Учебник reknow · 8 класс

Вероятность и статистика: теория

10 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:7 8 9 Математика по всем классам →

Множества и операции над ними
Дисперсия и стандартное отклонение
Диаграмма рассеивания
Элементарные события
Противоположные события и сложение вероятностей
Правило умножения и деревья
Условная вероятность и независимость
Деревья
Представление и анализ данных
Случайный выбор

Тема 1 · Вероятность и статистика

Множества и операции над ними

Потренироваться: задания по теме →

События и множества: круги Эйлера

Простыми словами

В классе есть те, кто ходит на футбол, и те, кто ходит на шахматы. Некоторые ходят и туда, и туда. Каждая группа ребят — это множество, а вопросы «сколько всего занимается» и «сколько ходит в обе секции» — это операции над множествами.

Множество — набор объектов, которые называют его элементами. Запись $a \in A$ читают « $a$ принадлежит $A$ ».

Подмножество $B \subset A$ — часть множества: каждый элемент $B$ есть и в $A$ . Пустое множество $\emptyset$ не содержит ни одного элемента и является подмножеством любого множества.

Число элементов множества $A$ обозначают $∣ A ∣$ (или $n (A)$ ).

Операции над множествами

Диаграмма Эйлера: области «только

A

», «только

B

» и общая часть

A \cap B

Объединение $A \cup B$ Все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств (союз «или»).

Пересечение $A \cap B$ Только общие элементы — те, что есть в обоих (союз «и»).

Разность $A ∖ B$ Элементы

A

, которых нет в

B

(«только

A

»).

$A = {1, 2, 3, 4}$ , $B = {3, 4, 5}$ . Тогда $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $A \cap B = {3, 4}$ , $A ∖ B = {1, 2}$ .

Сколько элементов в объединении

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣

формула включений и исключений

Здесь $∣ A ∣$ и $∣ B ∣$ — числа элементов множеств, $∣ A \cap B ∣$ — число общих элементов. Общие элементы при сложении $∣ A ∣ + ∣ B ∣$ посчитаны дважды, поэтому их вычитают один раз.

∣ A ∖ B ∣ = ∣ A ∣ - ∣ A \cap B ∣

сколько элементов «только в

A

В $A$ 8 элементов, в $B$ — 11, общих 6. Сколько элементов в $A \cup B$ ? Сколько только в $A$ ?

$∣ A \cup B ∣ = 8 + 11 - 6 = 13$ .
Только в $A$ : $8 - 6 = 2$ ; только в $B$ : $11 - 6 = 5$ .
Проверка: $2 + 6 + 5 = 13$ ✓

В $A$ 8 элементов, в $B$ — 20, в пересечении 2. Сколько элементов только в $A$ ?

Из 8 элементов $A$ два общие с $B$ .
Только в $A$ : $8 - 2 = 6$ .

Нельзя просто складывать $∣ A ∣ + ∣ B ∣$ , если множества пересекаются: общие элементы окажутся посчитаны дважды. И «только в $A$ » — это не $∣ A ∣$ , а $∣ A ∣ - ∣ A \cap B ∣$ .

Рисуйте два круга и заполняйте области с середины: сначала пересечение, потом «только $A$ » и «только $B$ ». Все ответы читаются с рисунка.

Подмножества и особые случаи

2^{n}

число всех подмножеств множества из

n

элементов (вместе с

\emptyset

и самим множеством)

У ${a, b}$ подмножества $\emptyset, {a}, {b}, {a, b}$ — их $2^{2} = 4$ . У множества из 4 элементов $2^{4} = 16$ подмножеств.

Случай	Пересечение	Объединение
$A$ и $\emptyset$	$A \cap \emptyset = \emptyset$ (0 элементов)	$A \cup \emptyset = A$
$B \subset A$	$A \cap B = B$	$A \cup B = A$

Если $A = B$ , то $A \cup B = A \cap B$ — поэтому объединение не всегда больше пересечения.

Ровно в одном из множеств: $∣ A ∣ + ∣ B ∣ - 2∣ A \cap B ∣$ . При $∣ A ∣ = 7$ , $∣ B ∣ = 11$ , общих 6: $7 + 11 - 12 = 6$ .

В классе 13 учеников, 9 занимаются спортом, 5 — музыкой, 1 — и тем и другим. Хотя бы чем-то заняты $9 + 5 - 1 = 13$ , значит, ничем не занимаются $13 - 13 = 0$ .

Тема 2 · Вероятность и статистика

Дисперсия и стандартное отклонение

Потренироваться: задания по теме →

Дисперсия и стандартное отклонение Нормальное распределение: правило трёх сигм Среднее, медиана, мода

Простыми словами

Два стрелка в среднем выбивают по 15 очков. Но у первого всегда 14–16, а у второго то 12, то 18. Среднее одинаковое, а стабильность разная. Насколько данные «разбросаны» вокруг среднего, показывают дисперсия и стандартное отклонение.

Одинаковое среднее, разный разброс

Отклонения и дисперсия

Пусть набор $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ , а $\overset{x}{ˉ}$ — его среднее арифметическое. Отклонение числа от среднего — разность $x_{i} - \overset{x}{ˉ}$ . Сумма всех отклонений всегда равна $0$ (плюсы и минусы уравновешиваются), поэтому их возводят в квадрат.

D = \frac{( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + ( x _{2} - x ˉ ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ˉ ) ^{2}}{n}

дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений

Где $D$ — дисперсия, $x_{i}$ — значения набора, $\overset{x}{ˉ}$ — среднее, $n$ — количество значений. Если данные в метрах, дисперсия — в квадратных метрах.

Найдём дисперсию набора $12, 15, 18$ .

Среднее: $\overset{x}{ˉ} = \frac{12 + 15 + 18}{3} = \frac{45}{3} = 15$ .
Отклонения: $- 3, 0, 3$ (проверка: сумма $0$ ✓).
Квадраты отклонений: $9, 0, 9$ .
Дисперсия: $D = \frac{9 + 0 + 9}{3} = 6$ .

$x_{i}$	$x_{i} - \overset{x}{ˉ}$	$(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$
12	−3	9
15	0	0
18	3	9
сумма : n		$18 : 3 = 6$

Частые ошибки: забыть возвести отклонение в квадрат; возвести в квадрат сами числа, а не отклонения; поделить на $n - 1$ вместо $n$ (в школьном курсе 8 класса делят на $n$ ).

Стандартное отклонение

σ = D

стандартное отклонение — корень из дисперсии

Оно измеряется в тех же единицах, что и сами данные (не в квадратных), поэтому его удобнее понимать: «значения отклоняются от среднего примерно на $σ$ ». Для набора $12, 15, 18$ : $σ = 6 \approx 2, 45$ .

Набор $1, 2, 4$ : $\overset{x}{ˉ} = \frac{7}{3}$ . Отклонения $- \frac{4}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{5}{3}$ , квадраты $\frac{16}{9}, \frac{1}{9}, \frac{25}{9}$ , сумма $\frac{42}{9}$ , $D = \frac{42}{27} = \frac{14}{9} \approx 1, 56$ . Округляем только в самом конце.

Свойства

Сдвиг на числоКо всем значениям прибавили

c

— среднее сдвинется на

c

, а дисперсия не изменится.

Умножение на kВсе значения умножили на

k

— дисперсия увеличится в

k^{2}

раз, стандартное отклонение — в

∣ k ∣

раз.

Все числа равныРазброса нет:

D = 0

. И наоборот,

D = 0

только у набора из одинаковых чисел.

Дисперсия никогда не бывает отрицательной — это сумма квадратов. Получили $D < 0$ — ищите ошибку.

Тема 3 · Вероятность и статистика

Диаграмма рассеивания

Потренироваться: задания по теме →

Диаграмма рассеивания и корреляция

Простыми словами

У каждого ученика класса измерили рост и размер обуви. Каждого ученика отметим точкой: по горизонтали — рост, по вертикали — размер. Получится «облако» точек — диаграмма рассеивания. По его форме видно, связаны ли величины.

Одна точка = один объект = пара значений $(x; y)$ двух признаков. Сколько точек — столько объектов (пар значений) в наборе.

Как читать диаграмму

8 точек — 8 пар значений. Облако идёт вверх: связь прямая

Сколько пар значений? Считаем точки (здесь $8$ ).
Наибольшее / наименьшее по оси: находим самую высокую (низкую) точку и проводим горизонталь к вертикальной оси. Для горизонтальной оси — самую правую (левую) точку и вертикаль вниз.
Значение у конкретной точки: опускаем перпендикуляры на обе оси и читаем по шкале с учётом шага делений.

Наибольшее значение по вертикали ищут по самой верхней точке, а не по концу оси: ось может быть длиннее данных. Точки диаграммы рассеивания не соединяют линией: они не упорядочены во времени, и ломаная ничего не означает.

Виды связи

Облако растёт, убывает или разбросано без формы

Прямая (положительная)Больше

x

— как правило, больше

y

. Рост и размер обуви.

Обратная (отрицательная)Больше

x

— как правило, меньше

y

. Высота над уровнем моря и температура воздуха.

Нет связиТочки разбросаны бесформенно. Рост и номер дома.

Связь на диаграмме ещё не означает, что одна величина — причина другой. Продажи мороженого и число купающихся растут вместе, но причина у обоих — жара.

Обведите облако овалом. Овал вытянут и наклонён вверх — связь прямая, вниз — обратная; овал похож на круг — связи нет. Чем уже овал, тем сильнее связь.

Числа по диаграмме

Значения точек по одной оси выписывают в ряд, а дальше считают обычные характеристики: сумму, среднее, размах, количество значений больше заданного.

У 6 точек значения по вертикали: $2, 7, 3, 5, 6, 7$ .

Сумма: $2 + 7 + 3 + 5 + 6 + 7 = 30$ ; среднее: $30 : 6 = 5$ .
Наибольшее $7$ , наименьшее $2$ , размах $7 - 2 = 5$ .
Больше 3: значения $7, 5, 6, 7$ — четыре точки.

Тема 4 · Вероятность и статистика

Элементарные события

Потренироваться: задания по теме →

Классическая вероятность: благоприятные из всех Сумма на двух кубиках Вероятность

Простыми словами

Бросаем игральный кубик. Может выпасть $1, 2, 3, 4, 5$ или $6$ — это самые простые, «неделимые» исходы опыта. Их называют элементарными событиями. Любое более сложное событие, например «выпало чётное», собирается из них, как слово из букв.

Элементарное событие — неразложимый исход случайного опыта. В каждом опыте наступает ровно одно элементарное событие. Элементарные события, при которых наступает событие $A$ , называют благоприятствующими событию $A$ .

Событие из элементарных

P (чётное) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Каждому элементарному событию приписана вероятность — число от $0$ до $1$ .

1) Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна $1$ .

2) Вероятность события $A$ равна сумме вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий.

У «нечестного» кубика $P (6) = 0, 3$ , а остальные грани по $0, 14$ . Проверка: $0, 3 + 5 \cdot 0, 14 = 1$ ✓. Тогда $P (чётное) = P (2) + P (4) + P (6) = 0, 14 + 0, 14 + 0, 3 = 0, 58$ .

Равновозможные исходы

Если все $n$ элементарных событий равновозможны (симметричная монета, честный кубик, случайный выбор), вероятность каждого из них равна $\frac{1}{n}$ , а вероятность события —

P (A) = \frac{m}{n}

m

— число благоприятных элементарных событий,

n

— число всех

В опыте $80$ равновозможных элементарных событий, событию $A$ благоприятны $59$ .

$n = 80$ , $m = 59$ .
$P (A) = \frac{59}{80} = 0, 7375$ .

Событие	$m$	$P$
Невозможное (не наступает никогда)	$0$	$0$
Достоверное (наступает всегда)	$n$	$1$
Любое другое	$0 < m < n$	между $0$ и $1$

Формулу $\frac{m}{n}$ применяют только к равновозможным исходам. Ошибка: «при броске двух монет три исхода — два орла, две решки, разные; значит, $P (два орла) = \frac{1}{3}$ ». На самом деле исходов четыре (ОО, ОР, РО, РР), и $P = \frac{1}{4}$ .

Вероятность — всегда число от $0$ до $1$ . Получилось больше $1$ или отрицательное — где-то перепутаны $m$ и $n$ .

Обратно: если каждое из равновозможных элементарных событий имеет вероятность $0, 05$ , то их $1 : 0, 05 = 20$ . Если событию $A$ благоприятны 3 из 40, то противоположному — $40 - 3 = 37$ .

Тема 5 · Вероятность и статистика

Противоположные события и сложение вероятностей

Потренироваться: задания по теме →

Парадокс дней рождения События и множества: круги Эйлера Независимые события и «хотя бы один» Вероятность

Простыми словами

Завтра дождь либо будет, либо нет — третьего не дано. Если вероятность дождя $0, 3$ , то вероятность, что дождя не будет, $1 - 0, 3 = 0, 7$ . События «дождь» и «нет дождя» — противоположные.

Событие $\overline{A}$ («не $A$ ») называют противоположным событию $A$ , если оно наступает тогда и только тогда, когда $A$ не наступает. Из двух противоположных событий в опыте происходит ровно одно.

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

вероятность противоположного события

Здесь $P (A)$ — вероятность события $A$ (число от $0$ до $1$ ), $P (\overline{A})$ — вероятность того, что $A$ не произойдёт. Всегда $P (A) + P (\overline{A}) = 1$ .

Как решать

Вероятности

A

\overline{A}

вместе заполняют всю «единицу»

Вероятность события равна $0, 6$ . Найдите вероятность противоположного события.

$P (\overline{A}) = 1 - 0, 6 = 0, 4$ .

Вероятность противоположного события равна $0, 15$ . Найдите вероятность самого события.

$P (A) = 1 - P (\overline{A}) = 1 - 0, 15 = 0, 85$ .

Слова «не», «хотя бы один», «ни одного» — сигнал: часто проще найти вероятность противоположного события и вычесть её из $1$ .

Сложение вероятностей

События несовместны, если они не могут произойти одновременно (при броске кубика — «выпало 1» и «выпало 6»).

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

для несовместных событий

$A \cup B$ — событие «произошло $A$ или $B$ » (хотя бы одно из них).

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

для любых событий

$A \cap B$ — событие «произошли оба». Его вероятность вычитают, иначе общие исходы посчитаны дважды (как в формуле для множеств).

Кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет 1 или 6.

События несовместны, каждое имеет вероятность $\frac{1}{6}$ .
$P = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ .

Кубик бросают один раз. $A$ — «выпало чётное», $B$ — «выпало больше 3». Найдите $P (A \cup B)$ .

$A = {2, 4, 6}$ , $B = {4, 5, 6}$ , $A \cap B = {4, 6}$ .
$P = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .
Проверка: $A \cup B = {2, 4, 5, 6}$ — 4 исхода из 6 ✓

Складывать вероятности «в лоб» можно только для несовместных событий. Если в сумме вышло больше $1$ — точно забыли вычесть пересечение.

Ни одно из событий и полная группа

$A$ и $B$ несовместны, $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 3$ . «Произойдёт $A$ или $B$ »: $0, 9$ . «Не произойдёт ни одно» — противоположное событие: $1 - 0, 9 = 0, 1$ .

Несовместные события образуют полную группу, если в опыте обязательно происходит одно из них. Сумма их вероятностей равна $1$ . Событие и противоположное ему — полная группа из двух событий.

$A$ и $B$ несовместны и образуют полную группу, $P (A) = 0, 4$ . Тогда $P (B) = 1 - 0, 4 = 0, 6$ .

Вероятность — число от $0$ до $1$ , поэтому «не $A$ » считают как $1 - P (A)$ , а не $100 - P (A)$ . Событие, противоположное достоверному, невозможно: его вероятность $0$ .

Тема 6 · Вероятность и статистика

Правило умножения и деревья

Потренироваться: задания по теме →

Дерево вероятностей Независимые события и «хотя бы один»

Простыми словами

В столовой 5 супов и 2 вторых блюда. К каждому из 5 супов можно взять любое из 2 вторых — получается $5 \cdot 2 = 10$ разных обедов. Когда выбор идёт по шагам и шаги не зависят друг от друга, числа вариантов перемножают.

Если первый выбор можно сделать $a$ способами, а после него второй — $b$ способами, то пару выборов можно сделать $a \cdot b$ способами. Для $k$ шагов: $n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$ .

Дерево вариантов

Дерево показывает все исходы: от корня идут ветви первого шага, от каждой из них — ветви второго шага. Каждый путь от корня до листа — один вариант.

2 рубашки (Р) и 3 галстука (Г):

2 \cdot 3 = 6

листьев — 6 комплектов

Дерево нужно, чтобы понять задачу. Когда вариантов много, его не рисуют до конца, а считают листья умножением: число ветвей на каждом уровне.

Разберём задачи

В меню 5 первых блюд и 2 вторых. Сколько существует вариантов обеда из двух блюд (первое + второе)?

Шаг 1 — первое блюдо: 5 способов.
Шаг 2 — второе: 2 способа.
Всего: $5 \cdot 2 = 10$ .

Есть 4 рубашки и 6 галстуков. Сколько разных комплектов «рубашка + галстук»?

$4 \cdot 6 = 24$ комплекта.

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры могут повторяться? А если не могут?

С повторениями: на каждое из 3 мест — 4 цифры: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ .
Без повторений: $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ — на каждом следующем шаге вариантов на один меньше.

Не путайте умножение со сложением. «Обед из супа и второго» — умножаем. «Взять либо суп, либо второе (одно блюдо)» — складываем: $5 + 2 = 7$ .

Вероятности на дереве

Если на ветвях подписать вероятности, дерево помогает считать вероятность исхода:

Вероятности вдоль одного пути перемножают. Вероятности разных путей, ведущих к нужному событию, складывают.

Монету бросают дважды. Каждый путь (ОО, ОР, РО, РР) имеет вероятность $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . «Ровно один орёл» — пути ОР и РО: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

Тема 7 · Вероятность и статистика

Условная вероятность и независимость

Потренироваться: задания по теме →

Дерево вероятностей Три двери: менять или не менять Независимые события и «хотя бы один» Урна с шарами: с возвращением и без

Простыми словами

Монета и кубик «не знают» друг о друге: что выпало на монете, никак не влияет на кубик. Такие события независимы. А вот если вытянуть из колоды туза и не вернуть его, шанс вытянуть второго туза уменьшится — события зависимы.

Условная вероятность $P (B ∣ A)$ — вероятность события $B$ при условии, что $A$ уже произошло.

События $A$ и $B$ независимы, если наступление одного не меняет вероятности другого: $P (B ∣ A) = P (B)$ .

Правило умножения

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)

для любых событий

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

для независимых событий

$A \cap B$ — «произошли оба события». Из первой формулы: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ .

P (A) = 0, 3

P (B) = 0, 1

: вдоль пути вероятности перемножают; сумма всех листьев

= 1

Оба, ни одного, хотя бы одно

Оба

P (A) \cdot P (B)

Ни одного

(1 - P (A)) \cdot (1 - P (B))

Хотя бы одно

1 - P (ни одного)

События независимы, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 1$ . Найдите вероятность того, что произойдут оба.

$P (A \cap B) = 0, 3 \cdot 0, 1 = 0, 03$ .

События независимы, $P (A) = 0, 8$ , $P (B) = 0, 2$ . Найдите вероятность того, что не произойдёт ни одно.

$P (\overline{A}) = 1 - 0, 8 = 0, 2$ , $P (\overline{B}) = 1 - 0, 2 = 0, 8$ .
$\overline{A}$ и $\overline{B}$ тоже независимы: $0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16$ .

Два стрелка независимо стреляют по мишени, попадают с вероятностями $0, 8$ и $0, 2$ . Найдите вероятность, что попадёт хотя бы один.

Ни один не попал: $0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16$ .
Хотя бы один: $1 - 0, 16 = 0, 84$ .

«Хотя бы одно» — это не $P (A) + P (B)$ : независимые события совместны, они могут произойти одновременно. Надёжнее всего — через «ни одного».

«И» — умножаем, «или» (несовместные) — складываем, «хотя бы» — через единицу минус «ни одного».

Зависимые события

В коробке 3 красных и 2 синих шара. Достают два шара без возвращения. Вероятность, что оба красные: $P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0, 3$ . Вторая дробь — условная вероятность: после первого красного осталось 2 красных из 4.

Серия независимых опытов

Выстрелы, броски, повторения опыта обычно независимы: вероятности по одному пути перемножают, а разные подходящие пути складывают.

Вероятность попадания $0, 8$ . Два промаха подряд: $0, 2 \cdot 0, 2 = 0, 04$ .

Вероятность попадания $0, 4$ . Найдите вероятность ровно одного попадания из двух выстрелов.

Подходят два пути: «попал, промах» — $0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 24$ ; «промах, попал» — $0, 6 \cdot 0, 4 = 0, 24$ .
Пути несовместны, складываем: $0, 24 + 0, 24 = 0, 48$ .

Событие в одном опыте имеет вероятность $0, 4$ . За три независимых опыта оно не произойдёт ни разу с вероятностью $0, 6^{3} = 0, 216$ .

Если $A$ и $B$ независимы, то $P (A ∣ B) = P (A)$ : при $P (A) = 0, 8$ и условная вероятность равна $0, 8$ .

Тема 8 · Вероятность и статистика

Деревья

Потренироваться: задания по теме →

Дерево вероятностей

Простыми словами

Генеалогическое древо, папки на компьютере, схема «турнир на выбывание» — всё это деревья: от любого места до любого другого можно добраться, причём ровно одним путём, и нигде нельзя «ходить по кругу».

Граф — набор точек (вершин), часть которых соединена линиями (рёбрами). Дерево — связный граф (из любой вершины можно дойти до любой) без циклов (нет замкнутых путей).

Как выглядит дерево

Дерево:

7

вершин,

7 - 1 = 6

рёбер; закрашены иначе — висячие вершины

Степень вершины — число рёбер, выходящих из неё. Висячая вершина (лист) — вершина степени $1$ .

Свойства дерева

P = B - 1

B

— число вершин,

P

— число рёбер

Между любыми двумя вершинами существует ровно один путь.
В любом дереве (с двумя и более вершинами) есть хотя бы две висячие вершины.
Удаление любого ребра разбивает дерево на две части (связность теряется).
Добавление любого нового ребра между имеющимися вершинами создаёт цикл.

Дерево с $15$ вершинами: рёбер $15 - 1 = 14$ .
В дереве $12$ рёбер: вершин $12 + 1 = 13$ .
Граф: $10$ вершин и $10$ рёбер — не дерево (рёбер должно быть $9$ , значит есть цикл или граф несвязен).

Почему $B - 1$ ? Начнём с одной вершины. Каждое новое ребро «приводит» ровно одну новую вершину. Если вершин $B$ , то добавили $B - 1$ вершину, то есть $B - 1$ ребро.

Не перепутайте направление: рёбер меньше вершин на $1$ . По рёбрам вершины находят прибавлением единицы, по вершинам рёбра — вычитанием.

Дерево эксперимента

Опыт из нескольких шагов рисуют деревом: из корня выходят ветви первого шага, из конца каждой — ветви второго и т. д. Каждый путь от корня до листа — один исход.

N = m^{k}

k

уровней, на каждом по

m

ветвей:

N

листьев (исходов)

4 уровня по 3 ветви: $3^{4} = 81$ исход. 2 уровня по 3 ветви: $3^{2} = 9$ .

Всего вершин в дереве с 2 уровнями по 4 ветви, считая корень: $1 + 4 + 16 = 21$ .

Если из вершины выходят две равновозможные ветви, вероятность каждой $\frac{1}{2} = 0, 5$ .

Каждое ребро соединяет две вершины, поэтому сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер. В дереве с $B$ вершинами она равна $2 (B - 1)$ : при $B = 20$ это $38$ .

Тема 9 · Вероятность и статистика

Представление и анализ данных

Потренироваться: задания по теме →

Диаграммы: столбчатая, круговая и таблица Ящик с усами: квартили и выбросы

Простыми словами

Магазин записал, сколько тортов продал за каждый день недели. Голые числа в столбик читать трудно — поэтому данные собирают в таблицу или рисуют диаграмму. А потом сжимают в несколько характеристик: сколько всего, сколько в среднем, какое значение «типичное».

Таблицаточные значения, удобно считать

Столбиковая диаграммасравнение величин: высота столбика = значение

Круговая диаграммадоли от целого: весь круг = 100%

Как читать столбиковую диаграмму

Продажи за 5 дней. Значение столбика читаем по вертикальной шкале

Посмотреть, что по осям и какой шаг шкалы (здесь 5 единиц на линию).
Для каждого столбика провести мысленно горизонталь к шкале и записать значение.
Выписать все значения в строку — дальше обычный счёт.

Числовые характеристики

Пусть $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ — значения, $n$ — их количество.

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

среднее арифметическое: сумма значений, делённая на их количество

Характеристика	Как найти	По диаграмме выше
Сумма	сложить все значения	$12 + 20 + 8 + 25 + 15 = 80$
Среднее $\overset{x}{ˉ}$	сумма : количество	$80 : 5 = 16$
Медиана	упорядочить; среднее по счёту значение (при чётном $n$ — полусумма двух средних)	$8, 12, 15, 20, 25$ → $15$
Размах	наибольшее − наименьшее	$25 - 8 = 17$
Доля	часть : сумма всех, $\times 100%$	Вт: $\frac{20}{80} = 0, 25 = 25%$

Значения $14, 23, 21, 19, 21$ : сумма $98$ , среднее $98 : 5 = 19, 6$ . Если бы вышло $19, 666 \dots$ , то «до сотых» — $19, 67$ : смотрим на третью цифру после запятой ( $6 \geq 5$ — округляем вверх).

Долю считают от суммы всех значений, а не от соседнего столбика. И медиану ищут только в упорядоченном ряду, а не «в середине диаграммы».

Среднее или медиана?

Среднее чувствительно к выбросам: одно очень большое (или маленькое) значение тянет его за собой. Медиана устойчива, поэтому для «типичного» значения часто берут именно её.

Зарплаты: $30, 32, 35, 38, 300$ тыс. ₽. Среднее $= 435 : 5 = 87$ тыс. — ни у кого из пятерых такой зарплаты нет. Медиана $= 35$ тыс. — гораздо ближе к правде.

Медиана — «середина очереди по росту»: построили всех по порядку и взяли того, кто стоит ровно посередине.

Тема 10 · Вероятность и статистика

Случайный выбор

Потренироваться: задания по теме →

Классическая вероятность: благоприятные из всех Урна с шарами: с возвращением и без

Простыми словами

В коробке 10 конфет, 3 из них шоколадные. Не глядя берём одну. Шанс взять шоколадную — 3 из 10, то есть $0, 3$ . Случайный выбор означает, что у каждого предмета одинаковые шансы оказаться выбранным.

P (A) = \frac{m}{n}

вероятность при случайном выборе

Здесь $n$ — общее число предметов (всех равновозможных исходов), $m$ — число благоприятных предметов, то есть тех, при выборе которых событие $A$ наступает. Всегда $0 \leq P (A) \leq 1$ .

Алгоритм

Благоприятные предметы закрашены

Сосчитать все предметы — $n$ .
Сосчитать подходящие — $m$ .
Разделить: $P = m : n$ , записать десятичной дробью.

Из 100 билетов 74 выигрышных. Найдите вероятность вытянуть выигрышный билет.

$n = 100$ , $m = 74$ .
$P = \frac{74}{100} = 0, 74$ .

Из 50 деталей 3 бракованных. Найдите вероятность выбрать годную деталь.

Годных: $50 - 3 = 47$ .
$P = \frac{47}{50} = 0, 94$ .
Или через противоположное событие: $1 - \frac{3}{50} = 1 - 0, 06 = 0, 94$ .

Ловушки

Смотрите, о каком событии спрашивают. Дано число бракованных, а спрашивают про годные — сначала вычтите: $m = n - (брак)$ .

$n$ — это все предметы. Если сказано «12 красных и 8 синих шаров», то $n = 12 + 8 = 20$ , а не 8 и не 12.

В корзине 12 красных и 8 синих шаров. Найдите вероятность вытащить синий.

$n = 12 + 8 = 20$ , $m = 8$ .
$P = \frac{8}{20} = 0, 4$ .

Проверка здравым смыслом: если подходящих предметов больше половины — ответ больше $0, 5$ ; если меньше — меньше $0, 5$ .

Обратная задача

Из $P = \frac{m}{n}$ можно найти число благоприятных предметов: $m = P \cdot n$ .

Вероятность выбрать бракованную деталь $0, 84$ , деталей 25. Бракованных: $0, 84 \cdot 25 = 21$ .

Из 80 карточек берут одну. Вероятность взять заранее выбранный номер: $\frac{1}{80} = 0, 0125 \approx 0, 01$ (до сотых).

Вероятность и статистика: теория

Оглавление

Множества и операции над ними

Простыми словами

Операции над множествами

Сколько элементов в объединении

Подмножества и особые случаи

Дисперсия и стандартное отклонение

Простыми словами

Отклонения и дисперсия

Стандартное отклонение

Свойства

Диаграмма рассеивания

Простыми словами

Как читать диаграмму

Виды связи

Числа по диаграмме

Элементарные события

Простыми словами

Событие из элементарных

Равновозможные исходы

Противоположные события и сложение вероятностей

Простыми словами

Как решать

Сложение вероятностей

Ни одно из событий и полная группа

Правило умножения и деревья

Простыми словами

Дерево вариантов

Разберём задачи

Вероятности на дереве

Условная вероятность и независимость

Простыми словами

Правило умножения

Оба, ни одного, хотя бы одно

Зависимые события

Серия независимых опытов

Деревья

Простыми словами

Как выглядит дерево

Свойства дерева

Дерево эксперимента

Представление и анализ данных

Простыми словами

Как читать столбиковую диаграмму

Числовые характеристики

Среднее или медиана?

Случайный выбор

Простыми словами

Алгоритм

Ловушки

Обратная задача