Учебник reknow · 6 класс

ВПР: математика: теория

11 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:4 5 6 7 8 Математика по всем классам →

Действия с целыми числами и дробями
Значение числового выражения и свойства действий
Нахождение части от величины и величины по её части
Таблицы и диаграммы: чтение и интерпретация данных
Отношения, пропорции и проценты
Значение буквенного выражения и модуль числа
Координатная прямая и сравнение рациональных чисел
Нахождение неизвестного компонента. Уравнения
Многошаговые текстовые задачи
Истинные и ложные утверждения
Задание 11 ВПР: симметрия фигур

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Действия с целыми числами и дробями

Простыми словами

На карте было 4 ₽, а потратили 22 ₽ — получился долг 18 ₽, то есть $4 + (- 22) = - 18$ . Отрицательные числа — это «долги», «мороз», «ниже нуля». С ними действуют по простым правилам знаков.

Вычислить значение выражения с целыми числами, обыкновенными или десятичными дробями. Ответ — число, 1 балл.

Сложение и вычитание целых чисел

4 + (- 22)

: от точки

4

идём на

22

влево и попадаем в

- 18

Знаки одинаковыеСкладываем модули, ставим общий знак:

- 8 + (- 30) = - 38

Знаки разныеИз большего модуля вычитаем меньший, ставим знак числа с большим модулем:

29 + (- 30) = - 1

ВычитаниеЗаменяем сложением с противоположным:

5 - (- 3) = 5 + 3 = 8

Умножение и деление

(+) \cdot (+) = (+), (-) \cdot (-) = (+), (+) \cdot (-) = (-)

для деления — те же правила

$11 \cdot (- 6)$ : знаки разные → минус; $11 \cdot 6 = 66$ ; ответ $- 66$ .
$(- 12) \cdot (- 5)$ : знаки одинаковые → плюс; ответ $60$ .
$(- 48) : 6 = - 8$ .

«Друг моего друга — мой друг, враг моего врага — мой друг» — одинаковые знаки дают плюс; «друг моего врага — враг» — разные знаки дают минус.

Дроби с разными знаменателями

Найти общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей.
Привести дроби: умножить числитель и знаменатель на дополнительный множитель.
Сложить (вычесть) числители, знаменатель оставить.
Сократить результат, если можно.

$\frac{1}{8} + \frac{9}{12}$

НОК $(8, 12) = 24$ . Дополнительные множители: $24 : 8 = 3$ , $24 : 12 = 2$ .
$\frac{1}{8} = \frac{3}{24}$ , $\frac{9}{12} = \frac{18}{24}$ .
$\frac{3}{24} + \frac{18}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$ (сократили на $3$ ).

Десятичные дроби складывают «запятая под запятой»: $2, 75 + 0, 5 = 3, 25$ ; умножают как натуральные числа и отделяют запятой столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях: $1, 2 \cdot 0, 3 = 0, 36$ .

Нельзя складывать знаменатели: $\frac{1}{4} + \frac{6}{10} \neq = \frac{7}{14}$ . Правильно: $\frac{5}{20} + \frac{12}{20} = \frac{17}{20}$ .

Минус перед скобкой: $- 8 + (- 30)$ — это $- 38$ , а не $22$ .

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Значение числового выражения и свойства действий

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

8 коробок по 19 карандашей минус 5 таких же коробок — это просто 3 коробки: $3 \cdot 19 = 57$ . Не нужно считать $152 - 95$ . Свойства действий позволяют находить такие короткие пути.

Найти значение выражения, удачно применив свойства действий: вынести общий множитель, перемножить и сократить дроби, вычислить квадраты, привести подобные слагаемые. 2 балла.

Распределительное свойство

a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c, a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c

общий множитель

c

выносим за скобки

8 \cdot 19 - 5 \cdot 19 = (8 - 5) \cdot 19 = 3 \cdot 19 = 57

$2 \cdot 26 - 2 \cdot 26 = (2 - 2) \cdot 26 = 0 \cdot 26 = 0$ — сразу видно, без вычислений.

Умножение дробей

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{15}$ .
$\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$ — сократили на $2$ .
$\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{6} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ .

Сокращайте до умножения: $\frac{4}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ — числа меньше, ошибок меньше.

Квадраты и подобные слагаемые

Квадрат числа — произведение числа на себя: $a^{2} = a \cdot a$ . Степень вычисляется раньше умножения и сложения.

$6^{2} - 4^{2} = 36 - 16 = 20$ .

Подобные слагаемые — слагаемые с одной и той же буквенной частью ( $- 3 x$ и $- 6 x$ ). Их складывают, складывая коэффициенты.

Упростите $- 3 x - 6 x - 1$ и найдите значение при $x = 9$ .

$- 3 x - 6 x = (- 3 - 6) x = - 9 x$ , выражение: $- 9 x - 1$ .
Подставляем: $- 9 \cdot 9 - 1 = - 81 - 1 = - 82$ .
Ответ: $- 82$ .

$6^{2} - 4^{2} \neq = (6 - 4)^{2}$ : слева $20$ , справа $4$ . Сначала возводим в квадрат каждое число, потом вычитаем.

При подстановке отрицательного числа берите его в скобки: $- 10 \cdot (- 12) = 120$ , а не $- 10 - 12$ .

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Нахождение части от величины и величины по её части

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Задачи на доли бывают двух видов. «Съели $\frac{5}{8}$ пиццы весом 800 г — сколько граммов съели?» — известно целое, ищем часть. «Съели 500 г, а это $\frac{5}{8}$ пиццы — сколько весила пицца?» — известна часть, ищем целое.

Найти дробь от величины или величину по её дроби. Ответ — число, 1 балл.

Часть от целого

\frac{a}{b} от N = N : b \cdot a

N

— целое,

b

— знаменатель (на сколько долей делим),

a

— числитель (сколько долей берём)

Найдите $\frac{5}{8}$ от $80$ рублей.

Одна восьмая: $80 : 8 = 10$ (р.).
Пять восьмых: $10 \cdot 5 = 50$ (р.).
Ответ: $50$ .

То же самое — умножение на дробь: $80 \cdot \frac{5}{8} = \frac{80 \cdot 5}{8} = 50$ .

Целое по его части

N = M : a \cdot b

M

— известная часть, равная

\frac{a}{b}

целого;

N

— всё целое

\frac{2}{12}

величины — это

58

; одна доля

58 : 2 = 29

; всё —

29 \cdot 12 = 348

$\frac{2}{12}$ величины составляют $58$ кг. Найдите всю величину.

Две доли — $58$ кг, одна доля: $58 : 2 = 29$ (кг).
Всего долей $12$ : $29 \cdot 12 = 348$ (кг).
Ответ: $348$ .

$\frac{8}{9}$ величины составляют $184$ минуты. Найдите всю величину.

Одна девятая: $184 : 8 = 23$ .
Всё: $23 \cdot 9 = 207$ (мин).

Как не перепутать

Что известно	Что ищем	Действия
Целое $N$	Часть $\frac{a}{b}$	$N : b \cdot a$ — ответ меньше $N$
Часть $M$	Целое	$M : a \cdot b$ — ответ больше $M$

Ищем целое, а делаем «как для части»: $58 : 12 \cdot 2$ — получится меньше 58, а целое должно быть больше своей части. Проверяйте ответ на здравый смысл.

В обоих случаях первый шаг — найти одну долю. Дальше — умножить на нужное число долей.

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Таблицы и диаграммы: чтение и интерпретация данных

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Данные — это числа «из жизни»: температура в городах, продажи по месяцам, доли товаров. Таблица хранит их точно, столбчатая диаграмма помогает сравнить, круговая — показать, какую часть целого занимает каждая доля.

Найти нужные данные и ответить: где показатель наибольший, сколько всего, на сколько больше, какую часть (в процентах) составляет значение. 1 балл.

Таблица

Город	Омск	Сочи	Орёл	Брянск
Показатель	610	793	656	702

Где показатель наибольший? Сравниваем все числа: наибольшее — $793$ . В ответ пишем название: Сочи.
Сколько всего? Складываем все значения: $610 + 793 + 656 + 702 = 2761$ .

Читайте, в каком виде нужен ответ: если спрашивают «в каком городе», пишем город, а не число.

Столбчатая диаграмма

Значение столбика определяют по шкале: от его верха ведут горизонталь к оси. Важно понять цену деления — сколько единиц между соседними отметками (например, 50).

Продано ручек $230$ , линеек $170$ . На сколько больше продано ручек, чем линеек?

«На сколько больше» — вычитаем: $230 - 170 = 60$ .

Круговая диаграмма и доля

Чем больше доля, тем больше сектор:

\frac{20}{45} \approx 44%

\frac{15}{45} \approx 33%

\frac{10}{45} \approx 22%

доля = \frac{часть}{всё} \cdot 100%

какой процент целого составляет часть

Какую часть от всего составляет наименьшая доля (линейки)?

Всего: $20 + 15 + 10 = 45$ .
$\frac{10}{45} \cdot 100% \approx 22%$ .

Половина круга — $50%$ , четверть (прямой угол в центре) — $25%$ , весь круг — $100%$ . По виду сектора можно прикинуть ответ и проверить расчёт.

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Отношения, пропорции и проценты

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Скидка 15% — это 15 ₽ с каждых 100 ₽ цены (или 15 копеек с каждого рубля). Процент — «сотая часть», а пропорция — равенство двух отношений, как в рецепте: на 2 яйца — 1 стакан муки, на 4 яйца — 2 стакана.

Найти процент от числа, число по его проценту или решить пропорцию. Ответ — число, 1 балл.

Процент от числа

Процент — сотая часть числа: $1% = \frac{1}{100} = 0, 01$ .

Вся полоса — 100%

= 180

; 15% от 180 — это

27

p % от N = \frac{N \cdot p}{100}

N

— число (100%),

p

— сколько процентов нужно найти

Найдите $15%$ от $180$ .

$180 \cdot 15 = 2700$ .
$2700 : 100 = 27$ . Ответ: $27$ .

Число по его проценту

N = \frac{M \cdot 100}{p}

M

— известная часть, составляющая

p %

числа

N

$20%$ некоторого числа равны $50$ . Найдите число.

$1%$ : $50 : 20 = 2, 5$ .
$100%$ : $2, 5 \cdot 100 = 250$ . Ответ: $250$ .

50%половина числа

25%четверть числа

10%десятая часть

20%пятая часть

Поэтому « $50%$ числа равны $40$ » — число равно $40 \cdot 2 = 80$ .

Пропорция

Отношение $a : b$ — частное двух чисел. Пропорция — равенство двух отношений: $a : b = c : d$ . Числа $a$ и $d$ — крайние члены, $b$ и $c$ — средние.

a : b = c : d ⟺ a \cdot d = b \cdot c

основное свойство: произведение крайних равно произведению средних

Решите пропорцию $20 : 27 = 120 : x$ .

Крайние: $20$ и $x$ ; средние: $27$ и $120$ .
$20 \cdot x = 27 \cdot 120 = 3240$ .
$x = 3240 : 20 = 162$ . Ответ: $162$ .

Заметим, что $120 = 20 \cdot 6$ — значит, и $x = 27 \cdot 6 = 162$ . Если второе отношение «в несколько раз больше» первого, достаточно умножить.

Путают крайние и средние члены. Проверяйте подстановкой: $20 : 27$ и $120 : 162$ — оба отношения сокращаются до $\frac{20}{27}$ ✓.

Деление в данном отношении

Разделить число в отношении $a : b$ — значит разбить его на две части, в одной из которых $a$ равных долей, в другой — $b$ таких же долей.

Всего долей: $a + b$ .
Одна доля: число $: (a + b)$ .
Первая часть — $a$ долей, вторая — $b$ долей.

Разделите $136$ в отношении $5 : 3$ . Запишите первую часть.

Долей: $5 + 3 = 8$ ; одна доля: $136 : 8 = 17$ .
Первая часть: $17 \cdot 5 = 85$ (вторая: $17 \cdot 3 = 51$ ; $85 + 51 = 136$ ✓).
Ответ: $85$ .

Делить нужно на сумму долей ( $8$ ), а не на $5$ или $3$ .

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Значение буквенного выражения и модуль числа

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Буквенное выражение — это «формула-заготовка»: $2 a - b$ . Вместо букв подставляют числа и считают. Модуль — расстояние от числа до нуля: и до $- 3$ , и до $3$ от нуля три шага, поэтому $∣ - 3∣ = ∣3∣ = 3$ .

Найти значение выражения при данных значениях переменных или модуль числа (выражения). Ответ — число, 1 балл.

Модуль числа

∣ - 3∣ = 3

∣3∣ = 3

: обе точки на расстоянии 3 от нуля

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

модуль положительного числа и нуля — само число, отрицательного — противоположное число

$∣49∣ = 49$ , $∣0∣ = 0$ , $∣ - 28∣ = 28$ .
$∣ x ∣ + ∣ y ∣$ при $x = - 28$ , $y = - 12$ : $28 + 12 = 40$ .

Модуль никогда не бывает отрицательным. Но минус перед модулем остаётся: $- ∣ - 5∣ = - 5$ .

Подстановка в выражение

Перепишите выражение, заменив буквы числами. Отрицательные числа — в скобках.
Между числом и скобкой — знак умножения: $2 a$ при $a = 9$ — это $2 \cdot 9$ .
Считайте по порядку действий и по правилам знаков.

$2 a - b$ при $a = 9$ , $b = - 1$ .

$2 \cdot 9 - (- 1)$ .
$18 + 1 = 19$ . Ответ: $19$ .

$3 a - b$ при $a = 3$ , $b = - 3$ .

$3 \cdot 3 - (- 3) = 9 + 3 = 12$ .

$∣6 m ∣$ при $m = 17$ .

$6 \cdot 17 = 102$ , $∣102∣ = 102$ .

Частые ошибки

Подставили без скобок: $2 a - b$ при $b = - 1$ записали $18 - 1 = 17$ . Правильно $18 - (- 1) = 19$ : «минус на минус» даёт плюс.

Считают $2 a$ как «2 и 9», то есть $29$ . Запись $2 a$ означает произведение $2 \cdot a$ .

Модуль — «стирательная резинка для минуса»: он убирает знак минус у числа внутри, но не трогает ничего снаружи.

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Координатная прямая и сравнение рациональных чисел

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Координатная прямая похожа на градусник, положенный набок: справа — тепло (положительные числа), слева — мороз (отрицательные), посередине — нуль. Чем правее точка, тем больше число: $- 10$ теплее, чем $- 11$ .

Сравнить два числа, найти координату точки или расстояние между точками на координатной прямой. 1 балл.

Координата точки

Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта $O$ (число $0$ ), единичный отрезок и направление (стрелка вправо). Координата точки — число, которое ей соответствует.

Единичный отрезок поделён пополам, одно малое деление —

0, 5

A (- 2, 5)

B (1, 5)

Найдите цену деления: длину единичного отрезка разделите на число делений в нём.
Отсчитайте деления от ближайшей подписанной отметки.
Слева от нуля координата отрицательная.

Сравнение чисел

Из двух чисел больше то, что на координатной прямой расположено правее.

Положительное и отрицательноеЛюбое положительное больше любого отрицательного:

26 > - 25

19 > - 51

Два отрицательныхБольше то, у которого модуль меньше:

- 10 > - 11

, так как

10 < 11

С нулёмНуль больше любого отрицательного и меньше любого положительного.

« $- 50$ больше, потому что 50 больше 36» — неверно. $36 > - 50$ : отрицательное число всегда левее нуля.

Расстояние между точками

A B = ∣ a - b ∣

a

b

— координаты точек

A

B

Точки $3$ и $- 3$ : $∣3 - (- 3) ∣ = ∣6∣ = 6$ .
Точки $12$ и $4$ : $∣12 - 4∣ = 8$ .
Точки $6$ и $- 21$ : $∣6 - (- 21) ∣ = ∣27∣ = 27$ .

Если точки по разные стороны от нуля — расстояния до нуля складываются ( $6 + 21 = 27$ ). Если по одну сторону — вычитаются ( $12 - 4 = 8$ ).

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Нахождение неизвестного компонента. Уравнения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Уравнение похоже на весы в равновесии: слева $2 x + 15$ , справа $49$ . Если с обеих чаш снять по $15$ , равновесие сохранится: $2 x = 34$ . Разделим обе чаши пополам — $x = 17$ .

С обеими частями уравнения можно делать одно и то же — равенство сохранится

Найти неизвестное число в равенстве (корень уравнения), в том числе с отрицательными числами. Ответ — число, 1 балл.

Правила нахождения неизвестного

Уравнение	Неизвестное	Как найти
$x + b = c$	слагаемое	$x = c - b$
$x - b = c$	уменьшаемое	$x = c + b$
$a - x = c$	вычитаемое	$x = a - c$
$a \cdot x = c$	множитель	$x = c : a$
$x : b = c$	делимое	$x = c \cdot b$
$a : x = c$	делитель	$x = a : c$

$x + 65 = 32$ : $x = 32 - 65 = - 33$ .
$x - 13 = 4$ : $x = 4 + 13 = 17$ .

Уравнения вида $a x + b = c$

Перенесите число $b$ в правую часть с противоположным знаком: $a x = c - b$ .
Разделите на коэффициент $a$ : $x = (c - b) : a$ .
Сделайте проверку подстановкой.

$- 11 x - 21 = 12$

$- 11 x = 12 + 21 = 33$ .
$x = 33 : (- 11) = - 3$ .
Проверка: $- 11 \cdot (- 3) - 21 = 33 - 21 = 12$ ✓. Ответ: $- 3$ .

$- 6 x - 18 = 60$

$- 6 x = 60 + 18 = 78$ .
$x = 78 : (- 6) = - 13$ .

Частые ошибки

Переносят без смены знака: из $- 11 x - 21 = 12$ получают $- 11 x = 12 - 21$ . Слагаемое $- 21$ при переносе становится $+ 21$ .

Теряют минус коэффициента: $- 6 x = 78$ даёт $x = - 13$ , а не $13$ . При делении на отрицательное число знак меняется.

Проверка подстановкой занимает полминуты и ловит почти все ошибки со знаками.

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Многошаговые текстовые задачи

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Многошаговая задача — это несколько маленьких задач, связанных цепочкой. Чтобы узнать, сколько заплатили за тетради и блокноты, сначала находим цену тетрадей, потом блокнотов, потом складываем.

Решить текстовую задачу в 2–3 действия арифметическим способом. Ответ — число, 1 балл.

Как составить план

Прочитайте вопрос: что нужно найти?
Спросите себя: что для этого нужно знать? Известно ли это сразу?
Если нет — найдите это первым действием. Каждое действие подпишите словами.
Проверьте единицы измерения и правдоподобность ответа.

Величины	Связь
Цена, количество, стоимость	$стоимость = цена \cdot количество$
Скорость, время, расстояние	$s = v \cdot t$ , где $s$ — путь (км), $v$ — скорость (км/ч), $t$ — время (ч)
Часть и целое	$\frac{a}{b}$ от $N$ : $N : b \cdot a$

Задачи на покупки и движение

Аня купила 12 тетрадей по 61 р. и 8 блокнотов по 66 р. Сколько денег она заплатила?

Тетради: $12 \cdot 61 = 732$ (р.).
Блокноты: $8 \cdot 66 = 528$ (р.).
Всего: $732 + 528 = 1260$ (р.). Ответ: $1260$ .

Путь на каждом участке считаем отдельно, затем складываем

Турист шёл 4 ч со скоростью 5 км/ч, затем ехал 1 ч на автобусе со скоростью 50 км/ч. Какой путь он проделал?

Пешком: $5 \cdot 4 = 20$ (км).
На автобусе: $50 \cdot 1 = 50$ (км).
Всего: $20 + 50 = 70$ (км).

Задачи на части и «на … меньше»

В библиотеке 290 книг, $\frac{1}{10}$ часть выдали читателям. Сколько книг осталось?

Выдали: $290 : 10 = 29$ (книг).
Осталось: $290 - 29 = 261$ (книга).

В первый день собрали 62 кг яблок, во второй — на 46 кг меньше. Сколько соберут за 5 таких дней, как второй?

Во второй день: $62 - 46 = 16$ (кг).
За 5 дней: $16 \cdot 5 = 80$ (кг).

Отвечают на промежуточный вопрос: нашли «сколько выдали» (29) и записали в ответ. Перечитайте вопрос — спрашивали, сколько осталось.

Подписывайте каждое действие словами («тетради», «выдали»): так видно, что найдено и чего ещё не хватает.

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Истинные и ложные утверждения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

«Все птицы летают» — неверно: достаточно вспомнить пингвина. Один пример, который нарушает правило, называют контрпримером. Чтобы утверждение со словами «все», «любой», «всегда» было ложным, хватит одного контрпримера.

Из четырёх утверждений выбрать верное и записать его номер. Ответ — одна цифра, 1 балл.

Как проверять

Сначала пытаемся опровергнуть: подставляем маленькие числа, нуль, единицу, отрицательные

Пробуйте «особые» числа: $0$ , $1$ , $2$ (единственное чётное простое), отрицательные, числа вроде $6$ (делится на 2 и 3, но не на 4 и 9), дроби вроде $\frac{3}{2}$ .

Типичные утверждения

Утверждение	Верно?	Почему
Любое число, оканчивающееся нулём, делится на 5	да	признак делимости на 5
Если число делится на 9, то оно делится на 3	да	$9 = 3 \cdot 3$
Все числа, делящиеся на 3, делятся на 9	нет	$6$
Любое число, делящееся на 2, делится на 4	нет	$6$
Если число делится на 4 и на 3, то оно делится на 12	да	4 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1
Все простые числа нечётны	нет	$2$ — простое и чётное
Число 1 — простое	нет	у него один делитель
У любого натурального числа есть делитель 1	да	$a = a \cdot 1$
Сумма двух чётных чисел чётна	да	$2 m + 2 n = 2 (m + n)$
Сумма двух нечётных чисел нечётна	нет	$1 + 3 = 4$
Произведение чётного числа на любое целое чётно	да	$2 m \cdot n = 2 (mn)$
Если произведение чётно, то оба множителя чётны	нет	$2 \cdot 3 = 6$
При умножении на нуль получается тот же множитель	нет	$5 \cdot 0 = 0$
При делении числа на 1 получается то же число	да	$a : 1 = a$
Дробь равна единице, когда числитель равен знаменателю	да	$\frac{7}{7} = 1$
Любая неправильная дробь больше 2	нет	$\frac{3}{2} = 1, 5$
Нуль не является ни положительным, ни отрицательным	да	определение
Нуль — положительное число	нет	см. выше
Отрицательное число может быть больше положительного	нет	оно левее нуля
Модуль отрицательного числа положителен	да	$∣ - 3∣ = 3$
Модуль числа всегда равен самому числу	нет	$∣ - 3∣ = 3 \neq = - 3$
Противоположные числа имеют равные модули	да	$∣5∣ = ∣ - 5∣ = 5$
Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше	да	$- 2 > - 7$
Из двух отрицательных больше то, у которого модуль больше	нет	$- 7 < - 2$

Ловушки

Одного подходящего примера мало, чтобы доказать «всегда»: $8$ делится и на 2, и на 4, но $6$ — нет. А вот одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть.

«Делится на 4 и на 3 → делится на 12» верно, а «делится на 2 и на 4 → делится на 8» — неверно: $4$ делится на 2 и на 4, но не на 8. Так можно объединять только делители без общих множителей.

Обычно верное утверждение одно. Проверьте все четыре: если нашли «верными» два — одно из них проверено небрежно.

ВПР по математике, 6 класс · Часть 1

Задание 11 ВПР: симметрия фигур

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Сложите листок с нарисованной бабочкой пополам по линии посередине — левое крыло точно ляжет на правое. Такая линия сгиба называется осью симметрии.

В задании 11 нарисована фигура (обычно на клетчатой бумаге), и нужно назвать, сколько у неё осей симметрии. Ответ — целое число: 0, 1, 2, 4… Задание оценивается в 1 балл.

Ось симметрии — прямая, при перегибе по которой фигура совпадает сама с собой: каждая точка одной половины попадает на точку другой половины.

Центр симметрии — точка, при повороте вокруг которой на $18 0^{\circ}$ фигура совпадает сама с собой.

Сколько осей у знакомых фигур

Пунктир — оси симметрии; у параллелограмма осей нет, но есть центр симметрии (точка)

Фигура	Осей симметрии	Центр симметрии
Равнобедренный треугольник (не равносторонний)	1	нет
Равносторонний треугольник	3	нет
Прямоугольник (не квадрат)	2 — через середины сторон	есть
Ромб (не квадрат)	2 — диагонали	есть
Квадрат	4	есть
Параллелограмм общего вида	0	есть
Правильный $n$ -угольник	$n$	есть, если $n$ чётное
Окружность, круг	бесконечно много	центр круга

Как считать оси на клетчатой фигуре

Проверьте вертикальную прямую через середину фигуры: левая часть — зеркальная копия правой?
Проверьте горизонтальную прямую через середину: верх — копия низа?
Проверьте две диагональные прямые под углом $4 5^{\circ}$ к линиям клеток.
Если фигура похожа на правильный многоугольник или «звезду», ищите оси через каждую вершину и середину каждой стороны.
Посчитайте подошедшие прямые — это и есть ответ.

Фигура — «плюс» из пяти клеток (одна в центре и по одной сверху, снизу, слева, справа). Сколько осей симметрии?

Вертикаль через центр: левая клетка отражается в правую ✓
Горизонталь через центр: верхняя клетка отражается в нижнюю ✓
Обе диагонали центральной клетки: верхняя клетка переходит в левую (или правую) ✓ ✓
Ответ: 4.

Фигура — буква «Т» из клеток. Сколько осей симметрии?

Вертикаль через ножку: левая половина перекладины — копия правой ✓
Горизонталь не подходит: перекладина сверху, а внизу её нет.
Ответ: 1.

Ловушки

Диагональ прямоугольника — не ось симметрии (если это не квадрат). При перегибе по диагонали углы прямоугольника не совпадут. А у ромба наоборот: оси — именно диагонали.

Ось должна делить фигуру на зеркальные половины, а не просто на равные по площади. Параллелограмм делится диагональю на два равных треугольника, но при перегибе они не совпадают — осей у него нет.

Не путайте центр и ось: «есть центр симметрии» не значит «есть ось». Буква N или S имеет центр симметрии, но ни одной оси.

Мысленный тест «зеркало»: поставьте зеркальце на предполагаемую ось. Если отражение половинки дорисовывает фигуру точно — ось найдена.

ВПР: математика: теория

Оглавление

Действия с целыми числами и дробями

Простыми словами

Сложение и вычитание целых чисел

Умножение и деление

Дроби с разными знаменателями

Значение числового выражения и свойства действий

Простыми словами

Распределительное свойство

Умножение дробей

Квадраты и подобные слагаемые

Нахождение части от величины и величины по её части

Простыми словами

Часть от целого

Целое по его части

Как не перепутать

Таблицы и диаграммы: чтение и интерпретация данных

Простыми словами

Таблица

Столбчатая диаграмма

Круговая диаграмма и доля

Отношения, пропорции и проценты

Простыми словами

Процент от числа

Число по его проценту

Пропорция

Деление в данном отношении

Значение буквенного выражения и модуль числа

Простыми словами

Модуль числа

Подстановка в выражение

Частые ошибки

Координатная прямая и сравнение рациональных чисел

Простыми словами

Координата точки

Сравнение чисел

Расстояние между точками

Нахождение неизвестного компонента. Уравнения

Простыми словами

Правила нахождения неизвестного

Уравнения вида ax+b=c

Частые ошибки

Многошаговые текстовые задачи

Простыми словами

Как составить план

Задачи на покупки и движение

Задачи на части и «на … меньше»

Истинные и ложные утверждения

Простыми словами

Как проверять

Типичные утверждения

Ловушки

Задание 11 ВПР: симметрия фигур

Простыми словами

Сколько осей у знакомых фигур

Как считать оси на клетчатой фигуре

Ловушки

Уравнения вида $a x + b = c$