Сочетания — Вероятность и статистика, 9 класс

Число сочетаний, выбор без учёта порядка. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Из 4 друзей нужно выбрать двоих в поход. Пара «Аня и Борис» — то же самое, что «Борис и Аня»: порядок не важен. Такой выбор называется сочетанием.

Сочетание из $n$ по $k$ — любой набор из $k$ предметов, выбранных из $n$ различных, без учёта порядка. Их число обозначают $C_{n}^{k}$ (читается «цэ из эн по ка»).

Из 4 человек можно выбрать

C_{4}^{2} = 6

пар — столько отрезков соединяют 4 точки

Формула

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

n

— сколько всего предметов,

k

— сколько выбираем

Откуда она: упорядоченных выборок $k$ из $n$ — размещений — $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ . Но каждый набор из $k$ предметов в них посчитан $k!$ раз (столько способов его упорядочить). Делим на $k!$ .

Сверху — $k$ множителей, начиная с $n$ и вниз; снизу — $k!$ :

C_{9}^{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{504}{6} = 84.

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{1} = n$ , $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

Симметрия

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}

выбрать

k

предметов — то же самое, что оставить

n - k

$C_{20}^{18} = C_{20}^{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$ — так считать гораздо быстрее.

Разбор заданий

Сколькими способами можно выбрать 4 человека из 6 без учёта порядка?

Порядок не важен — сочетания: $C_{6}^{4}$ .
По симметрии $C_{6}^{4} = C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ .
Ответ: 15.

В классе 10 мальчиков и 8 девочек. Сколькими способами выбрать 2 мальчиков и 1 девочку?

Мальчиков: $C_{10}^{2} = 45$ , девочку: $C_{8}^{1} = 8$ .
Выборы независимы — перемножаем: $45 \cdot 8 = 360$ .

Порядок важенПризовые места, пароль, расписание — размещения или перестановки.

Порядок не важенКоманда, набор книг, пара точек, букет — сочетания.

Главная ошибка — не задать себе вопрос «важен ли порядок?». Если поменять двух выбранных местами и получится то же самое — это сочетания, делим на $k!$ .

Пары, рукопожатия, диагонали

Многие задачи сводятся к числу пар из $n$ объектов: $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

Задача	Решение
Сколько рукопожатий у 6 человек, если каждый здоровается с каждым один раз?	$C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$
Сколько диагоналей у выпуклого 8-угольника?	пар вершин $C_{8}^{2} = 28$ , из них 8 — стороны: $28 - 8 = 20$
Команда из 3 человек среди 9, один — обязательный капитан	капитан уже в команде, двоих берём из оставшихся 8: $C_{8}^{2} = 28$

Число диагоналей $n$ -угольника: $C_{n}^{2} - n = \frac{n ( n - 3 )}{2}$ . Сумма $C_{n}^{0} + C_{n}^{n} = 1 + 1 = 2$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Перестановки, размещения, сочетания Треугольник Паскаля и число путей

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Сколькими способами можно выбрать 4 человека из 6 без учёта порядка?

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. C(6, 4) = 15.

Вычислите число сочетаний из 9 по 3.

Показать ответ

Ответ: 84
Решение. C(9, 3) = 9! : (3!·6!) = 84.

Чему равно число сочетаний из 7 по 0?

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Пустой выбор можно сделать единственным способом.

Сравните C(8, 4) и C(8, 4): в ответ запишите их общее значение.

Показать ответ

Ответ: 70
Решение. Сочетания симметричны: C(n, k) = C(n, n−k) = 70.

Из 5 книг выбирают 4 для чтения. Важен ли порядок выбора? Введите 1, если важен, и 0, если нет.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Это сочетания: важен только состав.

Сколько существует различных пар из 5 человек?

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. C(5, 2) = 5·4 : 2 = 10.

Сколько рукопожатий сделают 6 человек, если каждый поздоровается с каждым один раз?

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. Это число пар: 15.

Сколько диагоналей у выпуклого 8-угольника?

Показать ответ

Ответ: 20
Решение. Всего пар вершин 28, из них 8 — стороны: 20.