Учебник reknow · 7 класс

Алгебра: теория

14 тем — объяснения простым языком, формулы, рисунки и разобранные примеры. К каждой теме — тренажёр.

Классы:7 8 9 10 11 Математика по всем классам →

Вычисления и числовые преобразования
Выражения, тождества, уравнения
Проценты, доли и пропорции
Функции. Линейная функция
Степени и преобразование выражений
Степень с натуральным показателем
Формулы сокращённого умножения
Многочлены
Многочлены и разложение на множители
Формулы сокращённого умножения
Линейные уравнения и системы
Системы линейных уравнений
Текстовые задачи
Линейная функция и элементы теории чисел

Тема 01 · Алгебра, углублённый уровень

Вычисления и числовые преобразования

Потренироваться: задания по теме →

Прогрессии

Простыми словами

Хороший вычислитель не считает «в лоб», а сначала смотрит на выражение: что можно вынести за скобки, какие числа дают круглый результат, какую дробь удобнее перевести. Минута на план экономит десять минут счёта и защищает от ошибок.

Многоэтажные дроби

Черта дроби — это знак деления и одновременно скобки. Сначала до конца считают числитель, отдельно — знаменатель, и только потом делят.

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

a, b, c, d \neq = 0

; делить на дробь — умножать на обратную

Десятичные дроби полезно сразу перевести в обыкновенные: $0, 5 = \frac{1}{2}$ , $0, 25 = \frac{1}{4}$ , $0, 2 = \frac{1}{5}$ , $1, 2 = \frac{6}{5}$ , $0, 75 = \frac{3}{4}$ .

$(0, 5 + \frac{1}{2}) : (1, 2 - \frac{2}{3})$

Первая скобка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .
Вторая: $\frac{6}{5} - \frac{2}{3} = \frac{18}{15} - \frac{10}{15} = \frac{8}{15}$ .
$1 : \frac{8}{15} = \frac{15}{8} = 1, 875$ .

Так же: $(0, 1 + \frac{3}{4}) : (0, 25 - \frac{1}{9}) = 0, 85 : \frac{5}{36} = \frac{0 , 85 \cdot 36}{5} = 6, 12$ .

Действия с модулем

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

модуль — расстояние от числа

a

до нуля, он всегда неотрицателен;

∣ a - b ∣

— расстояние между точками

a

b

$∣3 - 19∣ \cdot 9 - ∣ - 17 - (- 5) ∣ = ∣ - 16∣ \cdot 9 - ∣ - 12∣ = 144 - 12 = 132$ .
$∣16 - 21∣ + ∣21 - 22∣ - ∣16 - 22∣ = 5 + 1 - 6 = 0$ .

Модуль — тоже скобки: сначала вычисляют всё внутри, потом «снимают» знак. $∣3 - 19∣ \neq = 3 + 19$ .

Сумма $∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣$ при любом $x$ между $a$ и $b$ равна длине отрезка $b - a$ : путь от $a$ до $x$ плюс путь от $x$ до $b$ .

Рациональные приёмы счёта

Приём	Пример
$ab + a c = a (b + c)$	$37 \cdot 48 + 37 \cdot 52 = 37 \cdot 100 = 3700$ ; $23 \cdot 21 - 23 \cdot 11 = 23 \cdot 10 = 230$
удобные пары	$25 \cdot 4 = 100$ , $2 \cdot 50 = 100$ , $125 \cdot 8 = 1000$ , $2, 5 \cdot 4 = 10$
$99 = 100 - 1$	$99 \cdot 43 = 4300 - 43 = 4257$
сумма подряд	$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Удвоенная сумма

= 139 \cdot 140

, значит,

1 + 2 + \dots + 139 = \frac{139 \cdot 140}{2} = 9730

Сравнение и оценка

Дроби сравнивают через общий знаменатель, через общий числитель или сравнивая каждую с эталоном $\frac{1}{2}$ либо $1$ .

Наибольшее из $\frac{1}{2}; \frac{3}{8}; \frac{1}{3}; \frac{4}{13}$ : все, кроме $\frac{1}{2}$ , меньше половины ( $3 < 4$ , $1 < 1, 5$ , $4 < 6, 5$ ). Ответ $\frac{1}{2}$ .
Наименьшее из $\frac{4}{7}; \frac{9}{13}; \frac{1}{3}; \frac{5}{16}$ : первые две больше $\frac{1}{2}$ . Сравним $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ и $\frac{5}{16}$ — при равных числителях меньше дробь с бо́льшим знаменателем. Ответ $\frac{5}{16}$ .

Чем меньше дополнение дроби до единицы, тем сама дробь больше: $\frac{9}{10} > \frac{8}{9}$ , потому что $\frac{1}{10} < \frac{1}{9}$ .

Целая часть числа — наибольшее целое, не превосходящее его; для дроби её находят делением числителя на знаменатель с остатком: $\frac{47}{6} = 7 \frac{5}{6}$ , целая часть $7$ .

Буквенные выражения с числовым ответом

Если после раскрытия скобок и приведения подобных все слагаемые с буквой уничтожаются, значение выражения одно и то же при любом значении переменной.

$11 (x + 7) - 11 x - 11 = 11 x + 77 - 11 x - 11 = 66$ .
$(3 x + 11 y) - (3 x - 4 y) = 3 x + 11 y - 3 x + 4 y = 15 y$ ; при $y = - 3$ : $- 45$ .
$5 (x + 3) - 5 x = 15$ .

Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $- (3 x - 4 y) = - 3 x + 4 y$ .

Если известна не сама буква, а комбинация ( $a + b$ , $x - y$ ), ищите эту комбинацию целиком: $7 a + 7 b = 7 (a + b)$ .

Ещё типы заданий

Раскрыть модуль при условии: при $x < 22$ выражение $x - 22$ отрицательно, поэтому $∣ x - 22∣ = 22 - x$ и $9∣ x - 22∣ = 9 (22 - x)$ ; при $x > 7$ : $∣ x - 7∣ = x - 7$ .
Сколько целых чисел между дробями $\frac{20}{9}$ и $\frac{29}{4}$ : $\frac{20}{9} = 2 \frac{2}{9}$ , $\frac{29}{4} = 7 \frac{1}{4}$ ; между ними целые $3, 4, 5, 6, 7$ — пять чисел.
Противоположные скобки: $y - x = - (x - y)$ , поэтому $12 (x - y) + 9 (y - x) = 12 (x - y) - 9 (x - y) = 3 (x - y) = 30$ при $x - y = 10$ .
Буква через букву: $\frac{9 a + 14 b}{b}$ при $a = 4 b$ : $\frac{36 b + 14 b}{b} = \frac{50 b}{b} = 50$ ( $b \neq = 0$ ).
$99 \cdot 62 = 6200 - 62 = 6138$ ; $2 \cdot 92 \cdot 50 = 100 \cdot 92 = 9200$ .

Тема 1 · Алгебра

Выражения, тождества, уравнения

Потренироваться: задания по теме →

Калькулятор уравнений

Простыми словами

Такси берёт 100 ₽ за посадку и 30 ₽ за километр. Цену поездки на $x$ км можно записать одной строкой: $100 + 30 x$ . Это буквенное выражение: подставили число километров — получили цену.

Числовое выражениеТолько числа и знаки действий:

9^{2} - 5

. Его можно вычислить:

81 - 5 = 76

Буквенное выражениеЕсть буквы-переменные:

6 a + 4 b

. Значение зависит от того, какие числа подставить вместо букв.

Тождество — равенство, верное при любых значениях букв: $a + b = b + a$ , $2 (x + 3) = 2 x + 6$ . Заменить выражение тождественно равным — значит выполнить тождественное преобразование.

Порядок действий и значение выражения

действия в скобках;
возведение в степень;
умножение и деление — слева направо;
сложение и вычитание — слева направо.

Найдите значение $5^{2} - 9$ .

Сначала степень: $5^{2} = 25$ .
Потом вычитание: $25 - 9 = 16$ .

Найдите $6 a + 4 b$ при $a = 4$ , $b = 8$ .

Подставляем числа вместо букв: $6 \cdot 4 + 4 \cdot 8$ .
Умножение раньше сложения: $24 + 32 = 56$ .

Так же $a \cdot b - 4$ при $a = 5$ , $b = 4$ : $5 \cdot 4 - 4 = 20 - 4 = 16$ .

Подставляя отрицательное число, берите его в скобки: при $a = - 3$ выражение $a^{2}$ равно $(- 3)^{2} = 9$ , а не $- 9$ .

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью: $7 x$ и $- 6 x$ ; числа $9$ и $6$ тоже подобны между собой. Число перед буквой — коэффициент ( $x$ означает $1 x$ , $- x$ означает $- 1 x$ ).

Привести подобные — сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить: $5 x + 5 x - x = (5 + 5 - 1) x = 9 x$ .

Упростите $7 x + 9 - 6 x + 6$ .

Слагаемые с $x$ : $7 x - 6 x = 1 x = x$ .
Числа: $9 + 6 = 15$ .
Ответ: $x + 15$ .

Знак перед слагаемым «едет» вместе с ним: в $7 x + 9 - 6 x$ берём именно $- 6 x$ . И нельзя складывать $x$ с числом: $x + 15$ — уже ответ, не $16 x$ .

Линейное уравнение

Корень уравнения — значение $x$ , при котором равенство верно. Линейное уравнение приводится к виду $a x = b$ ; при $a \neq = 0$ корень один: $x = \frac{b}{a}$ .

1) Слагаемое можно перенести в другую часть, сменив его знак. 2) Обе части можно разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Уравнение — как весы в равновесии: с обеими частями делаем одно и то же

Решите $4 x - 2 = 3 x - 6$ .

Буквы влево, числа вправо: $4 x - 3 x = - 6 + 2$ .
$x = - 4$ .
Проверка: $4 \cdot (- 4) - 2 = - 18$ и $3 \cdot (- 4) - 6 = - 18$ ✓

Решите $3 x = - 15$ .

Делим обе части на коэффициент $3$ : $x = - 15 : 3 = - 5$ .

Уравнения со скобками

Сначала раскрываем скобки по распределительному закону $a (b + c) = ab + a c$ , затем решаем как обычно.

Решите $3 (x + 1) = - 6$ .

Раскрываем: $3 x + 3 = - 6$ .
Переносим: $3 x = - 6 - 3 = - 9$ .
$x = - 3$ .

Короче: $3 (x + 2) = 0$ — произведение равно нулю, а $3 \neq = 0$ , значит $x + 2 = 0$ , $x = - 2$ .

Множитель перед скобкой умножают на каждое слагаемое: $3 (x + 1) = 3 x + 3$ , а не $3 x + 1$ . Минус перед скобкой меняет все знаки: $- (x - 5) = - x + 5$ .

Всегда делайте проверку: подставьте найденный корень в исходное уравнение — это занимает полминуты и ловит почти все ошибки в знаках.

Тема 02 · Алгебра, углублённый уровень

Проценты, доли и пропорции

Потренироваться: задания по теме →

Сложный процент Калькулятор процентов

Простыми словами

Цена выросла на 20%, а потом упала на 20%. Вернулась ли она к прежней? Нет: второй раз 20% берутся уже от новой, большей цены. Чтобы не путаться, каждое изменение в процентах записывают как умножение на коэффициент.

рост на p % : \times (1 + \frac{p}{100}), снижение на p % : \times (1 - \frac{p}{100})

p

— число процентов; например,

+ 15%

→

\times 1, 15

- 20%

→

\times 0, 8

Последовательные изменения

Несколько изменений подряд — это произведение коэффициентов. Проценты складывать нельзя: $+ 20%$ , затем $- 20%$ дают $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , то есть снижение на 4%.

Бактерий за первый час стало меньше на 24%, за второй — ещё на 75% от остатка. На сколько процентов уменьшилась численность?

Коэффициенты: $1 - 0, 24 = 0, 76$ и $1 - 0, 75 = 0, 25$ .
Итого: $0, 76 \cdot 0, 25 = 0, 19$ — осталось 19%.
Уменьшилась на $100% - 19% = 81%$ .

Вклад 12 000 ₽ под 20% годовых, проценты начисляются на всю сумму. Сколько будет через 2 года?

S = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}

S_{0}

— начальная сумма,

p

— процент за период,

n

— число периодов,

S

— итог

$12000 \cdot 1, 2^{2} = 12000 \cdot 1, 44 = 17280$ ₽.

Обратный ход: найти исходное

Если известен результат, исходную величину обозначают $x$ и решают уравнение « $x \cdot$ коэффициент $=$ результат».

После скидки 24% куртка стоит 5168 ₽: $0, 76 x = 5168$ , $x = 6800$ ₽.
После повышения на 4% плата 728 ₽: $1, 04 x = 728$ , $x = 700$ ₽.
$0, 8 x = 4400$ → $x = 5500$ .

Прибавить к результату те же проценты — ошибка: $5168 + 24%$ даст $6408, 32$ , а не $6800$ . Проценты берутся от исходного числа, поэтому нужно делить на коэффициент.

Концентрации и смеси

Считают массу чистого вещества, а не проценты.

m_{в - ва} = m_{р - ра} \cdot \frac{c}{100}, c = \frac{m _{в - ва}}{m _{р - ра}} \cdot 100%

m_{р - ра}

— масса раствора (смеси),

c

— концентрация в процентах,

m_{в - ва}

— масса вещества в нём

Вещество складывается:

7 + 21 = 28

г;

\frac{28}{350} \cdot 100% = 8%

Смешалискладываются и массы вещества, и массы растворов

Долили водувещество не изменилось, раствор стал тяжелее

Выпарили водувещество не изменилось, раствор стал легче

К 120 г 30-процентного раствора кислоты добавили 180 г воды.

Кислоты: $120 \cdot 0, 3 = 36$ г — она не изменилась.
Раствора стало $120 + 180 = 300$ г.
$c = \frac{36}{300} \cdot 100% = 12%$ .

Концентрации не усредняют просто так: $\frac{5 + 10}{2} = 7, 5%$ — неверно, потому что растворов взяли разное количество.

Отношения трёх величин

Если $a : b : c = k_{1} : k_{2} : k_{3}$ , то $a = k_{1} x$ , $b = k_{2} x$ , $c = k_{3} x$ , где $x$ — одна «часть».

Три числа относятся как $8 : 7 : 4$ , сумма $228$ : $19 x = 228$ , $x = 12$ , наименьшее $4 \cdot 12 = 48$ .
Массы металлов $3 : 9 : 6$ , разность самого тяжёлого и самого лёгкого 24 г: $9 x - 3 x = 6 x = 24$ , $x = 4$ ; весь сплав $(3 + 9 + 6) \cdot 4 = 72$ г.
$2 : 3 : 5$ , сумма 60 → $x = 6$ , числа $12, 18, 30$ .

Два отношения «сшивают» по общей букве: из $a : b = 2 : 3$ и $b : c = 4 : 5$ делаем $b$ одинаковым ( $3 \cdot 4 = 12$ ) и получаем $a : b : c = 8 : 12 : 15$ .

Доли от целого и от остатка

Вторая доля берётся от остатка, а не от целого. Если израсходовали $\frac{1}{3}$ , а потом $\frac{1}{4}$ остатка, осталось $(1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{4}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ исходного.

В баке 168 л, израсходовали $\frac{1}{4}$ , затем $\frac{1}{2}$ остатка: $168 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = 63$ л.
В баке 600 л, $\frac{1}{5}$ , затем $\frac{1}{6}$ остатка: $600 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} = 400$ л.

Ещё типы задач на проценты и доли

«На сколько процентов итог выше (ниже)»: перемножьте коэффициенты и сравните с 1. Рост на 80%, затем снижение на 25%: $1, 8 \cdot 0, 75 = 1, 35$ — выше на 35%. Рост на 20%, затем снижение на 30%: $1, 2 \cdot 0, 7 = 0, 84$ — ниже на 16%.
Известна разница: цену снизили на 15%, и она стала на 1215 ₽ меньше — значит, 15% цены равны 1215: $0, 15 x = 1215$ , $x = 8100$ ₽.
Два изменения назад: число увеличили на 24%, затем уменьшили на 50%, получилось 806: $x \cdot 1, 24 \cdot 0, 5 = 806$ , $0, 62 x = 806$ , $x = 1300$ .
Выпаривание: из 240 г 24-процентного раствора выпарили 40 г воды. Соли $240 \cdot 0, 24 = 57, 6$ г, раствора $200$ г: $\frac{57 , 6}{200} \cdot 100% = 28, 8%$ .
Сколько воды добавить: 200 г 60-процентного раствора нужно сделать 40-процентным. Соли $120$ г; новый раствор $120 : 0, 4 = 300$ г; воды добавить $300 - 200 = 100$ г.
Отношение $a : c$ : $a : b = 3 : 7$ , $b : c = 1 : 5 = 7 : 35$ → $a : b : c = 3 : 7 : 35$ , $a : c = 3 : 35$ . Из $a : b = 8 : 9$ , $b : c = 3 : 4 = 9 : 12$ и $c = 720$ : $a : c = 8 : 12$ , $a = 720 \cdot \frac{8}{12} = 480$ .
Найти целое по остатку: прочитали $\frac{1}{2}$ книги, затем $\frac{1}{3}$ остатка, осталось 14 страниц: $x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{x}{3} = 14$ , $x = 42$ . Продали $\frac{1}{2}$ картофеля, затем 60% остатка, осталось 30 кг: $x \cdot \frac{1}{2} \cdot 0, 4 = 0, 2 x = 30$ , $x = 150$ кг.

Тема 2 · Алгебра

Функции. Линейная функция

Потренироваться: задания по теме →

Линейная функция

Простыми словами

Такси: посадка 4 ₽ и по 2 ₽ за километр. Каждому числу километров $x$ соответствует ровно одна цена $y = 2 x + 4$ . Такое правило «каждому $x$ — одно $y$ » и называют функцией.

Функция — зависимость, при которой каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение $y$ . Задают её формулой, таблицей или графиком. График — все точки $(x; y)$ плоскости, координаты которых связаны этой зависимостью.

Линейная функция

y = k x + b

x

— аргумент,

y

— значение функции,

k

— угловой коэффициент (наклон),

b

— ордината точки пересечения с осью

O y

k < 0

— прямая идёт вниз (убывает),

k > 0

— вверх (возрастает)

$k > 0$ функция возрастает: больше

x

— больше

y

$k < 0$ функция убывает: больше

x

— меньше

y

$k = 0$

y = b

— горизонтальная прямая

$k$ показывает, на сколько меняется $y$ , когда $x$ увеличивается на 1. В $y = - 2 x + 4$ каждый шаг вправо — на 2 вниз. Угловой коэффициент — число перед $x$ : в $y = 1 x - 5$ это $k = 1$ (функция возрастает).

Значение функции и аргумент

Найти $y$ по $x$ подставить

x

в формулу и посчитать

Найти $x$ по $y$ подставить

y

и решить уравнение

$y = - 2 x + 4$ , $x = 1$ : $y = - 2 \cdot 1 + 4 = 2$ .
$y = - x - 4$ , $x = 1$ : $y = - 1 - 4 = - 5$ .
$y = - 2 x + 4$ , $y = 2$ : $2 = - 2 x + 4$ → $- 2 x = - 2$ → $x = 1$ .
$y = - x + 5$ , $y = 8$ : $8 = - x + 5$ → $x = - 3$ .

Отрицательный $x$ подставляйте в скобках: при $x = - 3$ выражение $- 2 x$ равно $- 2 \cdot (- 3) = 6$ .

Точка на графике

Точка $A (x_{0}; y_{0})$ лежит на графике, если при подстановке её координат в формулу получается верное равенство.

$y = - x - 4$ , $A (1; - 5)$ : $- 1 - 4 = - 5$ ✓ — принадлежит.
$y = 2 x + 4$ , $A (3; 10)$ : $2 \cdot 3 + 4 = 10$ ✓ — принадлежит.
$y = 2 x + 4$ , $B (1; 5)$ : $2 \cdot 1 + 4 = 6 \neq = 5$ — не принадлежит.

Для построения прямой достаточно двух точек: удобно взять $x = 0$ (получится $y = b$ ) и ещё одно значение.

Прямая пропорциональность

y = k x, k \neq = 0

частный случай линейной функции при

b = 0

;

k

— коэффициент пропорциональности

График проходит через начало координат $O (0; 0)$ . Функции $y = - 4 x$ и $y = x$ — прямые пропорциональности; $y = 2 x + 1$ — нет ( $b \neq = 0$ ).

$y = x$ , $x = - 4$ : $y = - 4$ .

Тема 03 · Алгебра, углублённый уровень

Степени и преобразование выражений

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Степень — короткая запись многократного умножения: $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Все правила со степенями следуют из того, что мы просто считаем множители: $2^{3} \cdot 2^{2}$ — это $3 + 2 = 5$ двоек.

$a^{n} = n a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ , где $a$ — основание, $n$ — показатель. Кроме того, $a^{1} = a$ и $a^{0} = 1$ при $a \neq = 0$ .

Свойства степеней

Свойство	Словами
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	показатели складываются
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	показатели вычитаются ( $a \neq = 0$ )
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	показатели перемножаются
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	в степень возводят каждый множитель
$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	и числитель, и знаменатель ( $b \neq = 0$ )

$(a^{4} b^{3})^{2} : (a^{2} b) = a^{8} b^{6} : (a^{2} b^{1}) = a^{8 - 2} b^{6 - 1} = a^{6} b^{5}$ .
$(3^{3})^{4} : (3^{2} \cdot 3^{3}) = 3^{12} : 3^{5} = 3^{7} = 2187$ .

Главный приём — привести всё к одному основанию: $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ , $16 = 2^{4}$ , $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ , $25 = 5^{2}$ .

$a^{m} + a^{n} \neq = a^{m + n}$ : складывать показатели можно только при умножении. $2^{3} + 2^{2} = 12$ , а $2^{5} = 32$ .

Целый отрицательный показатель

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, (\frac{p}{q})^{- n} = (\frac{q}{p})^{n}

a \neq = 0

n

— натуральное; отрицательный показатель «переворачивает» дробь

$(0, 2)^{- 1}$ : $0, 2 = \frac{1}{5}$ , перевернём — $5$ .
$3^{- 5} \cdot 3^{7} = 3^{- 5 + 7} = 3^{2} = 9$ .
$2^{- 3} = \frac{1}{8} = 0, 125$ ; $0, 2^{- 2} = 5^{2} = 25$ .

Отрицательный показатель не делает число отрицательным: $2^{- 3} = \frac{1}{8} > 0$ .

Сравнение степеней

Общее основание

4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{16} > 2^{15}

— при основании больше 1 больше та, у которой больше показатель

Общий показатель

2^{30} = (2^{3})^{10} = 8^{10} < 9^{10} = 3^{20}

— больше та, у которой больше основание

$2 5^{2}$ и $5^{3}$ : $2 5^{2} = 5^{4}$ , $5^{4} : 5^{3} = 5$ — в 5 раз.
$4^{5}$ и $2^{3}$ : $4^{5} = 2^{10}$ , $2^{10} : 2^{3} = 2^{7} = 128$ — в 128 раз.

Стандартный вид числа

x = a \cdot 1 0^{n}, 1 \leq a < 10

a

— мантисса (одна ненулевая цифра до запятой),

n

— целое число, порядок числа

Порядок числа показывает, на сколько знаков сдвинута запятая

$7650000 = 7, 65 \cdot 1 0^{6}$ — запятую сдвинули влево на 6 знаков, $n = 6 > 0$ .
$0, 00047 = 4, 7 \cdot 1 0^{- 4}$ — запятую сдвинули вправо на 4 знака, $n < 0$ .
$(1, 7 \cdot 1 0^{2}) \cdot (1, 8 \cdot 1 0^{3}) = (1, 7 \cdot 1, 8) \cdot 1 0^{2 + 3} = 3, 06 \cdot 1 0^{5} = 306000$ .

$17 \cdot 1 0^{4}$ — не стандартный вид: мантисса должна быть от 1 до 10. Правильно $1, 7 \cdot 1 0^{5}$ .

Вынесение степени за скобки

Из суммы степеней с одинаковым основанием выносят степень с наименьшим показателем: $2^{12} + 2^{10} = 2^{10} (2^{2} + 1) = 2^{10} \cdot 5$ .

$(3^{13} + 3^{11}) : 3^{11} = \frac{3 ^{11} ( 3 ^{2} + 1 )}{3 ^{11}} = 9 + 1 = 10$ .
$(7 \cdot 5^{5} + 5^{6}) : 5^{5} = \frac{5 ^{5} ( 7 + 5 )}{5 ^{5}} = 12$ .

Слагаемое, которое вынесли целиком, оставляет после себя $1$ , а не $0$ : $3^{11} = 3^{11} \cdot 1$ .

Сравнение «всё разное» и общий множитель с двумя буквами

Наибольшее из $1 0^{20}; 6^{30}; 7^{10}; 4^{20}$ .

Показатели $20, 30, 10, 20$ делятся на $10$ — приведём к показателю $10$ .
$1 0^{20} = 10 0^{10}$ , $6^{30} = 21 6^{10}$ , $7^{10}$ , $4^{20} = 1 6^{10}$ .
Больше основание — больше степень: наибольшее $6^{30}$ .

Если основания — степени одного числа ( $3, 9, 27, 81$ ), приводят к одному основанию: $2 7^{7} = 3^{21}$ , $8 1^{3} = 3^{12}$ , $9^{8} = 3^{16}$ .

Общий множитель с двумя буквами: каждую букву выносят в наименьшей степени: $x^{2} y^{7} + x^{4} y^{6} = x^{2} y^{6} (y + x^{2})$ .

Тема 3 · Алгебра

Степень с натуральным показателем

Потренироваться: задания по теме →

Функции y = xⁿ Степени и корни

Простыми словами

Бактерия делится пополам каждый час: через час их 2, через два — $2 \cdot 2 = 4$ , через пять — $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Писать длинное произведение одинаковых множителей неудобно, поэтому его записывают коротко: $2^{5}$ .

Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ :

a^{n} = n множителей a \cdot a \cdot \dots \cdot a

$a$ — основание (что умножаем), $n$ — показатель (сколько раз берём множитель). По определению $a^{1} = a$ .

Читается: $3^{4}$ — «три в четвёртой степени». $a^{2}$ — « $a$ в квадрате», $a^{3}$ — « $a$ в кубе». Название «квадрат» не случайно: квадрат со стороной $a$ клеток состоит из $a^{2}$ клеток.

Квадрат со стороной

n

клеток содержит

n^{2}

клеток

Как вычислять

Вычислите $3^{6}$ .

Умножаем по шагам: $3^{2} = 9$ , $3^{3} = 27$ , $3^{4} = 81$ , $3^{5} = 243$ .
$3^{6} = 243 \cdot 3 = 729$ .

Удобно: $4^{6} = (4^{3})^{2} = 6 4^{2} = 4096$ — большой показатель можно разбить.

$n$	1	2	3	4	5	6
$2^{n}$	2	4	8	16	32	64
$3^{n}$	3	9	27	81	243	729
$4^{n}$	4	16	64	256	1024	4096
$5^{n}$	5	25	125	625	3125	15625

$3^{4} \neq = 3 \cdot 4$ . Показатель — это число множителей, а не второй множитель: $3^{4} = 81$ , а $3 \cdot 4 = 12$ .

Знак: $(- 2)^{4} = 16$ , но $- 2^{4} = - 16$ — без скобок в степень возводится только $2$ . Отрицательное число в чётной степени положительно, в нечётной — отрицательно.

Свойства степеней

Все свойства следуют из определения — достаточно «посчитать множители».

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

при умножении показатели складывают

$b^{2} \cdot b^{3} = (b \cdot b) \cdot (b \cdot b \cdot b) = b^{5}$ : всего $2 + 3 = 5$ множителей.

a^{m} : a^{n} = a^{m - n} (a \neq = 0, m > n)

при делении показатели вычитают

$y^{5} : y^{3} = \frac{y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y}{y \cdot y \cdot y} = y^{2}$ : три множителя сократились.

(a^{m})^{n} = a^{mn}

степень степени — показатели перемножают

$(c^{6})^{5} = c^{6} \cdot c^{6} \cdot c^{6} \cdot c^{6} \cdot c^{6} = c^{6 \cdot 5} = c^{30}$ .

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

степень произведения — в степень возводят каждый множитель

$(m t)^{3} = m t \cdot m t \cdot m t = m^{3} t^{3}$ ; $(2 x)^{3} = 2^{3} x^{3} = 8 x^{3}$ .

Ещё: $a^{1} = a$ и $a^{0} = 1$ при $a \neq = 0$ (так договорились, чтобы правило деления работало и при $m = n$ : $a^{n} : a^{n} = 1$ ).

Свойства работают только при одинаковых основаниях: $2^{3} \cdot 3^{2}$ не равно $6^{5}$ . И не путайте: $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ (складываем), а $(a^{2})^{3} = a^{6}$ (умножаем).

Действие с показателями на ступень «проще» действия со степенями: умножение степеней → сложение показателей, деление → вычитание, возведение в степень → умножение.

Комбинированные задания

Сначала упрощаем по свойствам, потом считаем — так числа остаются маленькими.

Вычислите $8^{10} : 8^{8}$ .

Основания одинаковые — вычитаем показатели: $8^{10 - 8} = 8^{2}$ .
$8^{2} = 64$ .

Вычислите $(2^{2})^{3}$ .

Перемножаем показатели: $2^{2 \cdot 3} = 2^{6}$ .
$2^{6} = 64$ .

Вычислите $\frac{5 ^{4} \cdot 5 ^{3}}{5 ^{5}}$ .

Числитель: $5^{4 + 3} = 5^{7}$ .
Деление: $5^{7 - 5} = 5^{2} = 25$ .

Тема 04 · Алгебра, углублённый уровень

Формулы сокращённого умножения

Потренироваться: задания по теме →

Квадрат суммы

Простыми словами

Некоторые произведения встречаются так часто, что их результат выгодно знать наизусть — как таблицу умножения. Тогда $(x + 19)^{2} - (x - 19)^{2}$ упрощается в одну строку, а $20 6^{2} - 17 6^{2}$ считается в уме.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

: квадрат, два одинаковых прямоугольника и ещё квадрат

Квадраты и разность квадратов

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a, b

— любые числа или выражения;

2 ab

— удвоенное произведение

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

разность квадратов

Следствия для задач «найдите, не вычисляя $a$ и $b$ »: $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} + 2 ab$ ; $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ .

Упростите $(x + 19)^{2} - (x - 19)^{2}$ .

Способ 1: $x^{2} + 38 x + 361 - (x^{2} - 38 x + 361) = 76 x$ .
Способ 2 (разность квадратов): $((x + 19) - (x - 19)) ((x + 19) + (x - 19)) = 38 \cdot 2 x = 76 x$ .

$20 6^{2} - 17 6^{2} = (206 - 176) (206 + 176) = 30 \cdot 382 = 11460$ .
$(4 6^{2} - 3 8^{2}) : 8 = \frac{8 \cdot 84}{8} = 84$ .
$13 7^{2} - 3 7^{2} = 100 \cdot 174 = 17400$ ; $10, 3 \cdot 9, 7 = 1 0^{2} - 0, 3^{2} = 99, 91$ .

$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ — забывают удвоенное произведение. Проверка: $(1 + 2)^{2} = 9$ , а $1^{2} + 2^{2} = 5$ .

Куб суммы и разности

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

коэффициенты всегда

1, 3, 3, 1

; в кубе разности знаки чередуются:

+, -, +, -

$(x - 8)^{3} = x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 8 + 3 \cdot x \cdot 64 - 512 = x^{3} - 24 x^{2} + 192 x - 512$ .
Обратно: $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ . Крайние — кубы $x$ и $5$ ; проверяем $3 \cdot x^{2} \cdot 5 = 15 x^{2}$ ✓, $3 \cdot x \cdot 25 = 75 x$ ✓, знаки чередуются → $(x - 5)^{3}$ .

Сумма и разность кубов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}), a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

второй множитель — неполный квадрат: средний член

ab

без двойки, его знак противоположен знаку в первой скобке

Вычислите, не возводя в куб: $(1 8^{3} + 9^{3}) : (18 + 9)$ .

По формуле частное равно неполному квадрату: $1 8^{2} - 18 \cdot 9 + 9^{2}$ .
$324 - 162 + 81 = 243$ . Так же $(4^{3} + 2^{3}) : (4 + 2) = 16 - 8 + 4 = 12$ .

Полезно: $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ .

Не путайте неполный квадрат $a^{2} - ab + b^{2}$ с квадратом разности $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

Выделение полного квадрата

x^{2} + b x + c = (x + \frac{b}{2})^{2} + (c - \frac{b ^{2}}{4})

b

— коэффициент при

x

c

— свободный член; добавляем и вычитаем

(\frac{b}{2})^{2}

$x^{2} + 10 x + 22$ : половина от $10$ — это $5$ , $5^{2} = 25$ . $x^{2} + 10 x + 25 - 3 = (x + 5)^{2} - 3$ .
Что прибавить к $x^{2} - 16 x + 30$ , чтобы получился полный квадрат? Нужно $x^{2} - 16 x + 64 = (x - 8)^{2}$ , значит, прибавить $64 - 30 = 34$ .

Квадрат неотрицателен, поэтому выражение принимает наименьшее значение $c - \frac{b ^{2}}{4}$ при $x = - \frac{b}{2}$ : $x^{2} + 6 x + 11 = (x + 3)^{2} + 2$ , минимум $2$ при $x = - 3$ .

Порядок: «половину коэффициента при $x$ — в скобку, её квадрат — вычесть».

Ещё приёмы с формулами

«Значение не зависит от $x$ » — раскройте скобки, всё с $x$ сократится: $(x + 27)^{2} - x^{2} - 54 x = x^{2} + 54 x + 729 - x^{2} - 54 x = 729$ ; $(x + 8)^{3} - x^{3} - 24 x^{2} - 192 x = 512$ .
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ через $x + \frac{1}{x}$ : $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}$ , значит $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 3^{2} - 2 = 7$ при $x + \frac{1}{x} = 3$ .
$ab$ по сумме и сумме квадратов: $2 ab = (a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2}) = 900 - 744 = 156$ , $ab = 78$ . $a^{3} + b^{3}$ : $(a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 1 7^{3} - 3 \cdot 56 \cdot 17 = 4913 - 2856 = 2057$ .
Куб числа рядом с круглым: $8 9^{3} = (90 - 1)^{3} = 729000 - 3 \cdot 8100 \cdot 1 + 3 \cdot 90 \cdot 1 - 1 = 729000 - 24300 + 270 - 1 = 704969$ .
Разность кубов на неполный квадрат: $(1 1^{3} - 4^{3}) : (1 1^{2} + 11 \cdot 4 + 4^{2}) = 11 - 4 = 7$ .
Наибольшее значение при минусе перед $x^{2}$ : $- x^{2} - 24 x - 171 = - (x^{2} + 24 x + 144) - 27 = - (x + 12)^{2} - 27$ ; так как $- (x + 12)^{2} \leq 0$ , наибольшее значение $- 27$ (при $x = - 12$ ).

Тема 4 · Алгебра

Многочлены

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Многочлен — это «сумма кусков» вида $5 x^{2}$ , $3 x$ , $- 7$ . Работать с ним — как разбирать покупки: одинаковые товары (подобные слагаемые) складываем вместе, разные — оставляем по отдельности.

Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней: $5 x^{2}$ , $- 3 x y$ , $7$ . Число в нём — коэффициент. Многочлен — сумма одночленов: $3 x^{2} + 2 x - 7$ . Подобные слагаемые отличаются только коэффициентом: $2 x^{2}$ и $- 4 x^{2}$ .

Стандартный вид, сложение и вычитание

Многочлен в стандартном виде: все подобные слагаемые приведены, члены обычно записаны по убыванию степеней.

$2 x^{2} + 3 x - 4 x^{2} = (2 - 4) x^{2} + 3 x = - 2 x^{2} + 3 x$ .
$4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} = 2 x^{2} + 2 x$ .
$(4 x + 7) + (5 x + 3) = 4 x + 5 x + 7 + 3 = 9 x + 10$ ; $(6 x + 7) + (6 x + 4) = 12 x + 11$ .

При вычитании многочлена скобки раскрывают со сменой знаков: $(5 x + 3) - (2 x - 1) = 5 x + 3 - 2 x + 1 = 3 x + 4$ .

Складывать можно только подобные: $2 x^{2} + 3 x$ — уже ответ, а не $5 x^{3}$ и не $5 x^{2}$ .

Умножение одночлена на многочлен

a (b + c) = ab + a c

одночлен

a

умножают на каждый член многочлена

$3 x (5 x + 4) = 3 x \cdot 5 x + 3 x \cdot 4 = 15 x^{2} + 12 x$ .
$7 x (6 x + 6) = 42 x^{2} + 42 x$ .

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $x \cdot x = x^{2}$ , $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ ; коэффициенты перемножаются.

Умножение многочленов

Каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго и приводят подобные.

(x + 8) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 8 x + 24 = x^{2} + 11 x + 24

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab

a, b

— числа; коэффициент при

x

— их сумма, свободный член — произведение

$(x + 8) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 8 x + 24 = x^{2} + 11 x + 24$ .
$(x + 2) (x + 8) = x^{2} + 10 x + 16$ .

Должно получиться $2 \cdot 2 = 4$ произведения. Пропущенное «перекрёстное» слагаемое — частая ошибка: $(x + 8) (x + 3) \neq = x^{2} + 24$ .

Вынесение общего множителя

Обратное действие к умножению: находим, на что делится каждый член, и выносим это за скобку. Для чисел — НОД коэффициентов.

$36 x + 30$ : $НОД (36, 30) = 6$ → $6 (6 x + 5)$ .
$25 x + 15 = 5 (5 x + 3)$ ; $6 x + 9 = 3 (2 x + 3)$ .

Проверка — раскрыть скобки обратно: $6 (6 x + 5) = 36 x + 30$ ✓. Если в скобке ещё есть общий множитель — вынесли не всё.

Ещё один приём — группировка: члены объединяют в группы с общим множителем, например $x y + 3 x + 5 y + 15 = x (y + 3) + 5 (y + 3) = (x + 5) (y + 3)$ .

Значение многочлена

Подставляем число вместо переменной и считаем по порядку действий: сначала степени, затем умножение, затем сложение.

$4 x^{2} + 5 x - 2$ при $x = 2$ : $4 \cdot 4 + 10 - 2 = 24$ .
$x^{2} + 5 x - 5$ при $x = 0$ : $0 + 0 - 5 = - 5$ .

$4 x^{2}$ при $x = 2$ — это $4 \cdot 2^{2} = 16$ , а не $(4 \cdot 2)^{2} = 64$ : в квадрат возводится только $x$ .

Тема 05 · Алгебра, углублённый уровень

Многочлены и разложение на множители

Потренироваться: задания по теме →

Простыми словами

Разложить на множители — значит превратить сумму в произведение. Это как найти размеры прямоугольника по его площади, разбитой на куски: $x y + 7 x + 8 y + 56$ — это площадь прямоугольника со сторонами $x + 8$ и $y + 7$ .

x y + 7 x + 8 y + 56 = (x + 8) (y + 7)

Способ группировки

Слагаемые разбивают на группы, в каждой выносят общий множитель — и получают одинаковую скобку, которую выносят вторым шагом.

$x y + 7 x + 8 y + 56 = x (y + 7) + 8 (y + 7) = (x + 8) (y + 7)$ .
$x y - 7 x - 6 y + 42 = x (y - 7) - 6 (y - 7) = (x - 6) (y - 7)$ . При $x = - 4, y = 2$ : $(- 10) \cdot (- 5) = 50$ .

$14 x + 14 y + 21 x + 21 y = 14 (x + y) + 21 (x + y) = 35 (x + y)$ . При $x + y = 6$ : $35 \cdot 6 = 210$ .
$5 x y + 20 x + 15 y + 60 = 5 (x y + 4 x + 3 y + 12) = 5 (x (y + 4) + 3 (y + 4)) = 5 (x + 3) (y + 4)$ . При $x = 4, y = 0$ : $5 \cdot 7 \cdot 4 = 140$ .

Вынося минус, меняйте знаки в скобке: $- 6 y + 42 = - 6 (y - 7)$ , а не $- 6 (y + 7)$ . Если группировка «не сошлась» — переставьте слагаемые и попробуйте другие пары.

Порядок разложения и формулы

Вынести общий числовой и буквенный множитель.
Попробовать формулу сокращённого умножения.
Применить группировку.
Проверить, не раскладывается ли ещё каждый множитель.

Формула	Разложение
$a^{2} - b^{2}$	$(a - b) (a + b)$
$a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$	$(a \pm b)^{2}$
$a^{3} \pm b^{3}$	$(a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$
$(a + b)^{3}$	$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$2 x^{2} - 72 = 2 (x^{2} - 36) = 2 (x - 6) (x + 6)$ — сначала вынесли $2$ , потом разность квадратов.
$x^{2} - y^{2} + 8 x + 8 y = (x - y) (x + y) + 8 (x + y) = (x + y) (x - y + 8)$ — формула и группировка вместе.

Связанные переменные

Если известны сумма $x + y$ и произведение $x y$ , сами числа искать не нужно:

Выражение	Через $x + y$ и $x y$
$x^{2} + y^{2}$	$(x + y)^{2} - 2 x y$
$(x - y)^{2}$	$(x + y)^{2} - 4 x y$
$x^{3} + y^{3}$	$(x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$

$x + y = - 9, x y = 18$ : $(x - y)^{2} = 81 - 4 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$ .
$x + y = 2, x y = - 3$ : $x^{2} + y^{2} = 4 - 2 \cdot (- 3) = 4 + 6 = 10$ .

Квадрат отрицательной суммы положителен: $(- 9)^{2} = 81$ . А минус у произведения меняет знак слагаемого: $- 2 \cdot (- 3) = + 6$ .

Тождественные преобразования

Тождество — равенство, верное при всех значениях переменных. Чтобы доказать, что выражение не зависит от переменной, раскрывают все скобки и приводят подобные. Если переменная исчезла — осталось одно число, оно и есть значение при любом $x$ .

$(x + 6)^{3} - x^{3} - 18 x^{2} - 108 x = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216 - x^{3} - 18 x^{2} - 108 x = 216$ .
$(x - 2) (x + 2) - (x - 8) (x + 8) = (x^{2} - 4) - (x^{2} - 64) = 60$ .
$(x + 2) (x + 5) - x (x + 7) = x^{2} + 7 x + 10 - x^{2} - 7 x = 10$ .

Проверьте ответ подстановкой $x = 0$ : $(0 + 6)^{3} - 0 = 216$ ✓. Если выражение и правда не зависит от $x$ , при $x = 0$ получится то же число.

Ещё типы заданий

Группировка с кубом: $x^{3} - 7 x^{2} + 7 x - 49 = x^{2} (x - 7) + 7 (x - 7) = (x - 7) (x^{2} + 7)$ ; при $x = 3$ : $(- 4) \cdot 16 = - 64$ .
Свернуть и вычислить: $x^{2} + 8 x + 16 = (x + 4)^{2}$ , при $x = 8$ : $1 2^{2} = 144$ ; $2 x^{2} - 20 x + 50 = 2 (x^{2} - 10 x + 25) = 2 (x - 5)^{2}$ .
Счёт по формулам: $(15 + 4)^{2} - (15 - 4)^{2} = 4 \cdot 15 \cdot 4 = 240$ ; $40 8^{2} - 39 6^{2} = (408 - 396) (408 + 396) = 12 \cdot 804 = 9648$ .
Произведение по сумме и сумме квадратов: $ab = \frac{( a + b ) ^{2} - ( a ^{2} + b ^{2} )}{2} = \frac{36 - 20}{2} = 8$ при $a + b = - 6$ , $a^{2} + b^{2} = 20$ .
Число вместо в тождестве — раскройте левую часть и сравните коэффициенты: $(x + 11) (x - 11) = x^{2} - 121$ ; $(x + 9)^{2} - (x - 9)^{2} = 36 x$ ; $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ .

Тема 5 · Алгебра

Формулы сокращённого умножения

Потренироваться: задания по теме →

Квадрат суммы

Простыми словами

Чтобы раскрыть $(x + 90)^{2}$ , можно честно умножить $(x + 90) (x + 90)$ — четыре произведения. А можно сразу написать ответ по формуле. Формулы сокращённого умножения — готовые результаты частых умножений.

Площадь квадрата

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Квадрат суммы и квадрат разности

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

квадрат первого + удвоенное произведение первого на второе + квадрат второго

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

то же, но удвоенное произведение со знаком минус;

b^{2}

всегда с плюсом

$(x + 90)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 90 + 9 0^{2} = x^{2} + 180 x + 8100$ .
$(x + 28)^{2} = x^{2} + 56 x + 784$ .
$(x - 115)^{2} = x^{2} - 230 x + 13225$ ; $(x - 48)^{2} = x^{2} - 96 x + 2304$ .

$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ ! Забытое удвоенное произведение — самая частая ошибка. Проверка числами: $(1 + 2)^{2} = 9$ , а $1^{2} + 2^{2} = 5$ .

Разность квадратов

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов

$(x - 115) (x + 115) = x^{2} - 11 5^{2} = x^{2} - 13225$ .
Обратно: $x^{2} - 16641$ . Так как $16641 = 12 9^{2}$ , получаем $(x - 129) (x + 129)$ .

Полезно помнить квадраты: $1 1^{2} = 121, 1 2^{2} = 144, 1 3^{2} = 169, 1 4^{2} = 196, 1 5^{2} = 225, 2 5^{2} = 625$ . Квадрат числа, оканчивающегося на 5: $n 5^{2}$ — это $n (n + 1)$ и приписать 25: $3 5^{2} = 1225$ .

Разложение на множители

Формулы читают и справа налево: трёхчлен вида $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ — это полный квадрат.

Разложите $x^{2} + 72 x + 1296$ .

Крайние члены — квадраты: $x^{2}$ и $1296 = 3 6^{2}$ .
Проверяем средний: $2 \cdot x \cdot 36 = 72 x$ ✓.
Ответ: $(x + 36)^{2}$ . Так же $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ .

Обязательно проверяйте средний член: $x^{2} + 10 x + 36$ — не полный квадрат ( $2 \cdot x \cdot 6 = 12 x \neq = 10 x$ ).

Сумма и разность кубов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}), a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

во второй скобке — «неполный квадрат»:

ab

без двойки и с противоположным знаком

Например, $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , $x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ .

Быстрый счёт

Число около «круглого» записывают как сумму или разность и применяют формулу.

$10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .
$7 1^{2} = (70 + 1)^{2} = 4900 + 140 + 1 = 5041$ .
$5 1^{2} = (50 + 1)^{2} = 2500 + 100 + 1 = 2601$ ; $9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$ .
$49 \cdot 51 = (50 - 1) (50 + 1) = 2500 - 1 = 2499$ .

Тема 06 · Алгебра, углублённый уровень

Линейные уравнения и системы

Потренироваться: задания по теме →

Система двух уравнений

Простыми словами

Любое линейное уравнение после упрощений превращается в $k x = m$ . Дальше всё решает число $k$ : не нуль — один корень; нуль — либо корней нет, либо подходит любое $x$ . На этом держатся и задачи с параметром.

k x = m

x

— неизвестное,

k

— коэффициент при нём,

m

— свободный член

Условие	Корни	Пример
$k \neq = 0$	один: $x = \frac{m}{k}$	$3 x = 12$ → $x = 4$
$k = 0, m \neq = 0$	нет корней	$0 \cdot x = 8$
$k = 0, m = 0$	бесконечно много	$0 \cdot x = 0$

Скобки и дробные коэффициенты

Умножьте обе части на общий знаменатель — дроби исчезнут, останется обычное линейное уравнение.

$\frac{x - 6}{6} = \frac{x + 1}{9}$

Общий знаменатель $18$ : $3 (x - 6) = 2 (x + 1)$ .
$3 x - 18 = 2 x + 2$ → $x = 20$ .

Так же $\frac{x + 4}{3} = \frac{x + 6}{4}$ → $4 (x + 4) = 3 (x + 6)$ → $4 x + 16 = 3 x + 18$ → $x = 2$ .

Множитель применяют к каждому слагаемому, включая те, что без дроби: $\frac{2 x - 1}{3} + \frac{x + 4}{2} = 5$ → $2 (2 x - 1) + 3 (x + 4) = 30$ , а не $= 5$ . И берите числитель в скобки: минус перед дробью меняет знаки всего числителя.

Уравнения с параметром

Параметр — буква, обозначающая число, которое пока не известно. Уравнение приводят к виду $k x = m$ , где $k$ и $m$ зависят от параметра, и пользуются таблицей выше.

$a x - 6 = 2 x + 2$ → $(a - 2) x = 8$ . Корней нет, если $a - 2 = 0$ (а $8 \neq = 0$ ): $a = 2$ .
$a (x - 2) = - 6 x + 12$ → $a (x - 2) = - 6 (x - 2)$ → $(a + 6) (x - 2) = 0$ , т. е. $(a + 6) x = 2 (a + 6)$ . Бесконечно много корней при $a + 6 = 0$ : $a = - 6$ .

«Бесконечно много корней» — левая и правая части совпадают при любом $x$ : коэффициенты при $x$ и свободные члены одинаковы.

Уравнения с модулем

$∣ x - a ∣$ — расстояние от $x$ до точки $a$ . Поэтому $∣ x + 11∣ = 6$ означает: « $x$ на расстоянии 6 от точки $- 11$ ».

∣ x + 11∣ = 6

: корни

- 17

- 5

, больший

- 5

Уравнение	Что делать
$∣ A ∣ = b, b > 0$	$A = b$ или $A = - b$ — два случая
$∣ A ∣ = 0$	$A = 0$ — один корень
$∣ A ∣ = b, b < 0$	корней нет
$∣ A ∣ = ∣ B ∣$	$A = B$ или $A = - B$

$∣ x + 7∣ = 6$ : $x + 7 = 6$ → $x = - 1$ , или $x + 7 = - 6$ → $x = - 13$ . Больший корень $- 1$ .

Модуль не бывает отрицательным: у $∣ x - 3∣ = - 2$ корней нет — дальше решать не нужно.

Системы: способ сложения

Уравнения системы можно почленно складывать и вычитать, предварительно умножив на числа. Выбирают действие, после которого одна переменная исчезает.

${6 x - 2 y = 12 2 x - 5 y = 17$ — найдите $x y$ .

Умножим второе на $3$ : $6 x - 15 y = 51$ .
Вычтем из первого: $(6 x - 2 y) - (6 x - 15 y) = 12 - 51$ , $13 y = - 39$ , $y = - 3$ .
$6 x - 2 \cdot (- 3) = 12$ → $6 x = 6$ → $x = 1$ . Ответ: $x y = - 3$ .

${- 3 x - 3 y = 27 4 x - 3 y = - 1$

Вычтем первое из второго: $7 x = - 28$ , $x = - 4$ .
Из первого: $x + y = - 9$ → $y = - 5$ . $x y = 20$ .

${5 x + 3 y = 19 3 x + 5 y = 21$ : сложение даёт $8 (x + y) = 40$ , вычитание — $2 (x - y) = - 2$ . Получаем $x + y = 5$ , $x - y = - 1$ — дальше устно: $x = 2, y = 3$ .

Сколько решений у системы

Для системы ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ :

Одно решение

a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0

(коэффициенты не пропорциональны) — прямые пересекаются

Нет решений

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

— прямые параллельны

Бесконечно много

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

— пропорционально всё уравнение, прямые совпадают

${8 x + 2 y = 11 a x - 4 y = - 22$ — бесконечно много решений. Второе должно быть первым, умноженным на $- 2$ (ведь $2 \cdot (- 2) = - 4$ , $11 \cdot (- 2) = - 22$ ). Значит, $a = 8 \cdot (- 2) = - 16$ .
Пара $(2; - 5)$ — решение системы ${3 x + 5 y = - 19 a x + 6 y = - 40$ . Подставим во второе: $2 a - 30 = - 40$ , $a = - 5$ (первое: $6 - 25 = - 19$ ✓).

Ещё задачи с параметром и модулем

Корень известен: при каком $a$ корень уравнения $a x + 10 = - 62$ равен $- 8$ ? Подставим: $- 8 a + 10 = - 62$ , $- 8 a = - 72$ , $a = 9$ .
Общий корень уравнений $2 x - 4 = 0$ и $a x + 8 = 12$ : из первого $x = 2$ ; подставим во второе: $2 a + 8 = 12$ , $a = 2$ .
Три уравнения с общим решением: $x + y = - 5$ , $x - y = - 1$ дают $x = - 3$ , $y = - 2$ ; подставим в $a x - 6 y = 24$ : $- 3 a + 12 = 24$ , $a = - 4$ .
Модуль равен модулю: $∣ x + 2∣ = ∣ x - 6∣$ — точка $x$ равноудалена от $- 2$ и $6$ , это середина: $x = 2$ (из $x + 2 = - (x - 6)$ ). $∣6 x + 9∣ = ∣4 x + 11∣$ : $6 x + 9 = 4 x + 11$ → $x = 1$ , или $6 x + 9 = - (4 x + 11)$ → $x = - 2$ ; больший корень $1$ .
Сумма корней: $∣2 x - 13∣ = 19$ → $2 x - 13 = 19$ , $x = 16$ , или $2 x - 13 = - 19$ , $x = - 3$ ; сумма $13$ .

Тема 6 · Алгебра

Системы линейных уравнений

Потренироваться: задания по теме →

Система двух уравнений Калькулятор уравнений

Простыми словами

Ручка и тетрадь стоят вместе 50 ₽, а ручка на 10 ₽ дороже тетради. Сколько стоит каждая? Здесь две неизвестные и два условия — это и есть система уравнений.

Обозначим цену ручки $x$ , тетради $y$ . Тогда условия записываются так:

{x + y = 50 x - y = 10

Решение системы — пара чисел $(x; y)$ , которая подходит в оба уравнения сразу. Решить систему — найти все такие пары или доказать, что их нет.

Проверим пару $(30; 20)$ : $30 + 20 = 50$ ✓ и $30 - 20 = 10$ ✓. Значит, ручка стоит 30 ₽, тетрадь — 20 ₽.

Способ подстановки

Идея: из одного уравнения выразить переменную и «подставить» её в другое — останется уравнение с одной неизвестной.

{y = 2 x - 1 3 x + y = 9

$y$ уже выражен: $y = 2 x - 1$ .
Подставляем во второе: $3 x + (2 x - 1) = 9$ , то есть $5 x = 10$ , $x = 2$ .
Находим $y$ : $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ .
Ответ: $(2; 3)$ . Проверка: $3 \cdot 2 + 3 = 9$ ✓

Когда в каком-то уравнении есть переменная с коэффициентом $1$ или $- 1$ — её легко выразить без дробей.

Способ сложения

Идея: умножить уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и сложить уравнения — эта переменная исчезнет.

{2 x + 3 y = 13 4 x - 3 y = 5

При $y$ уже стоят $3$ и $- 3$ — складываем уравнения: $6 x = 18$ , $x = 3$ .
Подставляем в первое: $2 \cdot 3 + 3 y = 13$ , $3 y = 7$ , $y = \frac{7}{3}$ .
Ответ: $(3; \frac{7}{3})$ .

Если противоположных коэффициентов нет, их делают: в системе ${3 x + 2 y = 7 5 x + 3 y = 11$ умножим первое уравнение на $3$ , второе — на $- 2$ : при $y$ получится $6 y$ и $- 6 y$ .

Умножают всё уравнение, обе его части: $3 \cdot (3 x + 2 y) = 3 \cdot 7$ , а не только левую часть.

Графический способ

График линейного уравнения $a x + b y = c$ — прямая. Решение системы — точка пересечения двух прямых.

Система

{x + y = 5 x - y = 1

имеет решение

(3; 2)

Способ наглядный, но неточный: если точка пересечения попала «между клетками», ответ лучше найти подстановкой или сложением.

Сколько бывает решений

ОдноПрямые пересекаются. Коэффициенты не пропорциональны:

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

Ни одногоПрямые параллельны:

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

. При решении выходит неверное равенство вида

0 = 5

Бесконечно многоПрямые совпадают:

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

. Выходит верное равенство

0 = 0

${2 x + 4 y = 6 x + 2 y = 5$ : $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$ , но $\frac{6}{5} \neq = 2$ — прямые параллельны, решений нет.

Тема 07 · Алгебра, углублённый уровень

Текстовые задачи

Потренироваться: задания по теме →

Задачи на движение

Простыми словами

Почти любая текстовая задача — это одна формула «результат = скорость × время» в разных костюмах: путь $= v \cdot t$ , работа $=$ производительность $\cdot t$ , масса вещества $=$ масса смеси $\cdot$ доля. Нужно понять, что здесь «скорость», и составить уравнение.

Обозначить неизвестное буквой (с единицами).
Выразить через него остальные величины — удобно таблицей.
Составить уравнение по условию, решить, проверить смысл ответа.

Навстречу и вдогонку

s = v \cdot t, v_{навстречу} = v_{1} + v_{2}, v_{вдогонку} = v_{1} - v_{2}

s

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч);

v_{1} > v_{2}

при движении вдогонку

Сначала фора, потом скорость сближения

Турист (6 км/ч) за час форы прошёл 6 км, осталось $42 - 6 = 36$ км.
Навстречу: скорость сближения $6 + 12 = 18$ км/ч, время $36 : 18 = 2$ ч.
Вдогонку: велосипедист (25 км/ч) за 2 ч форы уехал на 50 км, мотоциклист (50 км/ч) догоняет со скоростью $50 - 25 = 25$ км/ч: $50 : 25 = 2$ ч.

Средняя скорость — это весь путь : всё время, а не полусумма скоростей. Полусумма годится, только если время на участках одинаково.

Движение по реке

Движение	Скорость
по течению	$v + u$
против течения	$v - u$
плот, бревно	$u$ — скорость течения

Здесь $v$ — собственная скорость (в стоячей воде), $u$ — скорость течения. Обратно: $v = \frac{v _{по} + v _{пр}}{2}$ , $u = \frac{v _{по} - v _{пр}}{2}$ .

Течение 2 км/ч. Лодка прошла 36 км по течению и 28 км против, всего за 4 ч. Собственная скорость?

Пусть $v$ км/ч. Время: $\frac{36}{v + 2} + \frac{28}{v - 2} = 4$ .
Проверим удобные значения или решим уравнение: при $v = 16$ — $\frac{36}{18} + \frac{28}{14} = 2 + 2 = 4$ ✓.
Ответ: 16 км/ч.

Прямая задача: катер 16 км/ч, течение 5 км/ч, 42 км по течению и 33 км против: $\frac{42}{21} + \frac{33}{11} = 2 + 3 = 5$ ч.

Совместная работа

Всю работу принимают за 1. Если работник делает её за $a$ часов (дней), его производительность $\frac{1}{a}$ работы в час. При совместной работе производительности складываются.

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T}

a, b

— время каждого по отдельности,

T

— время совместной работы

35 и 14 дней: $\frac{1}{35} + \frac{1}{14} = \frac{2}{70} + \frac{5}{70} = \frac{1}{10}$ → $T = 10$ дней.
Три насоса 18, 20, 30 ч: $\frac{10 + 9 + 6}{180} = \frac{25}{180}$ → $T = \frac{180}{25} = 7, 2$ ч.

Время не складывают и не усредняют: вместе работа идёт быстрее каждого, поэтому $T$ меньше самого маленького из времён.

Смеси и сплавы

m_{в - ва} = m_{р - ра} \cdot \frac{c}{100}

m_{р - ра}

— масса раствора (кг),

c

— концентрация (%),

m_{в - ва}

— масса растворённого вещества

Складывают массы вещества, а не проценты. Долитая вода вещества не приносит, выпаренная — не уносит.

33 кг 20-процентного + 11 кг воды: соли $6, 6$ кг, раствора $44$ кг, $c = \frac{6 , 6}{44} \cdot 100% = 15%$ .
12 кг 30-процентного, хотим 4%: кислоты $3, 6$ кг; нужен раствор $3, 6 : 0, 04 = 90$ кг; долить $90 - 12 = 78$ кг воды.

Части и возраст

Отношение $p : q$ означает, что величины равны $p x$ и $q x$ , а всего $(p + q) x$ .

Сплав 117 кг, медь и цинк $7 : 6$ : $13 x = 117$ , $x = 9$ , большая часть $7 \cdot 9 = 63$ кг.
Отцу 53, дочери 17. Сколько лет назад отец был в 5 раз старше? Пусть $x$ лет назад: $53 - x = 5 (17 - x)$ → $4 x = 32$ → $x = 8$ . Проверка: $45 = 5 \cdot 9$ ✓.

В задачах на возраст разность лет между людьми никогда не меняется: отцу всегда на 36 лет больше. Если отец в 5 раз старше, то 36 — это 4 возраста дочери, дочери 9 лет.

Ещё разобранные типы

Встреча: 540 км, встретились через 4 ч, скорость первого 65 км/ч: скорость сближения $540 : 4 = 135$ , второго $135 - 65 = 70$ км/ч. «Расстояние станет 60 км» (420 км, 50 и 70 км/ч навстречу): нужно сократить расстояние на $420 - 60 = 360$ км, скорость сближения $120$ км/ч — через $3$ ч (до встречи).
Река: 114 км по течению за 6 ч — скорость по течению $19$ км/ч, собственная $19 - 1 = 18$ км/ч. Теплоход: 48 км по течению за 3 ч ( $16$ км/ч), обратно за 4 ч ( $12$ км/ч) — течение $\frac{16 - 12}{2} = 2$ км/ч. Плот 8 км за 4 ч — течение $2$ км/ч; лодке 10 км/ч против течения: $8 : (10 - 2) = 1$ ч.
Работа: вместе 8 дней, первая одна 40 дней — вторая: $\frac{1}{8} - \frac{1}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$ → $10$ дней. Наполняющая труба 15 ч и сливная 30 ч открыты вместе: $\frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{1}{30}$ → $30$ ч. Мастера 10 ч и 25 ч работали вместе 4 ч: сделали $4 (\frac{1}{10} + \frac{1}{25}) = \frac{14}{25}$ , осталось $\frac{11}{25}$ , второй делает их за $\frac{11}{25} \cdot 25 = 11$ ч.
Два сплава: сколько 70-процентного сплава добавить к 21 кг 30-процентного, чтобы получить 50%? $0, 7 x + 0, 3 \cdot 21 = 0, 5 (x + 21)$ → $0, 2 x = 4, 2$ → $x = 21$ кг. Сплавили 6 кг 80-процентного и 2 кг 10-процентного: меди $4, 8 + 0, 2 = 5$ кг из 8 — $62, 5%$ .
Части числа: половина числа на 9 больше его восьмой части: $\frac{x}{2} - \frac{x}{8} = \frac{3 x}{8} = 9$ , $x = 24$ . 60 в отношении $5 : 1 : 4$ : часть $60 : 10 = 6$ , разность наибольшей и наименьшей $(5 - 1) \cdot 6 = 24$ .
Возраст «через сколько лет»: отцу 45, сыну 9; через $x$ лет $45 + x = 4 (9 + x)$ → $3 x = 9$ → $x = 3$ .

Тема 08 · Алгебра, углублённый уровень

Линейная функция и элементы теории чисел

Потренироваться: задания по теме →

Линейная функция

Простыми словами

Прямую $y = k x + b$ задают два числа: $k$ — насколько она крута, $b$ — где она пересекает ось $O y$ . Две точки однозначно определяют эти числа. А в теории чисел работает похожая идея: чтобы узнать остаток огромного числа, достаточно следить за остатками маленьких.

Прямая через две точки

Через две точки с разными абсциссами проходит ровно одна прямая $y = k x + b$ .

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}, b = y_{1} - k x_{1}

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

— данные точки;

k

— угловой коэффициент,

b

— ордината точки пересечения с осью

O y

Прямая проходит через $A (- 4; 8)$ и $B (5; - 10)$ . Найдите $y$ при $x = 1$ .

$k = \frac{- 10 - 8}{5 - ( - 4 )} = \frac{- 18}{9} = - 2$ .
$b = 8 - (- 2) \cdot (- 4) = 8 - 8 = 0$ , прямая $y = - 2 x$ .
$y (1) = - 2$ .

Через $A (- 3; 0)$ и $B (5; - 8)$ : $k = \frac{- 8}{8} = - 1$ , $b = 0 - (- 1) (- 3) = - 3$ , $y = - x - 3$ .

С осью $O x$ : $y = 0$ → $- x - 3 = 0$ → $x = - 3$ (точка $A$ уже на оси!).
С осью $O y$ : $x = 0$ → $y = b = - 3$ .

Если одна из данных точек имеет $y = 0$ , она и есть точка пересечения с осью $O x$ — считать ничего не нужно.

Взаимное расположение прямых

Равные

k

— прямые параллельны; разные

k

— пересекаются

Условие	Прямые	Пример
$k_{1} \neq = k_{2}$	пересекаются в одной точке	$y = 2 x - 1$ и $y = - x + 2$
$k_{1} = k_{2}, b_{1} \neq = b_{2}$	параллельны	$y = 2 x - 1$ и $y = 2 x - 8$
$k_{1} = k_{2}, b_{1} = b_{2}$	совпадают	$y = - 2 x + 9$ и $y = - 2 x + 9$

Абсциссу точки пересечения находят из уравнения $k_{1} x + b_{1} = k_{2} x + b_{2}$ : $2 x - 1 = - x + 2$ → $x = 1$ , $y = 1$ .

Делимость

На что	Признак
2	последняя цифра чётная
4	две последние цифры образуют число, кратное 4
5	последняя цифра 0 или 5
3 и 9	сумма цифр кратна 3 (9)
11	знакочередующаяся сумма цифр кратна 11: $8294$ : $8 - 2 + 9 - 4 = 11$ ✓

На составное число проверяют взаимно простые множители: на 6 $= 2 \cdot 3$ , на 12 $= 3 \cdot 4$ , на 15 $= 3 \cdot 5$ .

Сколько трёхзначных чисел делится на 46?

Чисел от 1 до $N$ , кратных $m$ , ровно $[\frac{N}{m}]$ (целая часть частного).
От 1 до 999: $[999 : 46] = 21$ ; от 1 до 99: $[99 : 46] = 2$ .
Трёхзначных: $21 - 2 = 19$ . Для 20: $49 - 4 = 45$ .

12 не проверяют «на 2 и на 6»: 2 и 6 не взаимно простые (18 делится на 2 и на 6, но не на 12).

Остатки и степени

a = b \cdot q + r, 0 \leq r < b

a

— делимое,

b

— делитель,

q

— неполное частное,

r

— остаток

Остаток суммы (произведения) равен остатку от суммы (произведения) остатков. Поэтому в степени можно заменить основание его остатком.

$a$ даёт остаток 2 при делении на 14, $b$ — остаток 10. Остаток $a + b$ : $2 + 10 = 12$ ( $12 < 14$ ) → $12$ .
Остаток $1 3^{5}$ при делении на 11: $13$ даёт остаток $2$ , значит, ищем остаток $2^{5} = 32$ ; $32 = 2 \cdot 11 + 10$ → $10$ .

Последняя цифра степени повторяется циклом длины не больше 4: $2^{1} \to 2, 2^{2} \to 4, 2^{3} \to 8, 2^{4} \to 6, 2^{5} \to 2, \dots$ Делим показатель на длину цикла с остатком: последняя цифра $2^{30}$ такая же, как у $2^{2}$ ( $30 = 4 \cdot 7 + 2$ ), т. е. $4$ .

Если сумма остатков больше делителя, её ещё раз делят: остатки 9 и 8 при делении на 14 дают $17$ → остаток $3$ .

НОД и НОК в задачах

НОД (a, b) \cdot НОК (a, b) = a \cdot b

a, b

— натуральные числа

НОД«разложить поровну без остатка», «наибольшее число одинаковых наборов»

НОК«снова совпадут», «встретятся», «отойдут одновременно»

Автобусы отходят каждые 44 мин и каждые 37 мин, в 8:00 — одновременно. Через сколько минут снова отойдут вместе?

Ищем наименьшее число, кратное и 44, и 37: это НОК.
37 — простое, 44 на него не делится → числа взаимно простые.
$НОК = 44 \cdot 37 = 1628$ мин. Так же $НОК (43, 45) = 1935$ .

Соседние числа ( $n$ и $n + 1$ ) всегда взаимно простые; два соседних нечётных — тоже.

Ещё задачи о прямых

При каком $a$ прямые $y = (a - 6) x + 1$ и $y = - 6 x + 3$ параллельны?

Параллельны — угловые коэффициенты равны, а свободные члены разные ( $1 \neq = 3$ ).
$a - 6 = - 6$ , $a = 0$ .

При каком $b$ прямая $y = - 4 x + b$ проходит через точку пересечения прямых $y = 4 x + 5$ и $y = 5 x + 10$ ?

Точка пересечения: $4 x + 5 = 5 x + 10$ , $x = - 5$ , $y = 4 \cdot (- 5) + 5 = - 15$ .
Подставим $(- 5; - 15)$ в третью прямую: $- 15 = - 4 \cdot (- 5) + b = 20 + b$ .
$b = - 35$ .

Ордината точки пересечения: найдите $x$ из $k_{1} x + b_{1} = k_{2} x + b_{2}$ и подставьте в любое из уравнений: $x + 10 = 3 x - 8$ → $x = 9$ , $y = 19$ .

Ещё задачи на делимость и остатки

Признак делимости на 8: три последние цифры образуют число, кратное 8. $183 *$ кратно 8: $83 *$ должно делиться на 8 → $832 = 8 \cdot 104$ , цифра $2$ . На 9: $46 * 9$ — сумма $4 + 6 + * + 9 = 19 + *$ кратна 9 → $* = 8$ .
Наибольшее трёхзначное, кратное 30: $999 : 30 = 33$ (ост. 9), $33 \cdot 30 = 990$ . Наименьшее четырёхзначное, кратное 60: $1000 : 60 = 16$ (ост. 40), берём $17 \cdot 60 = 1020$ .
Наименьшее $n$ , при котором $6 n + 24$ делится на 13: перебираем $n = 1, 2, \dots$ : $6 n + 24 = 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78$ → при $n = 9$ получаем $78 = 6 \cdot 13$ .
Последняя цифра суммы — последняя цифра суммы последних цифр слагаемых (степени — по циклу). Число с двумя остатками: наименьшее, дающее остаток 5 при делении на 7 и 1 при делении на 8, — перебираем числа вида $7 q + 5$ : $5, 12, 19, 26, 33$ ; $33 = 8 \cdot 4 + 1$ → $33$ .
НОД находят разложением на простые множители (общие множители в наименьших степенях) или вычитанием/делением: $НОД (162, 148) = НОД (148, 14) = НОД (14, 8) = НОД (8, 6) = 2$ . НОК — произведение, делённое на НОД: $НОК (48, 22) = \frac{48 \cdot 22}{2} = 528$ . Если НОД 5, НОК 300 и одно число 60, второе $= \frac{5 \cdot 300}{60} = 25$ .
Подарки из 28 конфет и 52 печений без остатка: наибольшее число подарков — $НОД (28, 52) = 4$ .

Алгебра: теория

Оглавление

Вычисления и числовые преобразования

Простыми словами

Многоэтажные дроби

Действия с модулем

Рациональные приёмы счёта

Сравнение и оценка

Буквенные выражения с числовым ответом

Ещё типы заданий

Выражения, тождества, уравнения

Простыми словами

Порядок действий и значение выражения

Подобные слагаемые

Линейное уравнение

Уравнения со скобками

Проценты, доли и пропорции

Простыми словами

Последовательные изменения

Обратный ход: найти исходное

Концентрации и смеси

Отношения трёх величин

Доли от целого и от остатка

Ещё типы задач на проценты и доли

Функции. Линейная функция

Простыми словами

Линейная функция

Значение функции и аргумент

Точка на графике

Прямая пропорциональность

Степени и преобразование выражений

Простыми словами

Свойства степеней

Целый отрицательный показатель

Сравнение степеней

Стандартный вид числа

Вынесение степени за скобки

Сравнение «всё разное» и общий множитель с двумя буквами

Степень с натуральным показателем

Простыми словами

Как вычислять

Свойства степеней

Комбинированные задания

Формулы сокращённого умножения

Простыми словами

Квадраты и разность квадратов

Куб суммы и разности

Сумма и разность кубов

Выделение полного квадрата

Ещё приёмы с формулами

Многочлены

Простыми словами

Стандартный вид, сложение и вычитание

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочленов

Вынесение общего множителя

Значение многочлена

Многочлены и разложение на множители

Простыми словами

Способ группировки

Порядок разложения и формулы

Связанные переменные

Тождественные преобразования

Ещё типы заданий

Формулы сокращённого умножения

Простыми словами

Квадрат суммы и квадрат разности

Разность квадратов

Разложение на множители

Сумма и разность кубов

Быстрый счёт

Линейные уравнения и системы

Простыми словами

Скобки и дробные коэффициенты

Уравнения с параметром

Уравнения с модулем

Системы: способ сложения

Сколько решений у системы

Ещё задачи с параметром и модулем

Системы линейных уравнений