Условная вероятность и независимость

Умножение вероятностей, независимые события. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Монета и кубик «не знают» друг о друге: что выпало на монете, никак не влияет на кубик. Такие события независимы. А вот если вытянуть из колоды туза и не вернуть его, шанс вытянуть второго туза уменьшится — события зависимы.

Условная вероятность $P (B ∣ A)$ — вероятность события $B$ при условии, что $A$ уже произошло.

События $A$ и $B$ независимы, если наступление одного не меняет вероятности другого: $P (B ∣ A) = P (B)$ .

Правило умножения

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

для любых событий

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

для независимых событий

$A \cap B$ — «произошли оба события». Из первой формулы: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ .

P (A) = 0, 3

P (B) = 0, 1

: вдоль пути вероятности перемножают; сумма всех листьев

= 1

Оба, ни одного, хотя бы одно

Оба

P (A) \cdot P (B)

Ни одного

(1 - P (A)) \cdot (1 - P (B))

Хотя бы одно

1 - P (ни одного)

События независимы, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 1$ . Найдите вероятность того, что произойдут оба.

$P (A \cap B) = 0, 3 \cdot 0, 1 = 0, 03$ .

События независимы, $P (A) = 0, 8$ , $P (B) = 0, 2$ . Найдите вероятность того, что не произойдёт ни одно.

$P (\overline{A}) = 1 - 0, 8 = 0, 2$ , $P (\overline{B}) = 1 - 0, 2 = 0, 8$ .
$\overline{A}$ и $\overline{B}$ тоже независимы: $0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16$ .

Два стрелка независимо стреляют по мишени, попадают с вероятностями $0, 8$ и $0, 2$ . Найдите вероятность, что попадёт хотя бы один.

Ни один не попал: $0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16$ .
Хотя бы один: $1 - 0, 16 = 0, 84$ .

«Хотя бы одно» — это не $P (A) + P (B)$ : независимые события совместны, они могут произойти одновременно. Надёжнее всего — через «ни одного».

«И» — умножаем, «или» (несовместные) — складываем, «хотя бы» — через единицу минус «ни одного».

Зависимые события

В коробке 3 красных и 2 синих шара. Достают два шара без возвращения. Вероятность, что оба красные: $P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0, 3$ . Вторая дробь — условная вероятность: после первого красного осталось 2 красных из 4.

Серия независимых опытов

Выстрелы, броски, повторения опыта обычно независимы: вероятности по одному пути перемножают, а разные подходящие пути складывают.

Вероятность попадания $0, 8$ . Два промаха подряд: $0, 2 \cdot 0, 2 = 0, 04$ .

Вероятность попадания $0, 4$ . Найдите вероятность ровно одного попадания из двух выстрелов.

Подходят два пути: «попал, промах» — $0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 24$ ; «промах, попал» — $0, 6 \cdot 0, 4 = 0, 24$ .
Пути несовместны, складываем: $0, 24 + 0, 24 = 0, 48$ .

Событие в одном опыте имеет вероятность $0, 4$ . За три независимых опыта оно не произойдёт ни разу с вероятностью $0, 6^{3} = 0, 216$ .

Если $A$ и $B$ независимы, то $P (A ∣ B) = P (A)$ : при $P (A) = 0, 8$ и условная вероятность равна $0, 8$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Дерево вероятностей Независимые события и «хотя бы один»Урна с шарами: с возвращением и без

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

События независимы, P(A) = 0,3, P(B) = 0,1. Найдите вероятность того, что произойдут оба.

Показать ответ

Ответ: 0,03
Решение. 0,3 · 0,1 = 0,03.

События независимы, P(A) = 0,8, P(B) = 0,2. Найдите вероятность того, что не произойдёт ни одно.

Показать ответ

Ответ: 0,16
Решение. (1 − 0,8)(1 − 0,2) = 0,16.

События независимы, P(A) = 0,25, P(B) = 0,25. Найдите вероятность того, что произойдёт хотя бы одно.

Показать ответ

Ответ: 0,4375
Решение. 1 − (1 − 0,25)(1 − 0,25) = 0,4375.

P(A) = 0,25, P(B при условии A) = 0,5. Найдите вероятность того, что произойдут оба события.

Показать ответ

Ответ: 0,125
Решение. Правило умножения: 0,25 · 0,5 = 0,125.

P(A и B) = 0,025, P(A) = 0,25. Найдите условную вероятность B при условии A.

Показать ответ

Ответ: 0,1
Решение. 0,025 : 0,25 = 0,1.

Что означает независимость событий?

одно из них достоверно
события не могут произойти вместе
их вероятности равны
наступление одного не меняет вероятности другого

Показать ответ

Ответ: наступление одного не меняет вероятности другого
Решение. Для независимых событий P(A и B) = P(A)·P(B).

Вероятность попадания при каждом выстреле 0,2. Найдите вероятность двух попаданий подряд.

Показать ответ

Ответ: 0,04
Решение. 0,2² = 0,04.

Вероятность попадания 0,8. Найдите вероятность двух промахов подряд.

Показать ответ

Ответ: 0,04
Решение. (1 − 0,8)² = 0,04.