Правило умножения и деревья — Вероятность и статистика, 8 класс

Число вариантов при последовательном выборе, дерево эксперимента. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

В столовой 5 супов и 2 вторых блюда. К каждому из 5 супов можно взять любое из 2 вторых — получается $5 \cdot 2 = 10$ разных обедов. Когда выбор идёт по шагам и шаги не зависят друг от друга, числа вариантов перемножают.

Если первый выбор можно сделать $a$ способами, а после него второй — $b$ способами, то пару выборов можно сделать $a \cdot b$ способами. Для $k$ шагов: $n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$ .

Дерево вариантов

Дерево показывает все исходы: от корня идут ветви первого шага, от каждой из них — ветви второго шага. Каждый путь от корня до листа — один вариант.

2 рубашки (Р) и 3 галстука (Г):

2 \cdot 3 = 6

листьев — 6 комплектов

Дерево нужно, чтобы понять задачу. Когда вариантов много, его не рисуют до конца, а считают листья умножением: число ветвей на каждом уровне.

Разберём задачи

В меню 5 первых блюд и 2 вторых. Сколько существует вариантов обеда из двух блюд (первое + второе)?

Шаг 1 — первое блюдо: 5 способов.
Шаг 2 — второе: 2 способа.
Всего: $5 \cdot 2 = 10$ .

Есть 4 рубашки и 6 галстуков. Сколько разных комплектов «рубашка + галстук»?

$4 \cdot 6 = 24$ комплекта.

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры могут повторяться? А если не могут?

С повторениями: на каждое из 3 мест — 4 цифры: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ .
Без повторений: $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ — на каждом следующем шаге вариантов на один меньше.

Не путайте умножение со сложением. «Обед из супа и второго» — умножаем. «Взять либо суп, либо второе (одно блюдо)» — складываем: $5 + 2 = 7$ .

Вероятности на дереве

Если на ветвях подписать вероятности, дерево помогает считать вероятность исхода:

Вероятности вдоль одного пути перемножают. Вероятности разных путей, ведущих к нужному событию, складывают.

Монету бросают дважды. Каждый путь (ОО, ОР, РО, РР) имеет вероятность $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . «Ровно один орёл» — пути ОР и РО: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Дерево вероятностей

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

В меню 5 первых блюд и 2 вторых. Сколько существует вариантов обеда из двух блюд?

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. Правило умножения: 5 · 2 = 10.

Есть 4 рубашек и 6 галстуков. Сколько разных комплектов можно составить?

Показать ответ

Ответ: 24
Решение. 4 · 6 = 24.

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1…8, если цифры могут повторяться?

Показать ответ

Ответ: 512
Решение. 8³ = 512.

Из города A в город B ведут 5 дороги, из B в C — 4. Сколько маршрутов из A в C через B?

Показать ответ

Ответ: 20
Решение. 5 · 4 = 20.

Сколько существует двузначных чисел, у которых обе цифры выбираются из набора 1…9?

Показать ответ

Ответ: 81
Решение. 9² = 81.

Кодовый замок состоит из 2 дисков по 5 цифры. Сколько существует комбинаций?

Показать ответ

Ответ: 25
Решение. 5² = 25.

Правило умножения применяют, когда выбор делается…

из одного и того же множества
только один раз
случайным образом
последовательно и независимо друг от друга

Показать ответ

Ответ: последовательно и независимо друг от друга
Решение. Число вариантов на каждом шаге перемножается.

Из 2 мальчиков и 4 девочек выбирают одного мальчика и одну девочку. Сколько способов?

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. 2 · 4 = 8.