Задание 2 ВПР по математике 8 класс 2027: алгебраические дроби

Преобразование алгебраических дробей. 1 балл · базовый уровень · ≈5 минут · часть 1. 100 заданий с проверкой ответа и разбором.

Простыми словами

$\frac{12}{18}$ сокращают, разложив числа на множители: $\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ . С буквами — то же самое: числитель и знаменатель раскладывают на множители и сокращают одинаковые скобки. После этого подставлять число гораздо проще.

В задании 2 нужно найти значение алгебраической дроби (или выражения с дробями) при данном значении переменной. Ответ — число. Задание стоит 1 балл.

Алгебраическая дробь — дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены, например $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ . Знаменатель не может равняться нулю: здесь $x \neq = 3$ .

Формулы для разложения

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

разность квадратов

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}, a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

квадрат суммы и квадрат разности

Вынесение общего множителя

x^{2} - 5 x = x (x - 5)

;

3 a + 6 = 3 (a + 2)

Сокращение

\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}

— сокращать можно только множители, а не слагаемые.

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}

при

x = 5

: три шага

Разберём задания

$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ при $x = 5$

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
$\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ .
$5 + 3 = 8$ .

$\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x + 2}$ при $x = 13$

$x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ .
$\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x + 2} = x + 2$ .
$13 + 2 = 15$ .

$\frac{a ^{2} - 5 a}{a ^{2} - 25}$ при $a = - 3$

$\frac{a ( a - 5 )}{( a - 5 ) ( a + 5 )} = \frac{a}{a + 5}$ .
$\frac{- 3}{- 3 + 5} = - \frac{3}{2} = - 1, 5$ .

$\frac{3}{x} + \frac{2}{x}$ при $x = 0, 5$

$\frac{5}{x} = \frac{5}{0 , 5} = 10$ .

Ловушки

Нельзя сокращать слагаемые: $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} \neq = \frac{x - 9}{1}$ и $\frac{x + 5}{5} \neq = x$ .

$(x + 2)^{2} \neq = x^{2} + 4$ : не забывайте удвоенное произведение $4 x$ .

Проверка: подставьте число и в исходную дробь, и в сокращённую. При $x = 5$ : $\frac{25 - 9}{2} = 8$ ✓. Если подстановка сразу простая — можно считать и без сокращения.

Умножение и сложение дробей с буквами

$\frac{7 a}{9 b} \cdot \frac{4 b}{3 a}$

Числители перемножаем с числителями, знаменатели — со знаменателями: $\frac{7 a \cdot 4 b}{9 b \cdot 3 a}$ .
Сокращаем $a$ и $b$ : $\frac{28}{27}$ . Ответ не зависит от переменных.

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ при $a = 4$ , $b = 3$ : $\frac{a + b}{ab} = \frac{7}{12}$ . Можно и сразу подставить: $\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 4}{12}$ .

Ответ записывают обыкновенной несократимой дробью или десятичной: $\frac{27}{14}$ не обращается в конечную десятичную дробь, поэтому её оставляют обыкновенной.

Где это проходят в школе

Тема этого номера разбирается в школьном курсе этого же класса:

Алгебра, 8 класс

Там же — теория и по сто заданий на каждую тему: ВПР проверяет именно программу класса, а не отдельный «экзаменационный» материал.

Примеры заданий 2 ВПР по математике, 8 класс

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите значение выражения при указанном значении переменной.

(x² − 9) / (x − 3), при x = 5

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Дробь сокращается до x + 3; при x = 5 получаем 8.

Чему равно значение дроби при данном значении переменной?

(x² + 4x + 4) / (x + 2), при x = 13

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. После сокращения остаётся x + 2 = 15.

Упростите выражение. Ответ не зависит от переменной.

(7a / 9b) · (4b / 3a)

Показать ответ

Ответ: 2827
Решение. После сокращения: 7 · 4 / (9 · 3) = 28/27.

Вычислите значение дроби после сокращения.

1/a + 1/b, при a = 4, b = 3

Показать ответ

Ответ: 712
Решение. (4 + 3) / (4 · 3) = 7/12.

Сократите дробь и вычислите её значение.

(x² − 49) / (x − 7), при x = 20

Показать ответ

Ответ: 27
Решение. Дробь сокращается до x + 7; при x = 20 получаем 27.

Упростите выражение и найдите его значение.

(x² + 10x + 25) / (x + 5), при x = 15

Показать ответ

Ответ: 20
Решение. После сокращения остаётся x + 5 = 20.

Выполните действия с дробями и запишите результат.

(9a / 6b) · (9b / 7a)

Показать ответ

Ответ: 2714
Решение. После сокращения: 9 · 9 / (6 · 7) = 27/14.

Запишите значение выражения при указанном x.

1/a + 1/b, при a = 8, b = 2

Показать ответ

Ответ: 58
Решение. (8 + 2) / (8 · 2) = 5/8.

Задание 2. Алгебраические дроби

Простыми словами

Формулы для разложения

Разберём задания

Ловушки

Умножение и сложение дробей с буквами

Где это проходят в школе

Примеры заданий 2 ВПР по математике, 8 класс