Множества и операции над ними — Вероятность и статистика, 8 класс

Объединение, пересечение, подмножества, диаграммы Эйлера. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

В классе есть те, кто ходит на футбол, и те, кто ходит на шахматы. Некоторые ходят и туда, и туда. Каждая группа ребят — это множество, а вопросы «сколько всего занимается» и «сколько ходит в обе секции» — это операции над множествами.

Множество — набор объектов, которые называют его элементами. Запись $a \in A$ читают « $a$ принадлежит $A$ ».

Подмножество $B \subset A$ — часть множества: каждый элемент $B$ есть и в $A$ . Пустое множество $\emptyset$ не содержит ни одного элемента и является подмножеством любого множества.

Число элементов множества $A$ обозначают $∣ A ∣$ (или $n (A)$ ).

Операции над множествами

Диаграмма Эйлера: области «только

A

», «только

B

» и общая часть

A \cap B

Объединение $A \cup B$ Все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств (союз «или»).

Пересечение $A \cap B$ Только общие элементы — те, что есть в обоих (союз «и»).

Разность $A ∖ B$ Элементы

A

, которых нет в

B

(«только

A

»).

$A = {1, 2, 3, 4}$ , $B = {3, 4, 5}$ . Тогда $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $A \cap B = {3, 4}$ , $A ∖ B = {1, 2}$ .

Сколько элементов в объединении

∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣

формула включений и исключений

Здесь $∣ A ∣$ и $∣ B ∣$ — числа элементов множеств, $∣ A \cap B ∣$ — число общих элементов. Общие элементы при сложении $∣ A ∣ + ∣ B ∣$ посчитаны дважды, поэтому их вычитают один раз.

∣ A ∖ B ∣ = ∣ A ∣ - ∣ A \cap B ∣

сколько элементов «только в

A

В $A$ 8 элементов, в $B$ — 11, общих 6. Сколько элементов в $A \cup B$ ? Сколько только в $A$ ?

$∣ A \cup B ∣ = 8 + 11 - 6 = 13$ .
Только в $A$ : $8 - 6 = 2$ ; только в $B$ : $11 - 6 = 5$ .
Проверка: $2 + 6 + 5 = 13$ ✓

В $A$ 8 элементов, в $B$ — 20, в пересечении 2. Сколько элементов только в $A$ ?

Из 8 элементов $A$ два общие с $B$ .
Только в $A$ : $8 - 2 = 6$ .

Нельзя просто складывать $∣ A ∣ + ∣ B ∣$ , если множества пересекаются: общие элементы окажутся посчитаны дважды. И «только в $A$ » — это не $∣ A ∣$ , а $∣ A ∣ - ∣ A \cap B ∣$ .

Рисуйте два круга и заполняйте области с середины: сначала пересечение, потом «только $A$ » и «только $B$ ». Все ответы читаются с рисунка.

Подмножества и особые случаи

2^{n}

число всех подмножеств множества из

n

элементов (вместе с

\emptyset

и самим множеством)

У ${a, b}$ подмножества $\emptyset, {a}, {b}, {a, b}$ — их $2^{2} = 4$ . У множества из 4 элементов $2^{4} = 16$ подмножеств.

Случай	Пересечение	Объединение
$A$ и $\emptyset$	$A \cap \emptyset = \emptyset$ (0 элементов)	$A \cup \emptyset = A$
$B \subset A$	$A \cap B = B$	$A \cup B = A$

Если $A = B$ , то $A \cup B = A \cap B$ — поэтому объединение не всегда больше пересечения.

Ровно в одном из множеств: $∣ A ∣ + ∣ B ∣ - 2∣ A \cap B ∣$ . При $∣ A ∣ = 7$ , $∣ B ∣ = 11$ , общих 6: $7 + 11 - 12 = 6$ .

В классе 13 учеников, 9 занимаются спортом, 5 — музыкой, 1 — и тем и другим. Хотя бы чем-то заняты $9 + 5 - 1 = 13$ , значит, ничем не занимаются $13 - 13 = 0$ .

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Сколько элементов в пересечении множества A из 9 элементов и пустого множества?

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Пересечение с пустым множеством пусто.

Сколько элементов в объединении множества A из 8 элементов и пустого множества?

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Объединение с пустым множеством не меняет множество.

Множество B из 13 элементов — подмножество множества A из 20 элементов. Сколько элементов в пересечении A ∩ B?

Показать ответ

Ответ: 13
Решение. Все элементы B лежат в A, поэтому A ∩ B = B: 13 элементов.

Сколько подмножеств у множества из 4 элементов?

Показать ответ

Ответ: 16
Решение. 2 в степени числа элементов: 16.

Верно ли, что пустое множество является подмножеством любого множества?

да
нет

Показать ответ

Ответ: да
Решение. Это соглашение теории множеств, и оно удобно.

Что называют пересечением множеств?

множество общих элементов
множество всех элементов обоих множеств
разность множеств
множество, дополняющее до целого

Показать ответ

Ответ: множество общих элементов
Решение. Объединение — все элементы, пересечение — только общие.

Верно ли, что A ∪ B всегда содержит больше элементов, чем A ∩ B?

да, всегда
нет, они могут совпадать

Показать ответ

Ответ: нет, они могут совпадать
Решение. Если множества равны, объединение и пересечение совпадают.