эн факториал» — произведение всех натуральных чисел от 1 до

n

P_{n} = n!

число перестановок

n

различных предметов

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	10
$n!$	1	1	2	6	24	120	720	5040	3 628 800

Факториал растёт очень быстро: уже $10!$ больше трёх миллионов.

$n! = n \cdot (n - 1)!$ — каждый следующий факториал получается из предыдущего умножением: $6! = 6 \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720$ .

Дроби с факториалами не вычисляют «в лоб», а сокращают: $\frac{8 !}{6 !} = \frac{6 ! \cdot 7 \cdot 8}{6 !} = 56$ .

Разбор заданий

Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на полке?

Расставляем все книги, порядок важен — это перестановки.
$P_{6} = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$ .
Ответ: 720.

Сколько «слов» (не обязательно осмысленных) можно составить, переставляя буквы слова ПЕНАЛ?

Пять различных букв, используем все: $5! = 120$ .
Ответ: 120.

5 человек садятся в ряд, причём Аня обязательно садится с краю слева. Сколько вариантов?

Место Ани определено, остальные 4 человека переставляются: $4! = 24$ .

$0! = 1$ , а не $0$ : расставить «ничего» можно ровно одним способом. И $1! = 1$ .

Перестановки и размещения

Если из $n$ предметов выбирают и упорядочивают только $k$ (призовые места, должности), это размещения.

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

n

— сколько всего предметов,

k

— сколько выбираем с учётом порядка

Перестановки $P_{n}$ Упорядочиваем все

n

предметов. 4 бегуна финишируют:

4! = 24

варианта протокола.

Размещения $A_{n}^{k}$ Выбираем

k

из

n

, порядок важен. Золото, серебро и бронза среди 10 участников:

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Перестановка — это размещение «всех из всех»: $A_{n}^{n} = \frac{n !}{0 !} = n!$ .

Рассадка за круглым столом

За круглым столом нет «первого» места: если все сдвинутся на один стул по кругу, рассадка останется той же. Поэтому фиксируют одного человека, а остальных $n - 1$ переставляют.

(n - 1)!

число рассадок

n

человек за круглым столом, повороты считаются одинаковыми

Сколькими способами можно рассадить 8 человек за круглым столом?

Сажаем одного на любое место — оно становится точкой отсчёта.
Остальные 7 переставляются: $7! = 5040$ .

Сравнение факториала и степени: $8! = 40320$ , а $2^{8} = 256$ — факториал растёт быстрее. $8!$ — это не $8 \cdot 7$ , а произведение всех чисел от 1 до 8.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на полке?

Показать ответ

Ответ: 720
Решение. 6! = 720.

Вычислите 3!.

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. Произведение всех чисел от 1 до 3 равно 6.

Вычислите 6! : 5!.

Показать ответ

Ответ: 6
Решение. Все множители, кроме 6, сокращаются.

Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь?

Показать ответ

Ответ: 120
Решение. Это перестановки: 5! = 120.

Чему равно 0!?

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. По определению 0! = 1.

Сколькими способами можно выбрать и упорядочить 5 предмета из 6?

Показать ответ

Ответ: 720
Решение. 6! : (6 − 5)! = 720.

Сколькими способами можно распределить 2 различные медали среди 6 спортсменов?

Показать ответ

Ответ: 30
Решение. Это размещения: важен и состав, и порядок.

Во сколько раз 7! больше 5!?

Показать ответ

Ответ: 42
Решение. 7 · 6 = 42.