Тема 05 · Геометрия · Глава VII «Площадь» · подтема 8 из 8

▲ Составные фигуры и разрезания

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Параллелограмм можно разрезать и переложить кусок так, что получится прямоугольник с той же основой и высотой. Треугольник — половина параллелограмма. Трапеция — два треугольника. Так все формулы вырастают из $S = ab$ .

Отрезаем треугольник слева и приставляем справа — получается прямоугольник

a \times h

Параллелограмм и треугольник

S_{пар} = a \cdot h_{a}

a

— сторона (основание),

h_{a}

— высота, проведённая к ней

У параллелограмма две высоты, и $a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}$ : к большей стороне проведена меньшая высота. Ромб — тоже параллелограмм: $S = ah$ .

S_{△} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}

половина произведения стороны на высоту к ней

Основание $12$ , высота $9$ : $S_{△} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$ .

• Прямоугольный треугольник: $S = \frac{1}{2} ab$ ( $a, b$ — катеты) $= \frac{1}{2} c h$ ( $c$ — гипотенуза, $h$ — высота к ней).
• Высоты равны ⇒ площади относятся как основания; медиана делит треугольник на два равновеликих.
• Если угол одного треугольника равен углу другого, площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 21$ , $BC = 28$ , $A B = 35$ . Найти высоту $C H$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 28 = 294$ .
$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot C H$ ⇒ $C H = \frac{2 \cdot 294}{35} = 16, 8$ .

Высота должна быть проведена именно к той стороне, которую умножаем. Боковая сторона параллелограмма — не высота.

Трапеция

S = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h

a, b

— основания,

h

— высота,

m

— средняя линия

Основания $8$ и $11$ , высота $9$ : $S = \frac{19}{2} \cdot 9 = 85, 5$ .
Обратная задача: $S = 374$ , $BC = 12$ , $A D = 22$ : $h = \frac{374}{17} = 22$ .

Диагональ делит трапецию на два треугольника с той же высотой, поэтому их площади относятся как основания.

$S_{A BC D} = 72$ , $S_{A BC} = 24$ ⇒ $S_{A C D} = 72 - 24 = 48$ .

Диагонали пересекаются в $O$ , $BC = 6$ , $A D = 24$ , $S_{BOC} = 16$ . Найти $S_{A O D}$ .

$△ BOC \sim △ D O A$ (накрест лежащие углы при $BC ∥ A D$ ), $k = \frac{24}{6} = 4$ .
Площади относятся как $k^{2} = 16$ : $S_{A O D} = 16 \cdot 16 = 256$ .

Ромб, квадрат, составные фигуры

S_{ромба} = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}, S_{квадрата} = \frac{1}{2} d^{2}

d_{1}, d_{2}

— диагонали ромба,

d

— диагональ квадрата

Периметр ромба $232$ , диагональ $A C = 80$ . Найти площадь.

Сторона $232 : 4 = 58$ . Диагонали перпендикулярны и делятся пополам: половина $B D$ равна $5 8^{2} - 4 0^{2} www.reknow.ru = 42$ .
$B D = 84$ , $S = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 84 = 3360$ .

Диагонали ромба $16$ и $12$ : $S = 96$ , сторона $8^{2} + 6^{2} www.reknow.ru = 10$ , высота $h = \frac{96}{10} = 9, 6$ .

Рамка шириной $4$ в прямоугольнике $19 \times 17$ : $323 - 11 \cdot 9 = 224$ .
Прямоугольник $28 \times 13$ и треугольник высотой $3$ на верхней стороне: $364 + \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 3 = 406$ .

Против угла $3 0^{\circ}$ катет — половина гипотенузы, поэтому при угле $3 0^{\circ}$ высота параллелограмма равна половине боковой стороны: $S = \frac{ab}{2}$ .

Обратные задачи и изменения размеров

Сторона и высота меняются: площадь умножается на произведение множителей. Сторону увеличили в 5 раз, высоту уменьшили в 2 раза — площадь увеличилась в $2, 5$ раза; сторону уменьшили в 6 раз, высоту увеличили в 6 раз — площадь не изменилась.
Две высоты и периметр: $a \cdot 7 = b \cdot 6 = S$ и $a + b = 65$ . Тогда $a = 6 t$ , $b = 7 t$ , $13 t = 65$ , $t = 5$ , $S = 30 \cdot 7 = 210$ .
Ромб: $S = ah$ , сторона $= P : 4$ . $S = 225$ , $P = 100$ ⇒ $a = 25$ , $h = 9$ .
Угол $3 0^{\circ}$ или $15 0^{\circ}$ : высота равна половине соседней стороны. $S = 240$ , сторона $20$ , тупой угол $15 0^{\circ}$ : $20 \cdot \frac{b}{2} = 240$ , $b = 24$ .
Трапеция: одно основание на $d$ больше: $S = \frac{2 x + d}{2} \cdot h$ . $S = 62$ , $h = 4$ , $d = 7$ : $2 x + 7 = 31$ , $x = 12$ , большее $19$ . Основания в отношении $3 : 7$ : $\frac{10 t}{2} \cdot 3 = 60$ , $t = 4$ , меньшее $12$ .
Равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ : $S = \frac{c ^{2}}{4}$ ( $c = 26$ ⇒ $169$ ); с катетом $a$ : $S = \frac{a ^{2}}{2}$ .

Площади частей фигур

Треугольник с основанием на стороне параллелограмма и вершиной на противоположной стороне — половина параллелограмма: $S_{A M D} = 99$ ⇒ $S_{A BC D} = 198$ . Тогда остальные два треугольника $A BM$ и $MC D$ вместе — тоже половина.
Высота тупоугольного треугольника проводится к продолжению стороны, но формула та же: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A H$ .
Точка $D$ на $A C$ с $A D : D C = 4 : 1$ : $S_{A B D} : S_{CB D} = 4 : 1$ (общая высота из $B$ ). Медиана медианы: $BM$ делит площадь пополам, $M K$ — ещё пополам, $36 \to 18 \to 9$ .
Трапеция с углом $3 0^{\circ}$ при боковой стороне $12$ : высота $6$ ; $S = \frac{10 + 26}{2} \cdot 6 = 108$ .
Прямая $CE ∥ A B$ отсекает от трапеции параллелограмм $A BCE$ и треугольник $CE D$ с той же высотой.
Средняя линия делит трапецию на две трапеции с высотой $\frac{h}{2}$ : $S_{MBCN} = \frac{BC + MN}{2} \cdot \frac{h}{2}$ .
Середины сторон прямоугольника, соединённые по порядку, дают ромб площадью в половину прямоугольника: $18 \cdot 10 : 2 = 90$ .
Срезанный угол — прямоугольный треугольник: $9 \cdot 7 - \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 48$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Площадь параллелограмма Площадь трапеции Площадь треугольника

Серия: 0