Учебник reknow · 8 класс

ВПР: математика: теория

13 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:4 5 6 7 8 Математика по всем классам →

Задание 1 ВПР: числа и вычисления
Задание 2 ВПР: алгебраические дроби
Задание 3 ВПР: квадратное уравнение
Задание 4 ВПР: линейные неравенства
Задание 5 ВПР: функции и графики
Задание 6 ВПР: квадратные корни
Задание 7 ВПР: алгебраические выражения
Задание 10 ВПР: углы и треугольники
Задание 11 ВПР: четырёхугольники
Задание 12 ВПР: площади фигур
Задание 14 ВПР: вероятность события
Задание 15 ВПР: графики и диаграммы
Задание 16 ВПР: работа с данными

ВПР по математике, 8 класс · Часть 1

Задание 1 ВПР: числа и вычисления

Простыми словами

Умножить на $1 0^{2} = 100$ — значит передвинуть запятую на 2 знака вправо: $5, 6 \cdot 1 0^{2} = 560$ . Степени — это удобная запись больших и маленьких чисел и быстрый способ считать.

В задании 1 нужно найти значение числового выражения с дробями или степенями. Ответ — число (целое или десятичная дробь). Задание стоит 1 балл.

Свойства степеней

Правило	Пример
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$2^{3} : 2^{1} = 2^{2} = 4$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(3^{2})^{2} = 3^{4} = 81$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$2^{5} \cdot 5^{5} = 1 0^{5} = 100000$
$a^{0} = 1$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ ( $a \neq = 0$ )	$1 0^{- 2} = \frac{1}{100} = 0, 01$

Здесь $a$ — основание, $m, n$ — показатели. Свойства 1–3 работают только для одинаковых оснований.

Умножение на $1 0^{n}$ и стандартный вид

\cdot 1 0^{n}

— запятая вправо на

n

знаков,

\cdot 1 0^{- n}

(или

: 1 0^{n}

) — влево

Число записано в стандартном виде, если оно имеет вид $a \cdot 1 0^{n}$ , где $1 \leq a < 10$ , $n$ — целое. Например, $3400 = 3, 4 \cdot 1 0^{3}$ , $0, 0072 = 7, 2 \cdot 1 0^{- 3}$ .

Разберём задания

$2^{3} : 2^{1}$

$2^{3 - 1} = 2^{2} = 4$ .

$\frac{3 ^{7} \cdot 3 ^{2}}{3 ^{8}}$

$3^{7 + 2 - 8} = 3^{1} = 3$ .

$4, 2 \cdot 1 0^{- 2}$ — запишите десятичной дробью.

Запятая на 2 знака влево: $0, 042$ .

$(\frac{2}{3} - 1, 5) \cdot 6$

$1, 5 = \frac{3}{2}$ ; $\frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{4 - 9}{6} = - \frac{5}{6}$ .
$- \frac{5}{6} \cdot 6 = - 5$ .

Ловушки

$a^{- n}$ — не отрицательное число: $2^{- 3} = \frac{1}{8} = 0, 125$ , а не $- 8$ .

$(- 2)^{4} = 16$ , но $- 2^{4} = - 16$ : без скобок степень относится только к $2$ .

Если в выражении есть и обыкновенные, и десятичные дроби, переведите всё к одному виду. Неудобные дроби вроде $\frac{1}{3}$ лучше оставлять обыкновенными.

Нули в $1 0^{n}$ : у $1 0^{n}$ ровно $n$ нулей ( $1 0^{3} = 1000$ ). Сколько нулей — на столько знаков сдвигается запятая.

Дроби, проценты, знаки

$\frac{9}{4} - \frac{5}{3}$

Общий знаменатель — НОК $(4, 3) = 12$ .
$\frac{27}{12} - \frac{20}{12} = \frac{7}{12}$ . С целым числом: $\frac{11}{3} - 2 = \frac{11}{3} - \frac{6}{3} = \frac{5}{3}$ .

$p %$ от числа $a$ — это $a \cdot \frac{p}{100}$ : $12%$ от $450$ равно $450 \cdot 0, 12 = 54$ . Удобно: $1%$ — сотая часть ( $5%$ от $600$ : $6 \cdot 5 = 30$ ), $20%$ — пятая часть.

Сложение чисел с разными знаками: из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем: $- 9 + 8, 5 = - 0, 5$ , $- 3 + 3, 7 = 0, 7$ . С одинаковыми знаками модули складывают: $8 + 5, 5 = 13, 5$ .

ВПР по математике, 8 класс · Часть 1

Задание 2 ВПР: алгебраические дроби

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

$\frac{12}{18}$ сокращают, разложив числа на множители: $\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ . С буквами — то же самое: числитель и знаменатель раскладывают на множители и сокращают одинаковые скобки. После этого подставлять число гораздо проще.

В задании 2 нужно найти значение алгебраической дроби (или выражения с дробями) при данном значении переменной. Ответ — число. Задание стоит 1 балл.

Алгебраическая дробь — дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены, например $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ . Знаменатель не может равняться нулю: здесь $x \neq = 3$ .

Формулы для разложения

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

разность квадратов

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}, a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

квадрат суммы и квадрат разности

Вынесение общего множителя

x^{2} - 5 x = x (x - 5)

;

3 a + 6 = 3 (a + 2)

Сокращение

\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}

— сокращать можно только множители, а не слагаемые.

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}

при

x = 5

: три шага

Разберём задания

$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ при $x = 5$

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
$\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ .
$5 + 3 = 8$ .

$\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x + 2}$ при $x = 13$

$x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ .
$\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x + 2} = x + 2$ .
$13 + 2 = 15$ .

$\frac{a ^{2} - 5 a}{a ^{2} - 25}$ при $a = - 3$

$\frac{a ( a - 5 )}{( a - 5 ) ( a + 5 )} = \frac{a}{a + 5}$ .
$\frac{- 3}{- 3 + 5} = - \frac{3}{2} = - 1, 5$ .

$\frac{3}{x} + \frac{2}{x}$ при $x = 0, 5$

$\frac{5}{x} = \frac{5}{0 , 5} = 10$ .

Ловушки

Нельзя сокращать слагаемые: $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} \neq = \frac{x - 9}{1}$ и $\frac{x + 5}{5} \neq = x$ .

$(x + 2)^{2} \neq = x^{2} + 4$ : не забывайте удвоенное произведение $4 x$ .

Проверка: подставьте число и в исходную дробь, и в сокращённую. При $x = 5$ : $\frac{25 - 9}{2} = 8$ ✓. Если подстановка сразу простая — можно считать и без сокращения.

Умножение и сложение дробей с буквами

$\frac{7 a}{9 b} \cdot \frac{4 b}{3 a}$

Числители перемножаем с числителями, знаменатели — со знаменателями: $\frac{7 a \cdot 4 b}{9 b \cdot 3 a}$ .
Сокращаем $a$ и $b$ : $\frac{28}{27}$ . Ответ не зависит от переменных.

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ при $a = 4$ , $b = 3$ : $\frac{a + b}{ab} = \frac{7}{12}$ . Можно и сразу подставить: $\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 4}{12}$ .

Ответ записывают обыкновенной несократимой дробью или десятичной: $\frac{27}{14}$ не обращается в конечную десятичную дробь, поэтому её оставляют обыкновенной.

ВПР по математике, 8 класс · Часть 1

Задание 3 ВПР: квадратное уравнение

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Квадратное уравнение спрашивает: в каких точках парабола $y = a x^{2} + b x + c$ пересекает ось $x$ ? Таких точек бывает две, одна или ни одной — столько у уравнения и корней.

Квадратное уравнение — $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $a \neq = 0$ ; $a$ — старший коэффициент, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член.

В задании 3 нужно решить уравнение и записать больший или меньший корень. Задание стоит 1 балл.

Корни уравнения

x^{2} - 4 x = 0

— точки

0

4

, где парабола пересекает ось

x

Полное уравнение: дискриминант

D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

D

— дискриминант;

a, b, c

— коэффициенты уравнения

$D > 0$ Два разных корня.

$D = 0$ Один корень

x = - \frac{b}{2 a}

$D < 0$ Корней нет.

$x^{2} + 14 x + 48 = 0$ . Запишите меньший корень.

$a = 1$ , $b = 14$ , $c = 48$ ; $D = 196 - 192 = 4$ , $D = 2$ .
$x_{1} = \frac{- 14 - 2}{2} = - 8$ , $x_{2} = \frac{- 14 + 2}{2} = - 6$ .
Меньший корень: $- 8$ .

Если $x^{2} + p x + q = 0$ имеет корни $x_{1}, x_{2}$ , то $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} \cdot x_{2} = q$ . Для примера выше: $- 8 + (- 6) = - 14$ ✓, $(- 8) \cdot (- 6) = 48$ ✓ — корни можно угадать устно.

Неполные уравнения — быстрее без $D$

Вид	Как решать	Пример
$a x^{2} + b x = 0$ ( $c = 0$ )	Вынести $x$ : $x (a x + b) = 0$	$x^{2} - 4 x = 0 \Rightarrow x (x - 4) = 0$ , $x = 0$ или $x = 4$
$a x^{2} + c = 0$ ( $b = 0$ )	$x^{2} = - \frac{c}{a}$ ; если справа положительное — два корня $\pm$	$x^{2} - 49 = 0 \Rightarrow x = \pm 7$
$a x^{2} = 0$	Один корень	$5 x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Ловушки

Нельзя делить уравнение $x^{2} - 4 x = 0$ на $x$ — потеряется корень $x = 0$ .

$x^{2} = 49$ имеет два корня: $7$ и $- 7$ .

В $D = b^{2} - 4 a c$ при отрицательном $b$ : $(- 6)^{2} = 36$ , а не $- 36$ . Следите и за знаком $c$ .

Перед решением приведите уравнение к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ : всё перенесите в левую часть. И проверьте, какой корень просят — больший или меньший.

ВПР по математике, 8 класс · Часть 1

Задание 4 ВПР: линейные неравенства

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Уравнение ищет одно подходящее число, а неравенство — все подходящие числа сразу. «В лифт можно не больше 400 кг» — это неравенство $m \leq 400$ : подходит и 100 кг, и 399, и 400.

В задании 4 нужно решить неравенство и записать наименьшее или наибольшее целое решение. Задание стоит 1 балл.

Правила решения

1) Слагаемые переносят из одной части в другую с противоположным знаком — как в уравнении.

2) Обе части умножают или делят на положительное число — знак неравенства сохраняется.

3) Обе части умножают или делят на отрицательное число — знак неравенства меняется на противоположный: $< \leftrightarrow >$ , $\leq \leftrightarrow \geq$ .

Неравенство	Промежуток	Точка на прямой
$x > a$	$(a; + \infty)$	пустая (выколотая), $a$ не входит
$x \geq a$	$[a; + \infty)$	закрашенная, $a$ входит
$x < a$	$(- \infty; a)$	пустая
$x \leq a$	$(- \infty; a]$	закрашенная

Разберём задания

$8 x + 8 \geq - 19$ . Запишите наименьшее целое решение.

$8 x \geq - 19 - 8$ , $8 x \geq - 27$ .
Делим на $8 > 0$ , знак сохраняется: $x \geq - 3, 375$ .
Целые числа правее $- 3, 375$ : $- 3, - 2, - 1, \dots$ Наименьшее: $- 3$ .

Решение

x \geq - 3, 375

; первое целое число на луче —

- 3

$- 5 x - 15 > 1$ . Запишите наибольшее целое решение.

$- 5 x > 16$ .
Делим на $- 5 < 0$ — знак меняется: $x < - 3, 2$ .
Целые числа левее $- 3, 2$ : $- 4, - 5, \dots$ Наибольшее: $- 4$ .

$3 (x - 2) \leq x + 4$

$3 x - 6 \leq x + 4$ , $2 x \leq 10$ , $x \leq 5$ .
Ответ: $(- \infty; 5]$ , наибольшее целое решение $5$ .

Ловушки

Самая частая ошибка — забыть перевернуть знак при делении на отрицательное число.

Строгое неравенство не включает границу: если $x < 5$ , наибольшее целое решение $4$ , а не $5$ .

С отрицательными дробями легко ошибиться: «наименьшее целое при $x \geq - 3, 375$ » — это $- 3$ , а не $- 4$ ( $- 4 < - 3, 375$ , оно не подходит).

Рисуйте прямую: отметьте границу, заштрихуйте нужную сторону и найдите ближайшее целое внутри штриховки. Проверка — подставить найденное число в исходное неравенство.

ВПР по математике, 8 класс · Часть 1

Задание 5 ВПР: функции и графики

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Функция — правило, по которому каждому $x$ ставится в соответствие ровно одно $y$ . Такси: каждый километр — 30 ₽, посадка — 100 ₽. Проехали $x$ км — заплатили $y = 30 x + 100$ рублей. Это формула; нарисованная зависимость — график.

В задании 5 нужно найти значение функции при данном $x$ — по формуле или по графику. Задание стоит 1 балл.

Значение по формуле

Чтобы найти $y$ при данном $x$ , подставьте число вместо $x$ и вычислите. Отрицательное число — в скобках.

$y = 4 x + 7$ , $x = 6$ .

$y = 4 \cdot 6 + 7 = 31$ .

$y = - 2 x^{2} + 3$ , $x = - 3$ .

$y = - 2 \cdot (- 3)^{2} + 3 = - 2 \cdot 9 + 3 = - 15$ .

Линейная функция

y = k x + b

. График — прямая.

k

— угловой коэффициент (при

k > 0

прямая идёт вверх, при

k < 0

— вниз),

b

— точка пересечения с осью

y

Обратная пропорциональность

y = \frac{k}{x}

x \neq = 0

. График — гипербола. При

k > 0

ветви в I и III четвертях, при

k < 0

— во II и IV.

Значение по графику

Гипербола

y = \frac{6}{x}

и прямая

y = x - 1

; одна клетка — 1

Найдите на оси $x$ нужное значение (например, $x = 2$ ).
Поднимитесь вертикально до графика.
Проведите горизонталь до оси $y$ и прочитайте значение: $y = 3$ .

Гипербола $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $(2; 3)$ . Найдите $y$ при $x = 6$ .

$3 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 6$ .
$y = \frac{6}{6} = 1$ .

Где пересекаются $y = \frac{6}{x}$ и $y = x - 1$ ? По графику — в точке $(3; 2)$ . Проверка: $\frac{6}{3} = 2$ и $3 - 1 = 2$ ✓

Ловушки

Не путайте оси: по горизонтали $x$ (аргумент), по вертикали $y$ (значение функции). «Значение функции» — всегда $y$ .

Проверьте масштаб: одна клетка может означать $1$ , $2$ или $0, 5$ .

Если по графику значение читается неуверенно, найдите формулу по удобной точке (как $k = 6$ выше) и досчитайте.

Обратная задача и таблица

$y = 3 x + 5$ . При каком $x$ значение функции равно $26$ ?

Подставляем $y$ : $3 x + 5 = 26$ .
$3 x = 21$ , $x = 7$ . Проверка: $3 \cdot 7 + 5 = 26$ ✓

Для $y = k x$ коэффициент $k = \frac{y}{x}$ — частное соответствующих значений из любого столбца таблицы (где $x \neq = 0$ ). Если $x = 2$ , $y = - 12$ , то $k = - 6$ ; пропуск в таблице заполняют по формуле $y = k x$ .

ВПР по математике, 8 класс · Часть 1

Задание 6 ВПР: квадратные корни

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Площадь квадратного участка 49 м². Какова сторона? Нужно число, которое в квадрате даёт 49, — это $7$ . Такое число называют квадратным корнем: $49 = 7$ .

Арифметический квадратный корень из числа $a \geq 0$ — неотрицательное число $a$ , квадрат которого равен $a$ : $(a)^{2} = a$ , $a \geq 0$ . Корень из отрицательного числа не определён.

S

— сторона квадрата площади

S

В задании 6 нужно вычислить выражение с корнями или вынести множитель из-под корня. Задание стоит 1 балл.

Свойства корней

Свойство	Пример
$ab = a \cdot b$ ( $a, b \geq 0$ )	$4 \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6$
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ ( $a \geq 0$ , $b > 0$ )	$\frac{16}{25} = \frac{4}{5}$
$(a)^{2} = a$	$(7)^{2} = 7$
$a^{2} = ∣ a ∣$	$(- 5)^{2} = 5$

Полезно помнить квадраты: $1 1^{2} = 121$ , $1 2^{2} = 144$ , $1 3^{2} = 169$ , $1 4^{2} = 196$ , $1 5^{2} = 225$ , $1 6^{2} = 256$ , $1 7^{2} = 289$ , $1 8^{2} = 324$ , $1 9^{2} = 361$ , $2 0^{2} = 400$ .

Вынесение множителя из-под корня

a^{2} b = a b (a \geq 0, b \geq 0)

разложите подкоренное число так, чтобы один множитель был полным квадратом

$54 = k 6$ . Найдите $k$ .

$54 = 9 \cdot 6$ , а $9 = 3^{2}$ .
$54 = 9 \cdot 6 = 36$ . Ответ: $k = 3$ .

$72$

$72 = 36 \cdot 2$ : $72 = 62$ — берём наибольший квадрат-делитель.

$12 + 27$

$12 = 23$ , $27 = 33$ .
$23 + 33 = 53$ .

$4 + 9$ и $2 \cdot 18$

$4 + 9 = 2 + 3 = 5$ .
$2 \cdot 18 = 36 = 6$ .

Ловушки

Корень из суммы не равен сумме корней: $9 + 16 = 25 = 5$ , а $9 + 16 = 7$ .

$25 = 5$ , а не $\pm 5$ : арифметический корень неотрицателен. Два корня $\pm 5$ бывают у уравнения $x^{2} = 25$ .

Ищите в подкоренном числе делители $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ — начиная с самого большого.

Оценка корня

Чтобы понять, между какими целыми числами лежит $a$ , найдите два соседних квадрата: $n^{2} < a < (n + 1)^{2}$ , тогда $n < a < n + 1$ .

$128$ : $1 1^{2} = 121 < 128 < 144 = 1 2^{2}$ ⇒ $11 < 128 < 12$ . Меньшее целое (и целая часть) — $11$ .

Так же: $282$ — между $16$ ( $256$ ) и $17$ ( $289$ ); $54$ — между $7$ ( $49$ ) и $8$ ( $64$ ). Наибольшее целое число, меньшее корня, — это $n$ .

Число перед корнем умножают на значение корня: $6 \cdot 100 = 6 \cdot 10 = 60$ , $39 = 9$ .

ВПР по математике, 8 класс · Часть 1

Задание 7 ВПР: алгебраические выражения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Длинное выражение с буквами часто «схлопывается» в короткое: $(a + b)^{2} - (a - b)^{2}$ равно просто $4 ab$ . Сначала упрощаем — потом подставляем числа. Так быстрее и меньше ошибок.

В задании 7 выражение нужно упростить и найти его значение (иногда ответ вообще не зависит от переменной). Задание стоит 1 балл.

Формулы сокращённого умножения

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

квадрат суммы

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

квадрат разности

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

разность квадратов

Здесь $a$ и $b$ — любые числа или выражения: $(2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$ .

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

: в большом квадрате — два квадрата и два прямоугольника

ab

Разберём задания

$(a + b)^{2} - (a - b)^{2}$ при $a = 2$ , $b = 12$ .

$a^{2} + 2 ab + b^{2} - (a^{2} - 2 ab + b^{2}) = a^{2} + 2 ab + b^{2} - a^{2} + 2 ab - b^{2} = 4 ab$ .
$4 \cdot 2 \cdot 12 = 96$ .

$7 (2 x - 3) - 2 (7 x - 5)$ — ответ не зависит от $x$ .

$14 x - 21 - 14 x + 10$ .
$14 x - 14 x = 0$ , остаётся $- 21 + 10 = - 11$ .

$(x - 3) (x + 3) - x (x - 2)$ при $x = - 4$ .

$x^{2} - 9 - x^{2} + 2 x = 2 x - 9$ .
$2 \cdot (- 4) - 9 = - 17$ .

Ловушки

$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ — забыто удвоенное произведение $2 ab$ . Проверка: $(1 + 2)^{2} = 9$ , а $1^{2} + 2^{2} = 5$ .

Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых: $- (a - b)^{2} = - a^{2} + 2 ab - b^{2}$ . Удобно сначала раскрыть квадрат в скобках, а потом уже минус.

«Квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго» — проговаривайте формулу вслух, раскрывая скобку.

Разность квадратов чисел

Формула $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ помогает считать без столбика.

$6 0^{2} - 4 4^{2} = (60 - 44) (60 + 44) = 16 \cdot 104 = 1664$ . Так же $8 6^{2} - 7 0^{2} = 16 \cdot 156 = 2496$ .

Трёхчлен вида $x^{2} - 2 \cdot n \cdot x + n^{2}$ сворачивается в квадрат: $x^{2} - 28 x + 196 = (x - 14)^{2}$ , при $x = 15$ получаем $1^{2} = 1$ .

ВПР по математике, 8 класс · Часть 2

Задание 10 ВПР: углы и треугольники

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Вырежьте бумажный треугольник, оторвите три уголка и приложите их вершинами друг к другу — получится прямая линия. Значит, сумма углов любого треугольника — это развёрнутый угол, $18 0^{\circ}$ .

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

∠ A, ∠ B, ∠ C

— углы треугольника

В задании 10 нужно найти угол треугольника (иногда с параллельными прямыми). Ответ — число градусов. Задание стоит 1 балл.

Главные свойства

Углы при основании равны:

(18 0^{\circ} - 10 0^{\circ}) : 2 = 4 0^{\circ}

; внешний угол

14 0^{\circ} = 10 0^{\circ} + 4 0^{\circ}

РавнобедренныйБоковые стороны равны, углы при основании равны. Угол при основании

= \frac{18 0 ^{\circ} - угол при вершине}{2}

РавностороннийВсе углы по

6 0^{\circ}

ПрямоугольныйОдин угол

9 0^{\circ}

, сумма острых углов

9 0^{\circ}

. Катет против угла

3 0^{\circ}

равен половине гипотенузы.

Внешний уголСмежен с углом треугольника и равен сумме двух других углов:

18 0^{\circ}

минус соседний внутренний.

Разберём задания

Два угла треугольника $8 4^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ . Найдите третий.

$18 0^{\circ} - 8 4^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 6^{\circ}$ .

Угол при вершине равнобедренного треугольника $10 0^{\circ}$ . Найдите угол при основании.

$(18 0^{\circ} - 10 0^{\circ}) : 2 = 4 0^{\circ}$ .

Угол при основании равнобедренного треугольника $6 5^{\circ}$ . Найдите угол при вершине.

$18 0^{\circ} - 2 \cdot 6 5^{\circ} = 5 0^{\circ}$ .

Один острый угол прямоугольного треугольника $3 7^{\circ}$ . Найдите другой.

$9 0^{\circ} - 3 7^{\circ} = 5 3^{\circ}$ .

Углы при параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены секущей: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, односторонние в сумме дают $18 0^{\circ}$ .

В равнобедренном треугольнике сначала поймите, какой угол дан — при вершине или при основании. Угол при основании всегда острый: тупой угол может быть только при вершине.

Внешний угол — не «угол снаружи вообще», а угол, смежный с внутренним: вместе они дают $18 0^{\circ}$ .

Проверка ответа: сложите три угла — должно получиться ровно $18 0^{\circ}$ .

Теорема Пифагора

В задании 10 встречается и прямоугольный треугольник со сторонами.

c^{2} = a^{2} + b^{2}

a, b

— катеты,

c

— гипотенуза (против прямого угла)

Гипотенуза по катетам $9$ и $12$ : $c = 81 + 144 = 225 = 15$ .
Катет по гипотенузе $26$ и катету $10$ : $b = 676 - 100 = 576 = 24$ .

Пифагоровы тройки: $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ ; $20, 21, 29$ и кратные ( $6, 8, 10$ ; $12, 16, 20$ ; $10, 24, 26$ ). Узнав тройку, ответ можно написать сразу.

Катет ищут вычитанием квадратов, гипотенузу — сложением. Гипотенуза всегда длиннее каждого катета.

ВПР по математике, 8 класс · Часть 2

Задание 11 ВПР: четырёхугольники

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Параллелограмм — «перекошенный прямоугольник»: противоположные стороны всё так же параллельны и равны, но углы уже не прямые. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны, как у «сплющенного квадрата».

В задании 11 нужно найти угол или сторону четырёхугольника по его свойствам. Задание стоит 1 балл.

Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $36 0^{\circ}$ .

Свойства

Фигура	Стороны и углы	Диагонали
Параллелограмм	Противоположные стороны равны и параллельны; противоположные углы равны; соседние углы в сумме $18 0^{\circ}$	Точкой пересечения делятся пополам
Прямоугольник	Все углы $9 0^{\circ}$	Равны и делятся пополам
Ромб	Все стороны равны; противоположные углы равны	Перпендикулярны, делятся пополам, являются биссектрисами углов
Квадрат	Все стороны равны, все углы $9 0^{\circ}$	Равны, перпендикулярны, делятся пополам
Трапеция	Две стороны (основания) параллельны; углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме $18 0^{\circ}$	В равнобедренной трапеции диагонали равны

c^{2} = a^{2} + b^{2}

теорема Пифагора:

c

— гипотенуза,

a

b

— катеты прямоугольного треугольника

Ромб и его диагонали

Диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами — половинами диагоналей

Диагонали ромба равны $6$ и $8$ . Найдите сторону.

Половины диагоналей: $3$ и $4$ — это катеты.
Сторона — гипотенуза: $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

Разберём задания на углы

Один из углов параллелограмма $14 8^{\circ}$ . Найдите острый угол.

Соседние углы в сумме $18 0^{\circ}$ : $18 0^{\circ} - 14 8^{\circ} = 3 2^{\circ}$ .

Сумма двух углов параллелограмма $10 0^{\circ}$ . Найдите больший угол.

Сумма $10 0^{\circ} \neq = 18 0^{\circ}$ , значит, это противоположные (равные) углы: по $5 0^{\circ}$ .
Больший угол: $18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ .

Угол ромба $6 0^{\circ}$ , сторона $7$ . Найдите меньшую диагональ.

Меньшая диагональ отсекает треугольник с двумя сторонами $7$ и углом $6 0^{\circ}$ между ними — он равносторонний.
Меньшая диагональ $= 7$ .

Угол при основании трапеции $7 0^{\circ}$ . Найдите угол при той же боковой стороне.

$18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ .

Ловушки

Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние в сумме дают $18 0^{\circ}$ — не путайте.

В теорему Пифагора для ромба подставляют половины диагоналей, а не целые.

Египетский треугольник $3, 4, 5$ (и кратные: $6, 8, 10$ ; $5, 12, 13$ — тоже пифагорова тройка) встречается в задачах постоянно — узнавайте его сразу.

Средняя линия трапеции и периметр

m = \frac{a + b}{2}

m

— средняя линия (соединяет середины боковых сторон),

a

b

— основания

Основания $34$ и $56$ : $m = \frac{90}{2} = 45$ .

Периметр параллелограмма — удвоенная сумма смежных сторон: $P = 2 (a + b)$ ; при сторонах $22$ и $17$ $P = 78$ .

ВПР по математике, 8 класс · Часть 2

Задание 12 ВПР: площади фигур

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Параллелограмм можно разрезать и переложить кусок так, что получится прямоугольник с тем же основанием и той же высотой. Поэтому его площадь — «основание на высоту». Почти все формулы площадей получаются такими перекладываниями.

В задании 12 площадь находят по рисунку на клетчатой бумаге (сторона клетки 1) или по формуле из данных задачи. Задание стоит 1 балл.

Формулы площадей

Фигура	Формула	Что означают буквы
Прямоугольник	$S = ab$	$a, b$ — соседние стороны
Квадрат	$S = a^{2}$	$a$ — сторона
Параллелограмм	$S = ah$	$a$ — сторона, $h$ — высота к ней
Треугольник	$S = \frac{1}{2} ah$	$a$ — сторона, $h$ — высота к ней
Прямоугольный треугольник	$S = \frac{1}{2} ab$	$a, b$ — катеты
Трапеция	$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$	$a, b$ — основания, $h$ — высота
Ромб	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$	$d_{1}, d_{2}$ — диагонали

S = \frac{9 + 3}{2} \cdot 4 = 24

— длины оснований и высоты считаем по клеткам

Разберём задания

Треугольник: горизонтальная сторона — 4 клетки, вершина на 3 клетки выше неё.

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ .

Основания трапеции $8$ и $6$ , высота $6$ .

$S = \frac{8 + 6}{2} \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42$ .

Диагонали ромба $10$ и $12$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ .

Сторона параллелограмма $9$ , высота к ней $5$ .

$S = 9 \cdot 5 = 45$ .

Если стороны фигуры на клетках идут наискосок, достройте её до прямоугольника по линиям сетки и вычтите площади лишних прямоугольных треугольников.

Ловушки

Высота — это перпендикуляр, а не боковая сторона. В параллелограмме со сторонами $9$ и $5$ площадь не $45$ , если угол не прямой.

В формуле треугольника не забудьте $\frac{1}{2}$ ; в формуле трапеции — полусумму оснований.

Площадь треугольника — половина параллелограмма с той же стороной и высотой, площадь ромба — половина прямоугольника, построенного на его диагоналях.

ВПР по математике, 8 класс · Часть 2

Задание 14 ВПР: вероятность события

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

В мешке 16 одинаковых на ощупь шаров, 6 из них красные. Вытаскиваем один наугад. Шансы достать красный — «6 из 16». Это и есть вероятность: $\frac{6}{16} = 0, 375$ .

P (A) = \frac{m}{n}

P (A)

— вероятность события

A

m

— число благоприятных исходов,

n

— число всех равновозможных исходов

В задании 14 нужно найти вероятность события или противоположного ему. Ответ — число от $0$ до $1$ , обычно десятичная дробь. Задание стоит 1 балл.

Как устроена формула

Благоприятные исходы (закрашены) делим на все исходы

Поймите, что такое один исход (вынутый шар, выпавшая грань, выбранный билет) и сколько их всего — это $n$ .
Посчитайте, сколько исходов подходят под событие — это $m$ .
Разделите $m$ на $n$ .

Событие $\overset{ˉ}{A}$ («не $A$ ») происходит, когда не происходит $A$ . $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ .

$P = 0$ Невозможное событие (на кубике выпало 7).

$0 < P < 1$ Случайное событие.

$P = 1$ Достоверное событие (на кубике выпало число меньше 7).

Разберём задания

В опыте 16 равновозможных исходов, событию $A$ благоприятны 6. Найдите $P (A)$ .

$P (A) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0, 375$ .

$P (A) = 0, 75$ . Найдите вероятность противоположного события.

$1 - 0, 75 = 0, 25$ .

Бросают игральный кубик. Найдите вероятность, что выпадет чётное число.

Всего исходов $n = 6$ . Чётные: $2, 4, 6$ — $m = 3$ .
$P = \frac{3}{6} = 0, 5$ .

В лотерее 200 билетов, выигрышных 12. Найдите вероятность не выиграть.

Невыигрышных $200 - 12 = 188$ .
$P = \frac{188}{200} = 0, 94$ . Или: $1 - \frac{12}{200} = 1 - 0, 06 = 0, 94$ .

Монету бросают дважды. Найдите вероятность, что орёл выпадет ровно один раз.

Все исходы: ОО, ОР, РО, РР — $n = 4$ .
Подходят ОР и РО — $m = 2$ . $P = \frac{2}{4} = 0, 5$ .

Ловушки

Вероятность не бывает больше $1$ и меньше $0$ . Получилось $1, 6$ — вы перепутали $m$ и $n$ .

Если вопрос «не выиграет», «не будет красным», «не попадёт» — найдите сначала вероятность обратного события и вычтите её из $1$ .

Исходы ОР и РО — разные: при двух бросках исходов $4$ , а не $3$ .

Ответ записывайте десятичной дробью: $\frac{3}{8} = 0, 375$ . Удобно домножить знаменатель до $10, 100, 1000$ .

Элементарные события, несовместные события, правило умножения

Элементарное событие — исход опыта, который нельзя разложить на более мелкие. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна $1$ . Если их $n$ и они равновозможны, у каждого вероятность $\frac{1}{n}$ ( $n = 100$ ⇒ $0, 01$ ; вероятность $0, 125$ ⇒ $n = 8$ ).
Событию $A$ благоприятны $4$ исхода из $10$ ⇒ противоположному $\overset{ˉ}{A}$ — остальные $6$ . События $A$ и $\overset{ˉ}{A}$ несовместны и вместе покрывают весь опыт: $P (A) + P (\overset{ˉ}{A}) = 1$ .
Несовместные события не могут произойти одновременно. Только для них $P (A или B) = P (A) + P (B)$ : $0, 4 + 0, 4 = 0, 8$ . Вероятность, что не произойдёт ни одно: $1 - 0, 6 - 0, 35 = 0, 05$ . Сумма вероятностей несовместных событий не превышает $1$ .
«Ни одного» — противоположное к «хотя бы один»: $1 - 0, 2 = 0, 8$ .

Если первый выбор можно сделать $m$ способами, а второй (независимо) — $n$ способами, то пару выборов можно сделать $m \cdot n$ способами. 5 рубашек и 6 галстуков — $30$ комплектов; 4 дороги и 2 дороги — $8$ маршрутов; дерево с 3 ветвями и по 4 на втором уровне — $12$ исходов.

Монету бросают 4 раза: $2^{4} = 16$ исходов. Трёхзначные числа из цифр 1–5 с повторениями: $5^{3} = 125$ . Кодовый замок из 2 дисков по 6 цифр: $36$ .
Складывать варианты вместо умножения — ошибка: 4 и 6 вариантов дают $24$ пары, а не $10$ .

ВПР по математике, 8 класс · Часть 2

Задание 15 ВПР: графики и диаграммы

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Диаграмма показывает числа картинкой: сразу видно, где больше, а где меньше. Но точное число читают по шкале — как по линейке.

В задании 15 по диаграмме или графику нужно найти значение, наибольшее (наименьшее) значение или на сколько одно больше другого. Задание стоит 1 балл.

Читаем столбчатую диаграмму

Шкала: одна линия сетки — 5 единиц; столбик «Чт» заканчивается посередине между 25 и 30

Определите цену деления шкалы: $(10 - 5) : 1 = 5$ единиц на линию.
Посмотрите, где кончается столбик. Если между линиями — оцените долю: половина промежутка $= 2, 5$ .
Для разности найдите оба значения и вычтите: Пн − Пт $= 30 - 20 = 10$ .

Другие виды диаграмм

Линейная (график)Точки соединены линией — удобно видеть рост и спад. Наибольшее значение — самая высокая точка.

КруговаяПоказывает доли целого. Весь круг

= 100%

, половина

= 50%

, четверть (прямой угол)

= 25%

Сгруппированные столбикиДве серии (например, 2023 и 2024 год) рядом — смотрите легенду, какой цвет к чему относится.

На круговой диаграмме сектор «Спорт» занимает четверть круга, всего опрошено 120 человек. Сколько выбрали спорт?

$120 \cdot \frac{1}{4} = 30$ человек.

По диаграмме выше: в какой день значение было наибольшим и на сколько оно больше наименьшего?

Наибольшее — $30$ (Пн), наименьшее — $15$ (Ср).
Разность: $30 - 15 = 15$ .

Ловушки

Ось значений может начинаться не с нуля. Тогда высота столбика «на глаз» обманывает: сравнивайте только по шкале.

«На сколько больше» — разность, «во сколько раз» — частное, «сколько процентов» — доля, умноженная на $100%$ .

Положите лист бумаги горизонтально по верху столбика и доведите до шкалы — так значение читается точнее.

ВПР по математике, 8 класс · Часть 2

Задание 16 ВПР: работа с данными

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Таблица или диаграмма — это сырьё, а вопрос — рецепт: «сложить всё», «найти разброс», «найти среднее». Сначала аккуратно выписываем нужные числа, потом выполняем одно-два действия.

В задании 16 нужно извлечь информацию из таблицы или диаграммы и посчитать характеристику. Задание оценивается до 2 баллов.

Что могут спросить

Характеристика	Как найти
Сумма	Сложить все значения
Размах	$R = x_{m a x} - x_{m i n}$ — наибольшее минус наименьшее
Среднее арифметическое	$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}$ — сумма, делённая на количество $n$
Медиана	Упорядочить; взять среднее число (при чётном $n$ — полусумму двух средних)
Доля, процент	$\frac{часть}{целое} \cdot 100%$

Разбор по таблице

Город	А	Б	В	Г	Д
Осадки, мм	18	92	45	60	45

Размах: $92 - 18 = 74$ мм.
Сумма: $18 + 92 + 45 + 60 + 45 = 260$ мм.
Среднее: $260 : 5 = 52$ мм.
Медиана: упорядочим $18, 45, 45, 60, 92$ — в середине $45$ мм.
Доля города Б в сумме: $\frac{92}{260} \cdot 100% \approx 35, 4%$ .

Размах — «расстояние» между самым высоким и самым низким столбиком

Таблица частот

Иногда в таблице не сами значения, а сколько раз каждое встретилось:

Оценка	2	3	4	5
Число учеников	1	6	9	4

Всего учеников: $1 + 6 + 9 + 4 = 20$ .
Сумма оценок: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 4 = 2 + 18 + 36 + 20 = 76$ .
Средний балл: $76 : 20 = 3, 8$ .

Ловушки

В таблице частот среднее — не $\frac{2 + 3 + 4 + 5}{4}$ : каждое значение надо умножить на его частоту.

Проверьте единицы в заголовке таблицы («тыс.», «%», «мм») и отвечайте в тех же единицах.

Выпишите нужные числа из таблицы в строчку и упорядочьте их — тогда максимум, минимум, размах и медиана видны сразу.

Диаграмма рассеивания

Диаграмма рассеивания — точки на плоскости, каждая точка — пара значений двух величин (по горизонтали — одна, по вертикали — другая). Число точек равно числу пар. Её строят, чтобы увидеть связь между величинами.

Прямая связьточки идут снизу вверх слева направо: с ростом одной величины растёт другая.

Обратная связьточки идут сверху вниз: одна растёт, другая убывает.

Нет связиточки разбросаны без закономерности.

По точкам находят наибольшее и наименьшее значение по нужной оси, размах, сумму и среднее — как для обычного набора чисел.

Точки диаграммы рассеивания не соединяют ломаной: они не упорядочены во времени. И связь не доказывает, что одна величина — причина другой. Медиана не обязана равняться среднему арифметическому.

Для сравнения величин по категориям удобнее столбиковая диаграмма; доля категории считается от суммы всех значений: $\frac{7}{сумма} \cdot 100%$ .

ВПР: математика: теория

Оглавление

Задание 1 ВПР: числа и вычисления

Простыми словами

Свойства степеней

Умножение на 10n и стандартный вид

Разберём задания

Ловушки

Дроби, проценты, знаки

Задание 2 ВПР: алгебраические дроби

Простыми словами

Формулы для разложения

Разберём задания

Ловушки

Умножение и сложение дробей с буквами

Задание 3 ВПР: квадратное уравнение

Простыми словами

Полное уравнение: дискриминант

Неполные уравнения — быстрее без D

Ловушки

Задание 4 ВПР: линейные неравенства

Простыми словами

Правила решения

Разберём задания

Ловушки

Задание 5 ВПР: функции и графики

Простыми словами

Значение по формуле

Значение по графику

Ловушки

Обратная задача и таблица

Задание 6 ВПР: квадратные корни

Простыми словами

Свойства корней

Вынесение множителя из-под корня

Ловушки

Оценка корня

Задание 7 ВПР: алгебраические выражения

Простыми словами

Формулы сокращённого умножения

Разберём задания

Ловушки

Разность квадратов чисел

Задание 10 ВПР: углы и треугольники

Простыми словами

Главные свойства

Разберём задания

Углы при параллельных прямых

Теорема Пифагора

Задание 11 ВПР: четырёхугольники

Простыми словами

Свойства

Ромб и его диагонали

Разберём задания на углы

Ловушки

Средняя линия трапеции и периметр

Задание 12 ВПР: площади фигур

Простыми словами

Формулы площадей

Разберём задания

Ловушки

Задание 14 ВПР: вероятность события

Простыми словами

Как устроена формула

Разберём задания

Ловушки

Элементарные события, несовместные события, правило умножения

Задание 15 ВПР: графики и диаграммы

Простыми словами

Читаем столбчатую диаграмму

Другие виды диаграмм

Ловушки

Задание 16 ВПР: работа с данными

Простыми словами

Что могут спросить

Разбор по таблице

Таблица частот

Ловушки

Диаграмма рассеивания

Умножение на $1 0^{n}$ и стандартный вид

Неполные уравнения — быстрее без $D$