Учебник reknow · 7 класс

ВПР: математика: теория

12 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:4 5 6 7 8 Математика по всем классам →

Задание 1 ВПР: действия с дробями
Задание 2 ВПР: степень с натуральным показателем
Задание 3 ВПР: линейное уравнение
Задание 4 ВПР: координатная прямая и сравнение чисел
Задание 5 ВПР: чтение графиков
Задание 6 ВПР: упрощение выражений
Задание 10 ВПР: площадь фигуры на клетчатой бумаге
Задание 11 ВПР: отрезки и углы
Задание 13 ВПР: верные утверждения по геометрии
Задание 15 ВПР: данные в таблицах и диаграммах
Задание 16 ВПР: логические выводы о данных и вероятности
Задание 17 ВПР: статистические характеристики

ВПР по математике, 7 класс · Часть 1

Задание 1 ВПР: действия с дробями

Простыми словами

Половина пиццы и три восьмых пиццы — сколько всего? Сначала разрежем половину на восьмушки: $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ . Теперь кусочки одинаковые, и их можно сложить: $\frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$ .

В задании 1 нужно найти значение выражения с дробями. Ответ записывают числом — обычно десятичной дробью или целым; если просят обыкновенную дробь — несократимой. Задание стоит 1 балл.

\frac{1}{2} = \frac{4}{8}

: закрашена одна и та же часть полосы

Правила действий

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно число

k \neq = 0

Сложение и вычитаниеПривести к общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители:

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}

УмножениеЧислитель на числитель, знаменатель на знаменатель:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

ДелениеУмножить на перевёрнутую дробь:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Целое на дробь

n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b}

; сокращаем до умножения.

Здесь $a, c$ — числители, $b, d$ — знаменатели (не равны нулю). Общий знаменатель — наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

Сначала действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), затем сложение и вычитание (слева направо).

Разберём типичные задания

$\frac{5}{8} + \frac{3}{2}$

НОК $(8; 2) = 8$ ; $\frac{3}{2} = \frac{12}{8}$ .
$\frac{5}{8} + \frac{12}{8} = \frac{17}{8}$ .
Ответ: $\frac{17}{8} = 2 \frac{1}{8} = 2, 125$ .

$3 \cdot \frac{8}{3}$

$3 \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{3}$ — сокращаем тройки.
Ответ: $8$ .

$(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}) : \frac{5}{6}$

Скобки: НОК $(3; 4) = 12$ , $\frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$ .
Деление: $\frac{5}{12} \cdot \frac{6}{5} = \frac{5 \cdot 6}{12 \cdot 5} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .
Ответ: $0, 5$ .

$2 \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}$

Переводим в неправильную дробь: $2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$ .
$\frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{7 \cdot 6}{3 \cdot 7} = 2$ .

Ошибки и подсказки

Нельзя складывать знаменатели: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq = \frac{2}{5}$ . Верно: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ .

Смешанное число перед умножением и делением переводят в неправильную дробь. Частая ошибка: $2 \frac{1}{3} \cdot 3 = 6 \frac{1}{3}$ (умножили только целую часть). Верно: $\frac{7}{3} \cdot 3 = 7$ .

Сокращайте до умножения — числа останутся маленькими. И проверьте, переводится ли ответ в конечную десятичную дробь: это возможно, если в знаменателе несократимой дроби только множители $2$ и $5$ ( $\frac{17}{8} = 2, 125$ , а $\frac{1}{3}$ — нет).

Десятичные дроби и деление на целое

Умножение десятичных дробей: перемножаем как целые числа, затем отделяем запятой столько знаков, сколько их после запятой в обоих множителях вместе: $7, 4 \cdot 8, 2$ : $74 \cdot 82 = 6068$ , знаков $1 + 1 = 2$ → $60, 68$ ; $0, 8 \cdot 8, 8 = 7, 04$ .
Деление целых записывают дробью: $10 : 9 = \frac{10}{9}$ .
Дробь на целое: $\frac{5}{4} : 6 = \frac{5}{4 \cdot 6} = \frac{5}{24}$ ; $\frac{3}{2} : 6 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .
Целое плюс дробь: $1 + \frac{8}{3} = \frac{3}{3} + \frac{8}{3} = \frac{11}{3}$ .

ВПР по математике, 7 класс · Часть 1

Задание 2 ВПР: степень с натуральным показателем

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Степень — короткая запись многократного умножения. Вместо $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ пишут $2^{5}$ : «два умножить само на себя пять раз».

a^{n} = n раз a \cdot a \cdot \dots \cdot a

a

— основание,

n

— показатель (натуральное число),

a^{1} = a

В задании 2 выражение нужно упростить и записать в виде степени, а в ответ часто идёт показатель получившейся степени. Задание стоит 1 балл.

Свойства степеней

Правило	Формула	Пример
Умножение при одинаковых основаниях — показатели складывают	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$x^{6} \cdot x^{4} = x^{10}$
Деление при одинаковых основаниях — показатели вычитают	$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ , $a \neq = 0$ , $m > n$	$x^{6} : x^{5} = x^{1} = x$
Степень степени — показатели перемножают	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(x^{3})^{4} = x^{12}$
Степень произведения	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 x)^{3} = 8 x^{3}$
Степень дроби	$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	$(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$

По определению $a^{0} = 1$ при $a \neq = 0$ . Так $x^{5} : x^{5} = x^{0} = 1$ .

Почему показатели складываются:

x^{6} \cdot x^{4} = x^{10}

Разберём задания

Запишите в виде степени $\frac{x ^{7} \cdot x ^{3}}{x ^{4}}$ . В ответ — показатель.

Числитель: $x^{7 + 3} = x^{10}$ .
Деление: $x^{10 - 4} = x^{6}$ .
Ответ: $6$ .

Упростите $(x^{2})^{5} \cdot x^{3}$ .

Степень степени: $(x^{2})^{5} = x^{10}$ .
Умножение: $x^{10} \cdot x^{3} = x^{13}$ .

Вычислите $\frac{2 ^{8} \cdot 2 ^{3}}{2 ^{9}}$ .

$2^{8 + 3 - 9} = 2^{2}$ .
Ответ: $4$ .

Частые ошибки

При умножении показатели складывают, а не перемножают: $x^{6} \cdot x^{4} = x^{10}$ , а не $x^{24}$ . Перемножают их только для степени степени $(x^{6})^{4} = x^{24}$ .

Свойства работают только при одинаковых основаниях. $2^{3} \cdot 3^{2}$ одной степенью не записать — считаем: $8 \cdot 9 = 72$ .

$x^{6} : x^{5} = x$ , то есть $x^{1}$ : показатель равен $1$ , а не $0$ .

Действие «на ступень ниже»: умножение степеней → сложение показателей, деление → вычитание, возведение в степень → умножение.

Когда нужен не показатель, а число

Если просят вычислить значение, сначала упростите по свойствам, потом возведите в степень: $3^{3} : 3^{1} = 3^{2} = 9$ ; $2^{4} : 2^{2} = 2^{2} = 4$ ; $1 0^{4} : 1 0^{3} = 1 0^{1} = 10$ ; $5^{3} : 5^{2} = 5$ .

Если просят показатель, в ответ пишут только его: $n^{6} \cdot n^{12} = n^{18}$ → $18$ ; $x^{6} : x^{5} = x^{1}$ → $1$ .

ВПР по математике, 7 класс · Часть 1

Задание 3 ВПР: линейное уравнение

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Уравнение — это весы в равновесии. Если с обеих чаш снять или добавить одно и то же, равновесие сохранится. Так шаг за шагом оставляем $x$ одного на одной чаше.

Линейное уравнение — уравнение вида $a x = b$ , где $x$ — неизвестное, $a$ и $b$ — числа. Корень — значение $x$ , при котором равенство верно.

a x = b \Rightarrow x = \frac{b}{a} (a \neq = 0)

при

a = 0

: если

b = 0

— корней бесконечно много, если

b \neq = 0

— корней нет

В задании 3 нужно найти корень — ответ одно число. Задание стоит 1 балл.

Алгоритм

Раскрыть скобки; если есть дроби — умножить обе части на общий знаменатель.
Слагаемые с $x$ перенести влево, числа — вправо, меняя знак при переносе.
Привести подобные: получится $a x = b$ .
Разделить обе части на $a$ .
Проверить: подставить корень в исходное уравнение.

С обеих частей отнимаем одно и то же — равенство сохраняется

Разберём задания

$3 x - 13 = 17$

Переносим $- 13$ вправо со знаком «+»: $3 x = 17 + 13 = 30$ .
$x = 30 : 3 = 10$ . Проверка: $3 \cdot 10 - 13 = 17$ ✓

$5 x + 4 = 2 x - 11$

$5 x - 2 x = - 11 - 4$ .
$3 x = - 15$ , $x = - 5$ .

$4 (x - 3) = 2 x + 6$

$4 x - 12 = 2 x + 6$ .
$4 x - 2 x = 6 + 12$ , $2 x = 18$ , $x = 9$ .

$\frac{x}{3} + 2 = 5$

$\frac{x}{3} = 3$ .
Умножаем на $3$ : $x = 9$ .

Ловушки

Забытый знак при переносе: из $2 x + 17 = 19$ получается $2 x = 19 - 17$ , а не $19 + 17$ .

Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых: $- (x - 4) = - x + 4$ .

При делении на отрицательное число знак ответа меняется: $- 4 x = 12 \Rightarrow x = - 3$ .

Проверка подстановкой занимает 10 секунд и ловит почти все ошибки — делайте её всегда.

ВПР по математике, 7 класс · Часть 1

Задание 4 ВПР: координатная прямая и сравнение чисел

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Координатная прямая — как термометр, положенный набок: правее — «теплее», то есть больше. $- 7$ градусов холоднее, чем $2$ , значит, $- 7 < 2$ .

Из двух чисел на координатной прямой больше то, что правее.

- 2, 5 < - 1 < 0, 5 < 2

: чем правее точка, тем больше число

В задании 4 нужно сравнить числа или найти большее (меньшее) из них и записать его. Задание стоит 1 балл.

Правила сравнения

Разные знакиЛюбое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного:

\frac{2}{7} > - \frac{37}{5}

Оба отрицательныеБольше то, у которого модуль меньше (оно ближе к нулю):

- 3 > - 5

, так как

∣ - 3 ∣ < ∣ - 5 ∣

Одинаковые знаменателиБольше дробь с большим числителем:

\frac{5}{8} > \frac{3}{8}

Разные знаменателиПривести к общему знаменателю или перевести в десятичные дроби.

Модуль $∣ a ∣$ — расстояние от точки $a$ до нуля: $∣5∣ = 5$ , $∣ - 5 ∣ = 5$ , $∣0∣ = 0$ . Модуль не бывает отрицательным.

Разберём задания

Какое число больше: $\frac{3}{4}$ или $\frac{5}{7}$ ?

Общий знаменатель $28$ : $\frac{3}{4} = \frac{21}{28}$ , $\frac{5}{7} = \frac{20}{28}$ .
$21 > 20$ , значит, больше $\frac{3}{4}$ .

Сравните $- 2, 4$ и $- \frac{12}{5}$ .

$\frac{12}{5} = 2, 4$ , значит, $- \frac{12}{5} = - 2, 4$ .
Числа равны.

Какое из чисел $- 1, 7$ ; $- \frac{3}{2}$ ; $- 2$ наибольшее?

$- \frac{3}{2} = - 1, 5$ .
Модули: $1, 7$ ; $1, 5$ ; $2$ . Наименьший модуль у $- 1, 5$ .
Ответ: $- 1, 5$ — оно ближе всех к нулю, правее всех на прямой.

Между какими целыми числами лежит $\frac{17}{5}$ ?

$\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5} = 3, 4$ .
Точка лежит между $3$ и $4$ .

Ловушки

Среди отрицательных «больше по виду» — значит меньше: $- 9 < - 2$ .

Нельзя сравнивать дроби только по знаменателям или только по числителям, если отличается и то и другое: $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}$ сравнивают через общий знаменатель.

Если сомневаетесь — переведите все числа в десятичные дроби (хотя бы приближённо) и расставьте их на воображаемой прямой.

Формулировки вопроса

Спрашивают	Что выбрать
«левее на прямой» / «правее»	меньшее / большее число
«ближе к нулю» / «дальше от нуля»	число с меньшим / большим модулем: из $\frac{11}{5}$ и $19$ ближе к нулю $\frac{11}{5}$ ; из $11$ и $- \frac{7}{4}$ дальше $11$
«у какого модуль больше (меньше)»	сравнить модули: $∣ - 7∣ = 7 > ∣ - \frac{3}{2} ∣$ → $- 7$ ; модуль нуля наименьший

Знак не влияет на расстояние до нуля: $- 7$ дальше от нуля, чем $- 1, 5$ , хотя меньше его.

ВПР по математике, 7 класс · Часть 1

Задание 5 ВПР: чтение графиков

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

График — это «дневник» величины: по горизонтали время (дни, часы, месяцы), по вертикали — значение (температура, цена, количество). Самая высокая точка — наибольшее значение, самая низкая — наименьшее.

В задании 5 по графику нужно найти значение в данный момент, наибольшее или наименьшее значение, изменение или среднее. Задание оценивается до 2 баллов.

Как читать график

Температура воздуха (°C) за неделю; одна клетка по вертикали — 2 °C

Прочитайте подписи осей: что откладывается и в каких единицах.
Определите цену деления: разность соседних подписанных значений, делённая на число клеток между ними. Здесь $(14 - 12) : 1 = 2$ °C на клетку.
Найдите нужную точку и проведите от неё горизонталь до вертикальной оси.
Если точка между линиями сетки, считайте долю клетки: половина клетки здесь $= 1$ °C.

Разберём вопросы к графику

Наибольшее значение: самая высокая точка — среда, $23$ °C.
Наименьшее: пятница, $16$ °C.
На сколько изменилась температура с понедельника по среду: $23 - 18 = 5$ °C (выросла).
В какие дни росла: Пн→Вт, Вт→Ср, Пт→Сб, Сб→Вс — где линия идёт вверх.
Размах (разность наибольшего и наименьшего): $23 - 16 = 7$ °C.
Среднее: $\frac{18 + 21 + 23 + 19 + 16 + 20 + 22}{7} = \frac{139}{7} \approx 19, 9$ °C.

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

среднее арифметическое:

x_{1}, \dots, x_{n}

— значения,

n

— их количество

Ловушки

Шкала часто начинается не с нуля и одна клетка может означать 2, 5 или 10 единиц. Всегда сначала находите цену деления.

Спрашивают значение или момент, когда оно достигнуто? «Наибольшее значение» — число по вертикали ( $23$ ), «когда» — подпись по горизонтали (среда).

Положите линейку горизонтально и ведите её сверху вниз: первая точка, которой она коснётся, — максимум.

ВПР по математике, 7 класс · Часть 1

Задание 6 ВПР: упрощение выражений

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

7 яблок + 7 яблок − 5 яблок = 9 яблок. Ровно так же $7 x + 7 x - 5 x = 9 x$ : «яблоки» — это $x$ . Сначала упрощаем, потом подставляем число — так меньше вычислений и ошибок.

В задании 6 выражение нужно упростить и найти его значение при данном $x$ . Ответ — число. Задание стоит 1 балл.

Нужные правила

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть: $7 x$ и $- 5 x$ , $3 a^{2}$ и $a^{2}$ . Их складывают, складывая коэффициенты (числовые множители): $7 x - 5 x = 2 x$ .

a (b + c) = ab + a c

распределительный закон: множитель перед скобкой умножают на каждое слагаемое в скобке

Плюс перед скобкойСкобки убирают, знаки сохраняют:

+ (x - 3) = x - 3

Минус перед скобкойЗнаки всех слагаемых в скобке меняют:

- (x - 3) = - x + 3

Число перед скобкой «достаётся» каждому слагаемому

Разберём задания

$7 x + 7 x - 5 x$ при $x = 5$

Коэффициенты: $7 + 7 - 5 = 9$ , выражение равно $9 x$ .
$9 \cdot 5 = 45$ .

$2 (x + 12) - 2 \cdot 12$ при $x = - 5$

Раскрываем скобки: $2 x + 24 - 24 = 2 x$ .
$2 \cdot (- 5) = - 10$ .

$3 (2 a - 1) - (4 a - 7)$ при $a = - 0, 5$

$6 a - 3 - 4 a + 7 = 2 a + 4$ .
$2 \cdot (- 0, 5) + 4 = - 1 + 4 = 3$ .

Ловушки

Отрицательное число подставляйте в скобках: при $x = - 5$ выражение $x^{2}$ равно $(- 5)^{2} = 25$ , а не $- 25$ ; $3 x = 3 \cdot (- 5) = - 15$ .

Нельзя складывать неподобные слагаемые: $3 x + 2 \neq = 5 x$ , $x + x^{2} \neq = 2 x^{2}$ .

Число перед скобкой умножают на все слагаемые: $2 (x + 12) = 2 x + 24$ , а не $2 x + 12$ .

Проверка: подставьте значение и в исходное, и в упрощённое выражение — ответы должны совпасть.

ВПР по математике, 7 класс · Часть 2

Задание 10 ВПР: площадь фигуры на клетчатой бумаге

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Площадь — это сколько квадратиков-клеток помещается внутри фигуры. Если сторона клетки равна 1, то площадь одной клетки равна 1, и задача сводится к аккуратному подсчёту.

В задании 10 фигура нарисована на клетчатой бумаге, сторона клетки — 1. Нужно найти площадь; ответ — число. Задание стоит 1 балл.

Вершины фигуры обычно лежат в узлах сетки, поэтому длины горизонтальных и вертикальных отрезков считаются по клеткам.

Формулы, которые нужны

Прямоугольник

S = a \cdot b

, где

a

b

— длина и ширина.

Квадрат

S = a^{2}

, где

a

— сторона.

Прямоугольный треугольник

S = \frac{1}{2} ab

— половина прямоугольника со сторонами-катетами

a

b

Любой треугольник

S = \frac{1}{2} ah

, где

a

— сторона,

h

— высота, проведённая к ней.

Слева:

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12

. Справа: достраиваем до прямоугольника

Способ достраивания

Если стороны фигуры идут «наискосок», формулу сразу не применить. Тогда:

Обведите фигуру наименьшим прямоугольником по линиям сетки.
Найдите его площадь.
Вычтите площади «лишних» кусков — обычно это прямоугольные треугольники и прямоугольники.

Прямоугольник $4 \times 3$ : $S = 12$ .
Лишние треугольники: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2$ ; $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ ; $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1, 5$ .
$S = 12 - 2 - 3 - 1, 5 = 5, 5$ .

Можно действовать и наоборот — разрезать фигуру на прямоугольники и треугольники и сложить их площади. Так удобно для фигур-«лесенок» и букв из клеток.

Фигура — «уголок»: прямоугольник $4 \times 3$ , из угла которого вырезан квадрат $2 \times 2$ .

$S = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 12 - 4 = 8$ .

Подробнее: формула Пика

Для многоугольника с вершинами в узлах сетки $S = В + \frac{Г}{2} - 1$ , где В — число узлов строго внутри фигуры, Г — число узлов на её границе. Удобна для проверки ответа.

Ловушки

Длину наклонной стороны нельзя считать по клеткам: отрезок по диагонали клетки длиннее её стороны. В формулу $\frac{1}{2} ah$ подставляйте только горизонтальные или вертикальные отрезки.

Высота тупоугольного треугольника может падать вне его — на продолжение стороны. Её длину всё равно считают по клеткам.

Ответ может быть дробным: $5, 5$ — нормальный ответ, если в фигуре есть «половинки» клеток.

ВПР по математике, 7 класс · Часть 2

Задание 11 ВПР: отрезки и углы

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Раскройте ножницы: лезвия образуют угол. Если продолжить одно лезвие за винт, получится прямая линия — развёрнутый угол $18 0^{\circ}$ . Второе лезвие делит его на два угла, которые вместе дают $18 0^{\circ}$ .

В задании 11 по условию нужно найти угол или длину отрезка. Ответ — число (градусы или единицы длины). Задание стоит 1 балл.

Смежные и вертикальные углы

Соседние углы — смежные (в сумме

18 0^{\circ}

), противоположные — вертикальные (равны)

Смежные углы — у них одна сторона общая, а две другие образуют прямую. Их сумма равна $18 0^{\circ}$ .

Вертикальные углы — стороны одного являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

∠1 + ∠2 = 18 0^{\circ} \Rightarrow ∠2 = 18 0^{\circ} - ∠1

∠1

∠2

— смежные углы

Ещё правила

БиссектрисаЛуч из вершины, делящий угол пополам: каждая половина равна

\frac{∠ A}{2}

Сложение угловЕсли луч

OC

лежит внутри

∠ A OB

, то

∠ A OB = ∠ A OC + ∠ COB

Сложение отрезковЕсли точка

C

лежит на отрезке

A B

, то

A B = A C + CB

Середина отрезкаДелит его на две равные части:

A M = MB = \frac{A B}{2}

Виды углов: острый — меньше $9 0^{\circ}$ , прямой — $9 0^{\circ}$ , тупой — от $9 0^{\circ}$ до $18 0^{\circ}$ , развёрнутый — $18 0^{\circ}$ .

Разберём задания

Один из смежных углов равен $12 9^{\circ}$ . Найдите другой.

$18 0^{\circ} - 12 9^{\circ} = 5 1^{\circ}$ . Ответ: $51$ .

Один из смежных углов на $4 0^{\circ}$ больше другого. Найдите больший угол.

Пусть меньший угол $x$ , тогда больший $x + 4 0^{\circ}$ .
$x + x + 4 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , $2 x = 14 0^{\circ}$ , $x = 7 0^{\circ}$ .
Больший: $7 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ .

При пересечении двух прямых один угол равен $3 5^{\circ}$ . Найдите остальные.

Вертикальный ему угол тоже $3 5^{\circ}$ .
Два других — смежные с ним: $18 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 14 5^{\circ}$ .

Точка $C$ лежит на отрезке $A B$ , $A B = 15$ , $A C = 6$ . Найдите $CB$ .

$CB = A B - A C = 15 - 6 = 9$ .

Ловушки

Не путайте: смежные дают в сумме $18 0^{\circ}$ , а вертикальные равны. Сумма двух вертикальных углов не обязана быть $18 0^{\circ}$ .

Если угол разделён биссектрисой и известна половина, весь угол — в два раза больше, а не наоборот.

Смежные — «соседи на одной прямой», делят $18 0^{\circ}$ ; вертикальные — «смотрят друг на друга через точку», как отражение.

ВПР по математике, 7 класс · Часть 2

Задание 13 ВПР: верные утверждения по геометрии

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Утверждение «все птицы летают» неверно — достаточно вспомнить пингвина. В геометрии так же: чтобы опровергнуть утверждение, хватит одного чертежа, где оно не выполняется (контрпример). А чтобы признать верным, нужно узнать в нём правило из учебника.

В задании 13 даны несколько утверждений; нужно выбрать верное (или верные) и записать номер. Задание стоит 1 балл.

Факты, которые проверяют чаще всего

Верно	Неверно (частые «подделки»)
Вертикальные углы равны	Вертикальные углы в сумме дают $18 0^{\circ}$
Сумма смежных углов равна $18 0^{\circ}$	Смежные углы равны
Сумма углов треугольника равна $18 0^{\circ}$	Сумма углов четырёхугольника равна $18 0^{\circ}$ (на самом деле $36 0^{\circ}$ )
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним	Внешний угол меньше каждого внутреннего
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны	В равнобедренном треугольнике все углы равны
Если все углы треугольника равны, каждый равен $6 0^{\circ}$	Если углы треугольника равны, он прямоугольный
Медиана делит противоположную сторону пополам	Медиана любого треугольника делит угол пополам
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию — и биссектриса, и высота	Высота треугольника всегда лежит внутри него
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета	В треугольнике может быть два тупых угла
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других	Треугольник со сторонами 1, 2, 3 существует
Через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной	Две прямые, перпендикулярные третьей, пересекаются

Медиана, биссектриса, высота

У тупоугольного треугольника высота из вершины

A

лежит вне треугольника; медиана

A M

идёт в середину

BC

МедианаОтрезок из вершины к середине противоположной стороны.

БиссектрисаОтрезок биссектрисы угла от вершины до противоположной стороны; делит угол пополам.

ВысотаПерпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Ещё утверждения из заданий

Верно	Неверно
Через любые две точки проходит единственная прямая	Через точку вне прямой можно провести две прямые, параллельные данной
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой	В любом треугольнике есть тупой угол (у остроугольного его нет)
Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны	Если два угла треугольника острые, то третий тоже острый (он может быть прямым или тупым: $3 0^{\circ}, 4 0^{\circ}, 11 0^{\circ}$ )
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $9 0^{\circ}$	Все треугольники с равными периметрами равны (стороны $3, 4, 5$ и $4, 4, 4$ — периметр 12 у обоих)
Против большей стороны треугольника лежит больший угол	Сумма смежных углов равна $9 0^{\circ}$

Как решать

Прочитайте каждое утверждение целиком: слова «всегда», «любой», «каждый», «только» делают утверждение сильным — его легко опровергнуть одним примером.
Сравните с фактом из учебника. Нашли точное правило — верно.
Сомневаетесь — нарисуйте «неудобный» случай: тупоугольный или прямоугольный треугольник, неравные стороны.

1) внешний угол треугольника меньше каждого внутреннего; 2) высота треугольника всегда лежит внутри него; 3) вертикальные углы равны; 4) сумма углов четырёхугольника равна $18 0^{\circ}$ .

1) Неверно: внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, значит, больше каждого из них.
2) Неверно: у тупоугольного треугольника высоты из острых углов лежат вне его (рисунок выше).
3) Верно — свойство вертикальных углов.
4) Неверно: $36 0^{\circ}$ .
Ответ: $3$ .

Не выбирайте утверждение только потому, что оно «звучит знакомо»: «медиана делит угол пополам» верно лишь для равнобедренного треугольника (медиана к основанию), а не для любого.

Сумма углов многоугольника с $n$ сторонами: $18 0^{\circ} \cdot (n - 2)$ . Треугольник — $18 0^{\circ}$ , четырёхугольник — $36 0^{\circ}$ .

ВПР по математике, 7 класс · Часть 2

Задание 15 ВПР: данные в таблицах и диаграммах

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Таблица — это «склад» чисел по полочкам, диаграмма — тот же склад, но в картинках: чем выше столбик (или больше кусок круга), тем больше число. Задача — найти нужную полочку и аккуратно прочитать число.

В задании 15 даны реальные данные (продажи, температура, оценки, расходы); нужно найти значение, наибольшее или наименьшее, разность, сумму или долю. Задание оценивается до 2 баллов.

Столбчатая диаграмма

Продано тетрадей по дням; линия сетки — через 5 единиц

Наибольшее значение: самый высокий столбик — четверг, $30$ .
Насколько больше в четверг, чем в понедельник: $30 - 12 = 18$ .
Во сколько раз больше: $30 : 12 = 2, 5$ .
Всего за неделю: $12 + 25 + 18 + 30 + 21 = 106$ .
Сколько дней продали больше 20: Вт, Чт, Пт — $3$ дня.

Круговая диаграмма и таблица

Доля сектора: часть от целого круга

Чтобы найти, сколько это в штуках: $часть = целое \cdot \frac{p}{100}$ , где $p$ — процент сектора. Если всего 80 учеников и сектор 25%, то $80 \cdot 0, 25 = 20$ учеников.

В таблице сначала найдите нужную строку и столбец по заголовкам, затем значение на их пересечении. Если нужны итоги — складывайте по строке или по столбцу.

Ловушки

Шкала может идти через 2, 5, 10, 100 единиц. Определите цену деления, прежде чем читать высоту столбика между линиями.

«На сколько больше» — это разность, «во сколько раз больше» — частное.

Проверьте единицы: «тыс. руб.», «млн человек», «%». Ответ записывают в тех единицах, которые просят в вопросе.

Перед ответом ещё раз перечитайте вопрос: ищут значение (число) или объект (день, город, месяц)?

Числовые характеристики данных

Кроме чтения значений, по таблице или диаграмме просят найти характеристики набора. Для данных диаграммы $12, 25, 18, 30, 21$ :

Характеристика	Как найти	Пример
Сумма	сложить все значения	$106$
Среднее арифметическое	сумма : количество	$106 : 5 = 21, 2$
Медиана	упорядочить и взять середину (при чётном количестве — среднее двух средних)	$12, 18, 21, 25, 30$ → $21$
Размах	наибольшее − наименьшее	$30 - 12 = 18$

Медиану берут в упорядоченном наборе, а не в порядке дней недели.

ВПР по математике, 7 класс · Часть 2

Задание 16 ВПР: логические выводы о данных и вероятности

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Утверждение верно, только если оно выполняется всегда. Чтобы признать его ложным, достаточно одного примера-«исключения». «Среднее всегда равно медиане»? Возьмём набор $1, 2, 9$ : среднее $4$ , медиана $2$ — утверждение ложно.

В задании 16 даны утверждения о статистике и вероятности; нужно выбрать верное и записать его номер. Задание стоит 1 балл.

Определения, которые проверяют

Понятие	Что это	Для набора $2, 3, 3, 5, 7$
Среднее арифметическое	Сумма значений, делённая на их количество	$\frac{20}{5} = 4$
Медиана	Середина упорядоченного набора; при чётном числе значений — среднее двух средних	$3$
Мода	Значение, которое встречается чаще всех	$3$
Размах	Наибольшее значение минус наименьшее	$7 - 2 = 5$

P (A) = \frac{m}{n}

вероятность события

A

m

— число благоприятных исходов,

n

— число всех равновозможных исходов

Вероятность любого события — число от

0

до

1

Верно и неверно

ВерноРазмах — разность наибольшего и наименьшего значений. Среднее лежит между наименьшим и наибольшим значениями. Вероятность достоверного события равна

1

, невозможного —

0

P (A) + P (\overset{ˉ}{A}) = 1

НеверноСреднее всегда совпадает с медианой. Среднее может быть больше наибольшего значения. Мода всегда одна (её может не быть или быть несколько). Вероятность может быть больше

1

или отрицательной.

1) размах — это разность наибольшего и наименьшего значений; 2) вероятность достоверного события равна нулю; 3) мода есть у любого набора данных ровно одна.

1) Верно — это определение размаха.
2) Неверно: достоверное событие происходит всегда, его вероятность $1$ .
3) Неверно: в наборе $1, 2, 3$ все значения встречаются по разу — моды нет; в наборе $1, 1, 2, 2$ мод две.
Ответ: $1$ .

«Среднее арифметическое нельзя посчитать, если данных больше десяти». Верно ли?

Неверно: формула работает для любого количества чисел.

Ловушки

Медиану ищут только в упорядоченном наборе: для $7, 2, 5$ сначала пишем $2, 5, 7$ — медиана $5$ , а не $2$ .

Слова «всегда», «любой», «никогда» — сигнал проверить утверждение контрпримером.

Держите в голове маленький набор вроде $1, 2, 9$ — на нём быстро проверяются утверждения про среднее и медиану.

Ещё утверждения из заданий

Верно	Неверно
Чем больше опытов, тем ближе частота события к его вероятности	Если событие не произошло в десяти опытах, оно невозможно
Орёл и решка при подбрасывании монеты равновозможны	Вероятность выпадения шестёрки на кубике равна $\frac{1}{2}$ (на самом деле $\frac{1}{6}$ )
Медиана делит упорядоченный набор на две равные части	Медиана — самое частое значение (это мода)
Вероятность любого события не больше единицы	Сумма вероятностей всех исходов опыта равна двум (она равна 1)
—	Размах набора не может быть равен нулю (равен, если все значения одинаковы); среднее нельзя посчитать, если данных больше десяти

ВПР по математике, 7 класс · Часть 2

Задание 17 ВПР: статистические характеристики

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Пять друзей измерили рост. Чтобы коротко описать группу, хватает нескольких чисел: кто самый высокий, кто самый низкий, какой рост «в среднем» и какой — «посередине». Это и есть статистические характеристики.

В задании 17 дан набор чисел (списком, в таблице или на диаграмме); нужно найти одну характеристику. Ответ — число. Задание стоит 1 балл.

Пять характеристик

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

среднее арифметическое:

x_{1}, \dots, x_{n}

— значения,

n

— их количество

Наибольшее / наименьшееСамое большое и самое маленькое число набора.

Размах

R = x_{m a x} - x_{m i n}

— насколько разбросаны данные.

МедианаЧисло в середине упорядоченного набора. При чётном

n

— среднее двух средних чисел.

МодаЗначение, которое встречается чаще других (может отсутствовать или быть не одна).

Сначала упорядочиваем по возрастанию — тогда всё видно сразу

Разберём задания

Набор: $62, 50, 73, 41, 50$ . Найдите наибольшее значение, размах, среднее, медиану.

Упорядочим: $41, 50, 50, 62, 73$ .
Наибольшее: $73$ . Размах: $73 - 41 = 32$ .
Среднее: $\frac{41 + 50 + 50 + 62 + 73}{5} = \frac{276}{5} = 55, 2$ .
Медиана — третье число из пяти: $50$ . Мода: $50$ .

Медиана набора $8, 3, 10, 5$ .

Упорядочим: $3, 5, 8, 10$ .
Средние два числа $5$ и $8$ : медиана $\frac{5 + 8}{2} = 6, 5$ .

Ловушки

Медиана — не «число, стоящее посередине списка в условии», а середина после упорядочивания.

При подсчёте среднего делите на количество всех чисел, включая повторяющиеся и нули.

Если данные в таблице (например, «оценка — сколько раз»), значение повторяется столько раз, сколько указано: в сумму для среднего идёт $значение \cdot количество$ .

Проверка среднего: оно всегда между наименьшим и наибольшим значениями. Получилось больше максимума — ищите ошибку.

ВПР: математика: теория

Оглавление

Задание 1 ВПР: действия с дробями

Простыми словами

Правила действий

Разберём типичные задания

Ошибки и подсказки

Десятичные дроби и деление на целое

Задание 2 ВПР: степень с натуральным показателем

Простыми словами

Свойства степеней

Разберём задания

Частые ошибки

Когда нужен не показатель, а число

Задание 3 ВПР: линейное уравнение

Простыми словами

Алгоритм

Разберём задания

Ловушки

Задание 4 ВПР: координатная прямая и сравнение чисел

Простыми словами

Правила сравнения

Разберём задания

Ловушки

Формулировки вопроса

Задание 5 ВПР: чтение графиков

Простыми словами

Как читать график

Разберём вопросы к графику

Ловушки

Задание 6 ВПР: упрощение выражений

Простыми словами

Нужные правила

Разберём задания

Ловушки

Задание 10 ВПР: площадь фигуры на клетчатой бумаге

Простыми словами

Формулы, которые нужны

Способ достраивания

Ловушки

Задание 11 ВПР: отрезки и углы

Простыми словами

Смежные и вертикальные углы

Ещё правила

Разберём задания

Ловушки

Задание 13 ВПР: верные утверждения по геометрии

Простыми словами

Факты, которые проверяют чаще всего

Медиана, биссектриса, высота

Ещё утверждения из заданий

Как решать

Задание 15 ВПР: данные в таблицах и диаграммах

Простыми словами

Столбчатая диаграмма

Круговая диаграмма и таблица

Ловушки

Числовые характеристики данных

Задание 16 ВПР: логические выводы о данных и вероятности

Простыми словами

Определения, которые проверяют

Верно и неверно

Ловушки

Ещё утверждения из заданий

Задание 17 ВПР: статистические характеристики

Простыми словами

Пять характеристик

Разберём задания

Ловушки