Учебник reknow · 5 класс

ВПР: математика: теория

11 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:4 5 6 7 8 Математика по всем классам →

Обыкновенные дроби: чтение, сравнение, сложение
Текстовые задачи «на … больше / меньше» и деление с остатком
Действия с натуральными числами
Данные в таблице: наибольшее, наименьшее, среднее
Наглядная геометрия: виды углов и единицы площади и объёма
Разряды чисел, сравнение и округление
Задачи на нахождение доли и процента от числа
Периметр и площадь прямоугольника и квадрата
Делимость: признаки, делители, кратные, остаток
Десятичные дроби: сложение, вычитание, умножение на 10, 100
Логические задачи: сумма и разность, перебор

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Обыкновенные дроби: чтение, сравнение, сложение

Простыми словами

Шоколадку разломили на 7 равных долек и съели 4. Съели $\frac{4}{7}$ шоколадки: 7 — на сколько частей делили, 4 — сколько частей взяли.

Обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$ : $b$ — знаменатель (на сколько равных частей разделили целое), $a$ — числитель (сколько таких частей взяли). Черта дроби означает деление: $\frac{a}{b} = a : b$ .

Определить дробь по рисунку, сравнить дроби или вычислить значение выражения с дробями. 1 балл.

Дробь на рисунке

Закрашено

\frac{4}{7}

полосы, не закрашено

\frac{3}{7}

Знаменатель — это все части, а не незакрашенные: на рисунке $\frac{4}{7}$ , а не $\frac{4}{3}$ . Части должны быть равными.

Сравнение дробей

Знаменатели равныБольше та дробь, у которой больше числитель:

\frac{11}{12} > \frac{4}{12}

, так как

11 > 4

Числители равныБольше та дробь, у которой знаменатель меньше:

\frac{1}{3} > \frac{1}{5}

(третья часть торта больше пятой).

С единицейПравильная дробь (

a < b

) меньше 1, неправильная (

a \geq b

) больше или равна 1:

\frac{7}{7} = 1

Поставьте знак: $\frac{8}{18} \dots \frac{14}{18}$ .

Знаменатели одинаковые ( $18$ ) — сравниваем числители: $8 < 14$ .
Ответ: $\frac{8}{18} < \frac{14}{18}$ .

Сложение и вычитание

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

при одинаковых знаменателях складываем (вычитаем) только числители

$\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2 + 5}{9} = \frac{7}{9}$ .
$\frac{6}{7} - \frac{5}{7} = \frac{1}{7}$ .
$1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ — единицу записываем как дробь с тем же знаменателем.

Знаменатели не складывают: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} \neq = \frac{7}{18}$ . Доли остаются девятыми — их просто стало больше.

Знаменатель «называет» доли (седьмые, девятые), числитель их «считает». Складываем «3 седьмых + 2 седьмых = 5 седьмых», как «3 яблока + 2 яблока».

Неправильная дробь и целая часть

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, делим числитель на знаменатель с остатком: неполное частное — целая часть, остаток — числитель дробной части, знаменатель прежний.

\frac{a}{b} = q \frac{r}{b}, где a = b \cdot q + r, r < b

q

— целая часть,

r

— остаток

Выделите целую часть из дроби $\frac{96}{9}$ .

$96 : 9 = 10$ (ост. $6$ ), ведь $9 \cdot 10 = 90$ , $96 - 90 = 6$ .
$\frac{96}{9} = 10 \frac{6}{9}$ . Целая часть — $10$ .

Если делится без остатка, дробь равна натуральному числу: $\frac{45}{9} = 5$ .

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Текстовые задачи «на … больше / меньше» и деление с остатком

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

«У Пети 20 марок, а у Коли на 5 больше» — значит, у Коли столько же, сколько у Пети, и ещё 5: $20 + 5 = 25$ . Главное в таких задачах — понять, к кому относится «больше» и «меньше».

Решить задачу в одно действие (сложение или вычитание многозначных чисел) или найти остаток от деления. Ответ — число, 1 балл.

«На … больше» и «на … меньше»

На $n$ больше — прибавляем $n$ . На $n$ меньше — вычитаем $n$ .

Отрезок второго дня короче на 741 кг:

2360 - 741

В первый день магазин продал 2360 кг сахара, а во второй — на 741 кг меньше. Сколько килограммов продали во второй день?

«На 741 меньше» — вычитаем.
$2360 - 741 = 1619$ (кг).
Ответ: $1619$ .

В первом зале 3281 место, а во втором — на 733 больше. Сколько мест во втором зале?

«На 733 больше» — прибавляем: $3281 + 733 = 4014$ .

Читайте, что спрашивают. «Во втором на 733 больше. Сколько в первом?» — тогда первое меньше и надо вычитать.

Деление с остатком

a = b \cdot q + r, 0 \leq r < b

a

— делимое,

b

— делитель,

q

— неполное частное,

r

— остаток

Остаток — то, что «не поместилось» в целые группы. Он всегда меньше делителя.

Найдите остаток от деления $1804$ на $45$ .

Прикидка: $45 \cdot 40 = 1800$ — это близко к $1804$ , но не больше.
$45 \cdot 41 = 1845$ — уже больше $1804$ , значит, неполное частное $40$ .
Остаток: $1804 - 1800 = 4$ . Ответ: $4$ .

При делении на $10$ остаток — последняя цифра числа: $777 : 10 = 77$ (ост. $7$ ). При делении на $100$ — две последние цифры.

Если «остаток» получился больше делителя или равен ему — частное подобрано мало, увеличьте его на 1.

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Действия с натуральными числами

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: $1, 2, 3, \dots$ С ними нужно уверенно выполнять четыре действия — письменно (столбиком) или устно, если числа удобные.

Найти значение выражения: сумму многозначных чисел или произведение двузначных. Ответ — число, 1 балл.

Сложение многозначных чисел

Записываем столбиком: единицы под единицами, десятки под десятками. Складываем справа налево, переносим десяток в следующий разряд.

$5883 + 9455$

Единицы: $3 + 5 = 8$ .
Десятки: $8 + 5 = 13$ — пишем $3$ , переносим $1$ .
Сотни: $8 + 4 + 1 = 13$ — пишем $3$ , переносим $1$ .
Тысячи: $5 + 9 + 1 = 15$ — пишем $15$ .
Ответ: $15338$ .

Умножение столбиком

Второе неполное произведение сдвигаем на один разряд влево: это десятки

Умножаем первое число на единицы второго.
Умножаем на десятки второго и пишем результат со сдвигом на одну клетку влево.
Складываем неполные произведения.

Вычитание и деление

Вычитание столбиком — разряд под разрядом, справа налево. Не хватает единиц в разряде — занимаем единицу у соседнего слева разряда (она даёт 10 единиц текущего).

$81482 - 8833$

Единицы: $2 - 3$ нельзя, занимаем десяток: $12 - 3 = 9$ .
Десятки: $7 - 3 = 4$ (один отдали). Сотни: $4 - 8$ нельзя, занимаем: $14 - 8 = 6$ .
Тысячи: $0 - 8$ нельзя, занимаем: $10 - 8 = 2$ . Десятки тысяч: $7 - 0 = 7$ .
Ответ: $72649$ . Проверка: $72649 + 8833 = 81482$ ✓

Деление — действие, обратное умножению: ищем число, которое при умножении на делитель даёт делимое.

$2772 : 66$

Первое неполное делимое — $277$ : $66 \cdot 4 = 264$ , остаток $277 - 264 = 13$ . В частном $4$ .
Сносим $2$ : $132 : 66 = 2$ . В частном $2$ .
Ответ: $42$ . Проверка: $66 \cdot 42 = 2772$ ✓

Цифру частного подбирайте по первым цифрам: $277 : 66 \approx 28 : 7 = 4$ .

Удобные приёмы

$60 \cdot 48$

$60 = 6 \cdot 10$ , поэтому считаем $6 \cdot 48 = 288$ .
Приписываем нуль: $2880$ .

$51 \cdot 72 = 50 \cdot 72 + 1 \cdot 72 = 3600 + 72 = 3672$ .

$77 \cdot 57 \approx 80 \cdot 60 = 4800$ — ответ должен быть чуть меньше. Последняя цифра: $7 \cdot 7 = 49$ , значит, ответ оканчивается на $9$ ✓.

Частая ошибка — не сдвинуть второе неполное произведение: $539 + 385 = 924$ вместо $4389$ .

При умножении круглых чисел считают все нули: $90 \cdot 16 = 1440$ , $85 \cdot 90 = 7650$ .

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Данные в таблице: наибольшее, наименьшее, среднее

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Четверо ребят собрали 12, 48, 2 и 58 кг макулатуры. Кто больше всех? На сколько он обогнал последнего? Сколько в среднем собрал каждый? На такие вопросы и отвечают по таблице.

Извлечь числа из таблицы или диаграммы и выполнить с ними действия: найти наибольшее, наименьшее, их разность, сумму, среднее, количество значений больше среднего. 2 балла.

Что нужно знать

Вопрос	Что делать
Наибольшее (наименьшее) значение	Просмотреть все числа и выбрать самое большое (маленькое)
На сколько наибольшее больше наименьшего	Вычесть: наибольшее − наименьшее
Сумма всех значений	Сложить все числа
Среднее арифметическое	Сумму разделить на количество чисел

среднее = \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n}

a_{1}, \dots, a_{n}

— значения,

n

— сколько их

Разберём на примере

Ученик	Аня	Боря	Вера	Гриша
Собрано, кг	12	48	2	58

Выше пунктира среднего — два столбика: Боря и Гриша

Наибольшее — $58$ , наименьшее — $2$ .
На сколько больше: $58 - 2 = 56$ .
Сумма: $12 + 48 + 2 + 58 = 120$ .
Среднее: $120 : 4 = 30$ .
Больше среднего: $48$ и $58$ — 2 значения.

Ловушки

Делят сумму не на то число: среднее четырёх чисел — делим на $4$ , даже если одно из них маленькое или равно нулю.

«Сколько значений больше среднего» — ответ количество (например, 2), а не сами числа.

Среднее всегда лежит между наименьшим и наибольшим значением. Получили 30 при данных от 2 до 58 — правдоподобно.

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Наглядная геометрия: виды углов и единицы площади и объёма

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Угол — это «раскрытие» двух лучей из одной точки, как у ножниц. Чем шире раскрыты ножницы, тем больше угол. А площадь участка можно мерить и в квадратных метрах, и в сотках (арах) — как длину в метрах и сантиметрах.

Определить вид угла по градусной мере ( $∠ A OB = 9 5^{\circ}$ — тупой) или перевести величину площади или объёма в другие единицы. 1 балл.

Виды углов

Вид угла определяют сравнением с прямым (

9 0^{\circ}

) и развёрнутым (

18 0^{\circ}

)

Угол	Градусная мера	Пример
Острый	$0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$	$8 4^{\circ}$
Прямой	$α = 9 0^{\circ}$	угол тетрадного листа
Тупой	$9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$	$9 5^{\circ}$ , $16 8^{\circ}$
Развёрнутый	$α = 18 0^{\circ}$	стороны — одна прямая

$9 0^{\circ}$ — не тупой и не острый, а прямой; $18 0^{\circ}$ — не тупой, а развёрнутый.

Смежные углы и части угла

Смежные углы — два угла с общей стороной, у которых две другие стороны образуют прямую. Вместе они составляют развёрнутый угол, поэтому их сумма — $18 0^{\circ}$ .

12 4^{\circ} + 5 6^{\circ} = 18 0^{\circ}

Один из смежных углов равен $12 4^{\circ}$ . Найдите второй.

$18 0^{\circ} - 12 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ . Ответ: $56$ .

Если луч проходит внутри угла, он делит его на два угла, сумма которых равна всему углу. Луч внутри прямого угла даёт два угла с суммой $9 0^{\circ}$ .

Луч делит прямой угол на два угла, один из них $1 5^{\circ}$ . Найдите второй.

$9 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ . Ответ: $75$ .

Единицы площади и объёма

Единица	Чему равна
$1 дм^{2}$	$100 см^{2}$
$1 м^{2}$	$100 дм^{2} = 10000 см^{2}$
$1 а$ (ар, «сотка»)	$100 м^{2}$ (квадрат $10 \times 10$ м)
$1 га$ (гектар)	$10000 м^{2}$ (квадрат $100 \times 100$ м)
$1 км^{2}$	$1000000 м^{2}$
$1 л$	$1 дм^{3}$ ; $1 м^{3} = 1000 л$

Если $1 м = 10 дм$ , то квадрат $1 \times 1$ м содержит $10 \cdot 10 = 100$ квадратиков по $1 дм^{2}$ , а куб — $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ кубиков по $1 дм^{3}$ .

$57 м^{2} = 57 \cdot 100 = 5700 дм^{2}$ .
$57 м^{2} = 57 \cdot 10000 = 570000 см^{2}$ .
$6 га = 6 \cdot 10000 = 60000 м^{2}$ .
$53 м^{3} = 53 \cdot 1000 = 53000 л$ .

Для площади множитель — квадрат множителя длины: $1 м^{2}$ — это $100 дм^{2}$ , а не $10$ .

Ар — «сотка»: 100 м². Гектар — 100 соток: $100 \cdot 100 = 10000$ м².

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Разряды чисел, сравнение и округление

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

В числе $333$ три одинаковые цифры, но значат они разное: $300$ , $30$ и $3$ . Значение цифры зависит от её места — разряда. Это как в кошельке: одна купюра в 100 ₽ и одна монета в 1 ₽.

Назвать цифру в указанном разряде, сравнить два числа (натуральных или десятичных) или округлить число. 1 балл.

Разряды и классы

В числе

109350

в разряде сотен стоит цифра

3

Разряды считают справа налево: единицы, десятки, сотни, затем единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч. Каждые три разряда образуют класс.

Какая цифра в разряде сотен числа $874094$ ?

Отсчитываем справа: $4$ — единицы, $9$ — десятки, $0$ — сотни.
Ответ: $0$ .

Сравнение чисел

Больше то число, в котором больше цифр. Если цифр поровну — сравниваем поразрядно слева направо до первой различающейся цифры.

Сначала сравниваем целые части (до запятой). Если они равны — дробные части поразрядно: десятые, сотые, тысячные…

$58, 71 \dots 4, 924$ : целые части $58 > 4$ , значит $58, 71 > 4, 924$ .
$8, 403 \dots 96, 23$ : $8 < 96$ , значит $8, 403 < 96, 23$ .
$3, 5 \dots 3, 47$ : целые равны; десятые $5 > 4$ , значит $3, 5 > 3, 47$ .

Длина записи после запятой ничего не решает: $4, 924$ «длиннее», но меньше, чем $58, 71$ . А $3, 5 = 3, 50$ — нули в конце дробной части можно приписывать.

Округление

Смотрим на цифру справа от разряда, до которого округляем: если она $0, 1, 2, 3, 4$ — разряд не меняем; если $5, 6, 7, 8, 9$ — увеличиваем на 1. Все цифры правее заменяем нулями (в дробной части — отбрасываем).

$735829$ до тысяч: справа от тысяч цифра $8$ → $736000$ .
$735829$ до сотен: справа цифра $2$ → $735800$ .
$7, 217$ до десятых: справа цифра $1$ → $7, 2$ .

«Пять и больше — вверх, меньше пяти — оставляем».

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Задачи на нахождение доли и процента от числа

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

В пакете 175 конфет, и $\frac{6}{7}$ из них — шоколадные. Чтобы узнать, сколько это, делим все конфеты на 7 равных кучек (по 25) и берём 6 кучек: $6 \cdot 25 = 150$ .

Найти дробь от числа («найдите $\frac{6}{7}$ от 175») или процент от числа («найдите 5% от 880»). Ответ — число, 1 балл.

Дробь от числа

\frac{a}{b} от числа N = N : b \cdot a

делим на знаменатель

b

(находим одну долю), умножаем на числитель

a

175 : 7 = 25

— одна седьмая;

25 \cdot 6 = 150

— шесть седьмых

Найдите $\frac{5}{7}$ от числа $119$ .

Одна седьмая: $119 : 7 = 17$ .
Пять седьмых: $17 \cdot 5 = 85$ .
Ответ: $85$ .

Процент от числа

Процент — одна сотая часть: $1% = \frac{1}{100}$ . Значит, $p %$ — это дробь $\frac{p}{100}$ .

p % от N = N : 100 \cdot p

N

— число,

p

— сколько процентов

Найдите $5%$ от $880$ .

$1%$ : $880 : 100 = 8, 8$ .
$5%$ : $8, 8 \cdot 5 = 44$ . (Или: $880 \cdot 5 : 100 = 4400 : 100 = 44$ .)
Ответ: $44$ .

50%половина:

: 2

25%четверть:

: 4

10%десятая часть:

: 10

20%пятая часть:

: 5

Например, $25%$ от $1080$ : $1080 : 4 = 270$ .

Число по его проценту

Обратная задача: известна часть, и известно, сколько процентов она составляет. Находим $1%$ , затем все $100%$ .

N = M : p \cdot 100

M

— известная часть,

p

— сколько процентов она составляет,

N

— всё число

$4%$ числа равны $28$ . Найдите число.

$1%$ : $28 : 4 = 7$ .
$100%$ : $7 \cdot 100 = 700$ .
Ответ: $700$ .

Ищем всё число — ответ больше известной части. Получилось меньше $28$ — перепутали действия.

Частые ошибки

Путают порядок: делить нужно на знаменатель, а умножать на числитель. $\frac{3}{4}$ от $112$ : $112 : 4 \cdot 3 = 84$ , а не $112 : 3 \cdot 4$ .

Дробь от числа всегда не больше самого числа (если дробь правильная). Получилось $\frac{6}{7}$ от 175 больше 175 — ошибка.

«Знаменатель — делит, числитель — умножает»: знаменатель внизу — «делим вниз», числитель наверху — «набираем части».

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Периметр и площадь прямоугольника и квадрата

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Чтобы обклеить край рамки лентой, нужна длина всех сторон — это периметр. Чтобы закрыть рамку стеклом, нужен размер поверхности — это площадь.

На рисунке прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ . Нужно найти его периметр или площадь. Ответ — число, 1 балл.

Формулы

В прямоугольник

5 \times 3

помещается

15

квадратиков по

1 см^{2}

; обход по краю —

16

см

P = 2 \cdot (a + b), S = a \cdot b

прямоугольник

P = 4 \cdot a, S = a \cdot a = a^{2}

квадрат (все стороны равны)

Здесь $a$ — длина, $b$ — ширина (в см), $P$ — периметр (в см), $S$ — площадь (в см²).

Разберём примеры

Прямоугольник: $a = 6$ см, $b = 66$ см. Найдите периметр.

$a + b = 6 + 66 = 72$ (см) — это половина периметра.
$P = 2 \cdot 72 = 144$ (см).
Ответ: $144$ .

Прямоугольник: $a = 5$ см, $b = 45$ см. Найдите площадь.

$S = 5 \cdot 45 = 225$ (см²).
Ответ: $225$ .

Площадь прямоугольника $84$ см², длина $12$ см. Найдите ширину.

$b = S : a = 84 : 12 = 7$ (см).

Частые ошибки

Считают $P = a + b$ и забывают умножить на 2: у прямоугольника четыре стороны, две по $a$ и две по $b$ .

Путают, что спрашивают. Перед счётом подчеркните в условии слово: «периметр» → складываем, «площадь» → умножаем.

Разные единицы: если $a = 2$ дм, $b = 15$ см — сначала переведите в одни единицы: $2$ дм $= 20$ см.

Периметр — «сколько ленты», единицы длины (см). Площадь — «сколько плиток», единицы квадратные (см²).

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Делимость: признаки, делители, кратные, остаток

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

137 конфет нельзя разложить поровну в 10 коробок — 7 штук останутся лишними. Говорят: 137 не делится на 10, остаток 7. А 140 — делится: по 14 в каждой коробке.

Число $a$ делится на $b$ , если $a : b$ — целое число без остатка. Тогда $b$ — делитель числа $a$ , а $a$ — кратное числа $b$ .

Ответить «да/нет» о делимости, найти остаток, число делителей, наибольший делитель или ближайшее кратное. 1 балл.

Признаки делимости

На	Число делится, если…	Пример
2	последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6, 8	$574$
5	последняя цифра 0 или 5	$385$
10	последняя цифра 0	$390$
3	сумма цифр делится на 3	$897$ : $8 + 9 + 7 = 24$
9	сумма цифр делится на 9	$972$ : $9 + 7 + 2 = 18$
6	делится и на 2, и на 3	$552$

Делится ли $897$ на $6$ ?

На $3$ : сумма цифр $24$ делится на $3$ — да.
На $2$ : последняя цифра $7$ нечётная — нет.
Нужны оба условия, поэтому ответ: нет.

Делители и простые числа

Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя ( $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ ). Составное — больше двух делителей. Число $1$ ни простое, ни составное.

Сколько делителей у $797$ ?

Проверяем делимость на простые $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ пока их квадрат не больше $797$ (до $23$ , так как $2 9^{2} = 841$ ).
Ни на одно не делится — значит, $797$ простое.
Делителей два: $1$ и $797$ .

Наибольший делитель числа $432$ , не равный самому числу.

Наименьший делитель больше 1 — это $2$ (число чётное).
$432 : 2 = 216$ . Ответ: $216$ .

Остаток и ближайшее кратное

Остаток находят так: $a = b \cdot q + r$ , где $r < b$ . Например, $733 = 9 \cdot 81 + 4$ , остаток $4$ .

Кратные 9 идут с шагом 9; следующее за

967

— это

972

Наименьшее число больше $967$ , которое делится на $9$ .

$967 : 9 = 107$ (ост. $4$ ), то есть $9 \cdot 107 = 963 < 967$ .
Следующее кратное: $9 \cdot 108 = 972$ . Ответ: $972$ .

Признак делимости на 3 и 9 — по сумме цифр, а на 2, 5, 10 — по последней цифре. Не наоборот!

Всё, что делится на 9, делится и на 3, но не наоборот: $6$ делится на 3, но не на 9.

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Десятичные дроби: сложение, вычитание, умножение на 10, 100

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Цена 31,10 ₽ — это 31 рубль и 10 копеек. До запятой — целые, после — доли: десятые, сотые, тысячные. Чтобы складывать такие числа, рубли надо складывать с рублями, а копейки — с копейками.

Сложить, вычесть десятичные дроби или умножить (разделить) на $10$ , $100$ , $1000$ . Ответ — число, 1 балл. Дробную часть пишут через запятую.

Сложение и вычитание

Записываем числа так, чтобы запятая стояла под запятой. Недостающие разряды справа дополняем нулями. Складываем как натуральные числа, запятую в ответе ставим под запятыми.

31, 1 + 27, 64 = 58, 74

: десятые под десятыми, сотые под сотыми

$933, 6 + 80, 9$

Десятые: $6 + 9 = 15$ — пишем $5$ , переносим $1$ в единицы.
Целые: $933 + 80 + 1 = 1014$ .
Ответ: $1014, 5$ .

Нельзя выравнивать по правому краю, как натуральные числа: $31, 1 + 27, 64 \neq = 30, 75$ . Сотые складываются только с сотыми.

Умножение и деление на 10, 100, 1000

При умножении на $10$ , $100$ , $1000$ запятую переносят вправо на столько цифр, сколько нулей в множителе. При делении — влево.

Пример	Нулей	Ответ
$174, 7 \cdot 10$	1 → вправо на 1	$1747$
$67, 946 \cdot 100$	2 → вправо на 2	$6794, 6$
$9382 \cdot 100$	2 → дописываем нули	$938200$
$45, 3 : 100$	2 → влево на 2	$0, 453$

Если цифр для переноса не хватает, дописывают нули: $3, 5 \cdot 100 = 350$ , $4, 2 : 100 = 0, 042$ .

Умножаем на 100 — число должно стать в 100 раз больше: $67, 9 \to$ около $6800$ . Получилось $679, 46$ — запятую перенесли не туда.

ВПР по математике, 5 класс · Часть 1

Логические задачи: сумма и разность, перебор

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

У Ани и Бори вместе 98 наклеек, у Ани на 26 больше. Если Аня отдаст «лишние» 26 наклеек в сторону, у ребят станет поровну. Тогда остаток легко поделить пополам — это и есть количество наклеек Бори.

Задача повышенного уровня: нужно рассуждать, а не просто выполнить одно действие. Чаще всего известны сумма двух величин и их разность. 1 балл.

Задача на сумму и разность

Убираем «лишние» 22 — остаются две равные части:

(132 - 22) : 2 = 55

меньшее = \frac{S - D}{2}, большее = \frac{S + D}{2}

S

— сумма двух чисел,

D

— их разность

В корзине 132 яблока и груши, яблок на 22 больше. Сколько груш?

Без «лишних» яблок: $132 - 22 = 110$ .
Это две равные части — груши: $110 : 2 = 55$ .
Яблоки: $55 + 22 = 77$ . Проверка: $55 + 77 = 132$ ✓, $77 - 55 = 22$ ✓.
Ответ: $55$ .

Спрашивают про меньшее (груши, Боря, второй ящик) — вычитаем разность. Про большее — сначала найдите меньшее и прибавьте разность. Частая ошибка — просто разделить сумму пополам: $132 : 2 = 66$ .

Метод предположения

Если в задаче два вида предметов и известно общее количество и «общий вес» (ноги, колёса, стоимость), предположим, что все предметы одного вида, и посчитаем, сколько «не хватает».

Во дворе куры и кролики: 10 голов и 28 ног. Сколько кроликов?

Пусть все 10 — куры: ног было бы $10 \cdot 2 = 20$ .
Не хватает $28 - 20 = 8$ ног. Каждый кролик даёт на $2$ ноги больше курицы.
Кроликов: $8 : 2 = 4$ , кур: $10 - 4 = 6$ . Проверка: $4 \cdot 4 + 6 \cdot 2 = 28$ ✓

Перебор

Если вариантов немного, их можно перебрать по порядку, записывая в таблицу, — так ни один не потеряется.

Двузначное число: сумма его цифр равна 5, а цифра десятков на 3 больше цифры единиц. Найдите число.

Выпишем все двузначные числа с суммой цифр 5: $14, 23, 32, 41, 50$ .
Проверим второе условие: $4 - 1 = 3$ ✓, у остальных разность $- 3, - 1, 1, 5$ .
Ответ: $41$ .

Всегда делайте проверку по обоим условиям задачи — в логических задачах это главный способ поймать ошибку.

ВПР: математика: теория

Оглавление

Обыкновенные дроби: чтение, сравнение, сложение

Простыми словами

Дробь на рисунке

Сравнение дробей

Сложение и вычитание

Неправильная дробь и целая часть

Текстовые задачи «на … больше / меньше» и деление с остатком

Простыми словами

«На … больше» и «на … меньше»

Деление с остатком

Действия с натуральными числами

Простыми словами

Сложение многозначных чисел

Умножение столбиком

Вычитание и деление

Удобные приёмы

Данные в таблице: наибольшее, наименьшее, среднее

Простыми словами

Что нужно знать

Разберём на примере

Ловушки

Наглядная геометрия: виды углов и единицы площади и объёма

Простыми словами

Виды углов

Смежные углы и части угла

Единицы площади и объёма

Разряды чисел, сравнение и округление

Простыми словами

Разряды и классы

Сравнение чисел

Округление

Задачи на нахождение доли и процента от числа

Простыми словами

Дробь от числа

Процент от числа

Число по его проценту

Частые ошибки

Периметр и площадь прямоугольника и квадрата

Простыми словами

Формулы

Разберём примеры

Частые ошибки

Делимость: признаки, делители, кратные, остаток

Простыми словами

Признаки делимости

Делители и простые числа

Остаток и ближайшее кратное

Десятичные дроби: сложение, вычитание, умножение на 10, 100

Простыми словами

Сложение и вычитание

Умножение и деление на 10, 100, 1000

Логические задачи: сумма и разность, перебор

Простыми словами

Задача на сумму и разность

Метод предположения

Перебор