Учебник reknow · 4 класс

ВПР: математика: теория

6 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:4 5 6 7 8 Математика по всем классам →

Устные вычисления в пределах 100
Порядок действий в числовом выражении
Величины и перевод единиц измерения
Периметр и площадь фигуры из прямоугольников
Чтение таблиц и столбчатых диаграмм
Письменные вычисления с многозначными числами

ВПР по математике, 4 класс

Устные вычисления в пределах 100

Простыми словами

В магазине без калькулятора: хлеб за 61 ₽ и сок за 39 ₽ — сколько всего? Удобно сложить единицы $1 + 9 = 10$ , а потом десятки — получится ровно $100$ . Устный счёт — это набор таких удобных приёмов.

Одно действие с числами в пределах 100: сложение, вычитание, умножение или деление. Ответ — одно число. Задание оценивается в 1 балл, на него стоит потратить не больше 2–3 минут.

Сложение и вычитание

Приём 1. По разрядам. Складываем (вычитаем) отдельно десятки и отдельно единицы.

45 + 32 = (40 + 30) + (5 + 2) = 70 + 7 = 77

Приём 2. Через круглое число. Если единицы в сумме дают 10 и больше, сначала «добираем» до десятка.

29 + 53 = 29 + 1 + 52 = 30 + 52 = 82

Приём 3. Вычитание по частям. Вычитаемое раскладываем на десятки и единицы и отнимаем по очереди.

77 - 13

: сначала отнимаем 10 (получаем 67), потом 3 (получаем 64)

Вычислите $61 + 39$ .

Единицы: $1 + 9 = 10$ — это один десяток.
Десятки: $60 + 30 = 90$ , и ещё $10$ от единиц.
Ответ: $90 + 10 = 100$ .

Сложение проверяют вычитанием, вычитание — сложением: $64 + 13 = 77$ ✓.

Умножение и деление

Умножение — это сложение одинаковых чисел: $5 \cdot 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20$ . Здесь нужна таблица умножения — её знают наизусть.

Деление — действие, обратное умножению. Чтобы найти $64 : 8$ , спрашиваем: «на что умножить 8, чтобы вышло 64?» $8 \cdot 8 = 64$ , значит $64 : 8 = 8$ .

a \cdot b = c \Rightarrow c : a = b, c : b = a

a

b

— множители,

c

— произведение

Двузначное число на однозначное умножают по разрядам: $23 \cdot 3 = 20 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 60 + 9 = 69$ . Делят так же: $84 : 4 = 80 : 4 + 4 : 4 = 20 + 1 = 21$ .

Особые случаи

a \cdot 1 = a

a \cdot 0 = 0

a : 1 = a

0 : a = 0

НельзяДелить на нуль: запись

5 : 0

не имеет смысла.

Частые ошибки

Забывают перенести десяток: $29 + 53 = 72$ — неверно. Единицы $9 + 3 = 12$ дают ещё один десяток, правильно $82$ .

При вычитании отнимают меньшую цифру из большей «как удобно»: $52 - 17 = 45$ — неверно. Правильно: $52 - 10 = 42$ , $42 - 7 = 35$ .

Перед записью ответа прикиньте: $77 - 13$ — это «примерно $80 - 10 = 70$ », значит ответ около 65. Получили 90 — ищите ошибку.

ВПР по математике, 4 класс

Порядок действий в числовом выражении

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Купили 5 пачек печенья по 7 ₽ и булку за 28 ₽. Сначала считаем, сколько стоят пачки ( $5 \cdot 7 = 35$ ), и только потом прибавляем булку: $28 + 35 = 63$ . Математика договорилась считать так же — это и есть порядок действий.

Найти значение выражения из 2–4 действий, соблюдая порядок действий. Ответ — одно число, 1 балл.

Правило порядка действий

Сначала — действия в скобках.
Затем — умножение и деление по порядку слева направо.
В конце — сложение и вычитание по порядку слева направо.

Перед вычислением полезно надписать над знаками номера действий.

Скобки → деление → умножение → вычитание:

18 + 12 = 30

30 : 5 = 6

6 \cdot 2 = 12

100 - 12 = 88

Разберём примеры

$28 + 5 \cdot 7$

Скобок нет. Умножение раньше сложения: $5 \cdot 7 = 35$ .
Сложение: $28 + 35 = 63$ .
Ответ: $63$ .

$(27 + 5) \cdot 7$

Сначала скобки: $27 + 5 = 32$ .
Умножаем: $32 \cdot 7 = 30 \cdot 7 + 2 \cdot 7 = 210 + 14 = 224$ .
Ответ: $224$ .

$40 - 3 \cdot 4$

Умножение: $3 \cdot 4 = 12$ .
Вычитание: $40 - 12 = 28$ .

Сравните: $(27 + 5) \cdot 7 = 224$ , а $27 + 5 \cdot 7 = 62$ . Скобки меняют порядок — и ответ.

Частые ошибки

Считают просто слева направо: $28 + 5 \cdot 7 = 33 \cdot 7 = 231$ — неверно. Умножение выполняется раньше сложения.

Умножение и деление идут по очереди слева направо, а не «сначала умножение»: $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$ , а не $24 : 8 = 3$ .

«Скобки — главные, умножение и деление — старшие, сложение и вычитание — младшие». Старшие ходят раньше младших, равные — по очереди слева направо.

ВПР по математике, 4 класс

Величины и перевод единиц измерения

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Одну и ту же длину можно записать по-разному: 1 м — это 100 см, как 1 рубль — это 100 копеек. Перевести величину — значит узнать, сколько мелких единиц помещается в крупных.

Два вида вопросов: « $7 м = \dots см$ » (перевести) и «во сколько раз 1 м больше 1 см?» (сравнить единицы). Ответ — число, 1 балл.

Таблица единиц

Величина	Соотношения
Длина	1 км = 1000 м; 1 м = 10 дм = 100 см; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм
Масса	1 т = 1000 кг; 1 ц = 100 кг; 1 кг = 1000 г
Время	1 сут = 24 ч; 1 ч = 60 мин; 1 мин = 60 с
Площадь	1 дм² = 100 см²; 1 м² = 100 дм² = 10 000 см²

Вниз по лесенке (к мелким единицам) — умножаем; в квадратном дециметре 100 квадратных сантиметров

Как переводить

Из крупных единиц в мелкие — умножаем на число мелких единиц в одной крупной. Из мелких в крупные — делим.

$8 сут = \dots ч$

В одних сутках 24 часа.
$8 \cdot 24 = 192$ .
Ответ: $192$ .

$5 дм^{2} = \dots см^{2}$

$1 дм^{2} = 100 см^{2}$ (не 10!).
$5 \cdot 100 = 500$ . Ответ: $500$ .

Во сколько раз 1 мин больше 1 с?

В одной минуте 60 секунд.
Значит, 1 мин больше 1 с в $60$ раз. Ответ: $60$ .

Так же: 1 м больше 1 см в 100 раз, 1 км больше 1 м в 1000 раз, 1 ц больше 1 кг в 100 раз.

Частые ошибки

В часе 60 минут, а не 100: $3 ч = 180 мин$ , а не 300.

Для площади множитель — квадрат: $1 м = 10 дм$ , но $1 м^{2} = 10 \cdot 10 = 100 дм^{2}$ .

«Кило» — тысяча: километр — 1000 м, килограмм — 1000 г. «Санти» — сотая часть: сантиметр — сотая доля метра.

ВПР по математике, 4 класс

Периметр и площадь фигуры из прямоугольников

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Периметр — длина забора вокруг участка: идём по краю и складываем все стороны. Площадь — сколько плиток 1×1 см нужно, чтобы покрыть фигуру целиком.

Дана фигура из двух-трёх прямоугольников с подписанными сторонами. Нужно найти её периметр (в см) или площадь (в см²). Задание оценивается в 2 балла.

Главные формулы

P = (a + b) \cdot 2, S = a \cdot b

периметр и площадь прямоугольника

где $a$ — длина, $b$ — ширина прямоугольника (в см), $P$ — периметр (в см), $S$ — площадь (в см²).

ПериметрСумма длин всех сторон. Единицы: см, дм, м.

ПлощадьСколько единичных квадратов помещается. Единицы: см², дм², м².

Фигура с вырезом

Пунктир справа сверху — вырезанный квадрат; зелёный пунктир делит фигуру на два прямоугольника

Способ 1 — достроить и вычесть. Целый прямоугольник: $5 \cdot 4 = 20 см^{2}$ , вырез: $1 \cdot 1 = 1 см^{2}$ ; $20 - 1 = 19 см^{2}$ .
Способ 2 — разрезать. Слева $4 \cdot 4 = 16 см^{2}$ , справа $1 \cdot 3 = 3 см^{2}$ ; $16 + 3 = 19 см^{2}$ .
Ответ: $19$ .

Обходим фигуру по краю: $4 + 1 + 1 + 3 + 5 + 4 = 18 см$ .
Проверка: вырез в углу не меняет периметр — две стороны выреза ( $1$ и $1$ ) можно «сдвинуть» на место срезанного угла, получится прямоугольник $5 \times 4$ : $(5 + 4) \cdot 2 = 18$ см.
Ответ: $18$ .

Алгоритм и ловушки

Найдите длины всех сторон: неподписанную сторону получают сложением или вычитанием подписанных (например, $5 - 1 = 4$ ).
Периметр — сложите все стороны, обходя фигуру по кругу.
Площадь — разрежьте фигуру на прямоугольники (или достройте до большого и вычтите лишнее).

Не путайте: периметр — в см, площадь — в см². Площадь фигуры с вырезом уменьшается, а периметр от выреза в углу — нет.

Если вырез сделан в середине стороны (как буква П), периметр увеличивается на две боковые стороны выреза.

Периметр — «пери» значит «вокруг»: обойти вокруг. Площадь — «сколько плиток положить».

ВПР по математике, 4 класс

Чтение таблиц и столбчатых диаграмм

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Таблица и диаграмма — два способа показать одни и те же числа. В таблице число записано в клетке, на диаграмме — нарисовано высотой столбика. Задача — правильно «прочитать» число и выполнить с ним одно-два действия.

Найти по таблице или диаграмме значения и ответить на вопрос: «сколько всего вместе?», «на сколько больше?», «найдите сумму всех значений». Ответ — число, 2 балла.

Таблица

Прочитано книг	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт
книг	28	15	22	33	32

Строка — что считали, столбец — когда (кто). Нужное число стоит на пересечении строки и столбца.

Сколько книг прочитали во вторник и в четверг вместе?

Вт — $15$ , Чт — $33$ .
«Вместе» — складываем: $15 + 33 = 48$ .
Ответ: $48$ .

Столбчатая диаграмма

Значение столбика — по горизонтальной линии от его верха до шкалы. Пн: 8, Пт: 4, разница

8 - 4 = 4

Посмотрите на шкалу слева: какой шаг между делениями (здесь 2).
От верха столбика ведите взгляд (или линейку) горизонтально к шкале.
Если верх между делениями — значение посередине: между 8 и 10 — это 9.

На сколько больше в Пн, чем в Пт? $8 - 4 = 4$ .
Сумма всех значений: $8 + 12 + 6 + 10 + 4 = 40$ .

Ловушки

«Вместе», «всего»Складываем.

«На сколько больше / меньше»Из большего вычитаем меньшее.

«Во сколько раз»Большее делим на меньшее.

Шаг шкалы не всегда 1: если деления подписаны 0, 5, 10, 15, то столбик до третьего деления — это 15, а не 3.

Выпишите нужные числа рядом с вопросом («Пн — 8, Пт — 4») и только потом считайте: так меньше путаницы.

ВПР по математике, 4 класс

Письменные вычисления с многозначными числами

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Большие числа в уме считать трудно, поэтому их записывают столбиком: единицы под единицами, десятки под десятками. Тогда сложное действие распадается на несколько простых — с однозначными числами.

Одно действие с числами в пределах 10 000: сложение, вычитание, умножение или деление на однозначное число (иногда с остатком). Ответ — число, 1 балл.

Сложение и вычитание столбиком

Пишем последнюю цифру суммы разряда, а единицу «держим в уме» — переносим в следующий разряд

Вычитание — так же справа налево. Если цифры не хватает, занимаем 1 у соседнего старшего разряда (он уменьшается на 1, а у нас прибавляется 10).

$4728 - 1352$

Единицы: $8 - 2 = 6$ .
Десятки: $2 - 5$ нельзя; занимаем сотню: $12 - 5 = 7$ . Сотен осталось $6$ .
Сотни: $6 - 3 = 3$ . Тысячи: $4 - 1 = 3$ .
Ответ: $3376$ . Проверка: $3376 + 1352 = 4728$ ✓

Умножение и деление

$394 \cdot 8$

$4 \cdot 8 = 32$ : пишем $2$ , держим $3$ .
$9 \cdot 8 = 72$ , $72 + 3 = 75$ : пишем $5$ , держим $7$ .
$3 \cdot 8 = 24$ , $24 + 7 = 31$ : пишем $31$ .
Ответ: $3152$ .

$1073 : 5$ — найти неполное частное.

Первое неполное делимое — $10$ : $10 : 5 = 2$ .
Сносим $7$ : $7 : 5 = 1$ , остаток $2$ .
Сносим $3$ : получаем $23$ ; $23 : 5 = 4$ , остаток $3$ .
Неполное частное $214$ , остаток $3$ . Проверка: $214 \cdot 5 + 3 = 1073$ ✓

a = b \cdot q + r, r < b

a

— делимое,

b

— делитель,

q

— неполное частное,

r

— остаток

Частые ошибки

Числа подписаны «по левому краю»: $1586 + 165$ надо писать так, чтобы $5$ стояла под $6$ (единицы под единицами).

Забыли нуль в частном: $816 : 4 = 204$ , а не $24$ — когда $1 : 4$ не делится, в частном пишут $0$ .

Сложение проверяют вычитанием, умножение — делением, деление — умножением. Прикидка тоже помогает: $394 \cdot 8 \approx 400 \cdot 8 = 3200$ .

ВПР: математика: теория

Оглавление

Устные вычисления в пределах 100

Простыми словами

Сложение и вычитание

Умножение и деление

Частые ошибки

Порядок действий в числовом выражении

Простыми словами

Правило порядка действий

Разберём примеры

Частые ошибки

Величины и перевод единиц измерения

Простыми словами

Таблица единиц

Как переводить

Частые ошибки

Периметр и площадь фигуры из прямоугольников

Простыми словами

Главные формулы

Фигура с вырезом

Алгоритм и ловушки

Чтение таблиц и столбчатых диаграмм

Простыми словами

Таблица

Столбчатая диаграмма

Ловушки

Письменные вычисления с многозначными числами

Простыми словами

Сложение и вычитание столбиком

Умножение и деление

Частые ошибки