Тема 03 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Свойства степеней в многоэтажных выражениях

Степени и преобразование выражений. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Свойства степеней в многоэтажных выражениях»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Степень — короткая запись многократного умножения: $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Все правила со степенями следуют из того, что мы просто считаем множители: $2^{3} \cdot 2^{2}$ — это $3 + 2 = 5$ двоек.

$a^{n} = n www.reknow.ru www.reknow.ru www.reknow.ru a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ , где $a$ — основание, $n$ — показатель. Кроме того, $a^{1} = a$ и $a^{0} = 1$ при $a \neq = 0$ .

Свойства степеней

Свойство	Словами
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	показатели складываются
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	показатели вычитаются ( $a \neq = 0$ )
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	показатели перемножаются
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	в степень возводят каждый множитель
$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	и числитель, и знаменатель ( $b \neq = 0$ )

$(a^{4} b^{3})^{2} : (a^{2} b) = a^{8} b^{6} : (a^{2} b^{1}) = a^{8 - 2} b^{6 - 1} = a^{6} b^{5}$ .
$(3^{3})^{4} : (3^{2} \cdot 3^{3}) = 3^{12} : 3^{5} = 3^{7} = 2187$ .

Главный приём — привести всё к одному основанию: $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ , $16 = 2^{4}$ , $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ , $25 = 5^{2}$ .

$a^{m} + a^{n} \neq = a^{m + n}$ : складывать показатели можно только при умножении. $2^{3} + 2^{2} = 12$ , а $2^{5} = 32$ .

Целый отрицательный показатель

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, (\frac{p}{q})^{- n} = (\frac{q}{p})^{n}

a \neq = 0

n

— натуральное; отрицательный показатель «переворачивает» дробь

$(0, 2)^{- 1}$ : $0, 2 = \frac{1}{5}$ , перевернём — $5$ .
$3^{- 5} \cdot 3^{7} = 3^{- 5 + 7} = 3^{2} = 9$ .
$2^{- 3} = \frac{1}{8} = 0, 125$ ; $0, 2^{- 2} = 5^{2} = 25$ .

Отрицательный показатель не делает число отрицательным: $2^{- 3} = \frac{1}{8} > 0$ .

Сравнение степеней

Общее основание

4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{16} > 2^{15}

— при основании больше 1 больше та, у которой больше показатель

Общий показатель

2^{30} = (2^{3})^{10} = 8^{10} < 9^{10} = 3^{20}

— больше та, у которой больше основание

$2 5^{2}$ и $5^{3}$ : $2 5^{2} = 5^{4}$ , $5^{4} : 5^{3} = 5$ — в 5 раз.
$4^{5}$ и $2^{3}$ : $4^{5} = 2^{10}$ , $2^{10} : 2^{3} = 2^{7} = 128$ — в 128 раз.

Стандартный вид числа

x = a \cdot 1 0^{n}, 1 \leq a < 10

a

— мантисса (одна ненулевая цифра до запятой),

n

— целое число, порядок числа

Порядок числа показывает, на сколько знаков сдвинута запятая

$7650000 = 7, 65 \cdot 1 0^{6}$ — запятую сдвинули влево на 6 знаков, $n = 6 > 0$ .
$0, 00047 = 4, 7 \cdot 1 0^{- 4}$ — запятую сдвинули вправо на 4 знака, $n < 0$ .
$(1, 7 \cdot 1 0^{2}) \cdot (1, 8 \cdot 1 0^{3}) = (1, 7 \cdot 1, 8) \cdot 1 0^{2 + 3} = 3, 06 \cdot 1 0^{5} = 306000$ .

$17 \cdot 1 0^{4}$ — не стандартный вид: мантисса должна быть от 1 до 10. Правильно $1, 7 \cdot 1 0^{5}$ .

Вынесение степени за скобки

Из суммы степеней с одинаковым основанием выносят степень с наименьшим показателем: $2^{12} + 2^{10} = 2^{10} (2^{2} + 1) = 2^{10} \cdot 5$ .

$(3^{13} + 3^{11}) : 3^{11} = \frac{3 ^{11} ( 3 ^{2} + 1 )}{3 ^{11}} = 9 + 1 = 10$ .
$(7 \cdot 5^{5} + 5^{6}) : 5^{5} = \frac{5 ^{5} ( 7 + 5 )}{5 ^{5}} = 12$ .

Слагаемое, которое вынесли целиком, оставляет после себя $1$ , а не $0$ : $3^{11} = 3^{11} \cdot 1$ .

Сравнение «всё разное» и общий множитель с двумя буквами

Наибольшее из $1 0^{20}; 6^{30}; 7^{10}; 4^{20}$ .

Показатели $20, 30, 10, 20$ делятся на $10$ — приведём к показателю $10$ .
$1 0^{20} = 10 0^{10}$ , $6^{30} = 21 6^{10}$ , $7^{10}$ , $4^{20} = 1 6^{10}$ .
Больше основание — больше степень: наибольшее $6^{30}$ .

Если основания — степени одного числа ( $3, 9, 27, 81$ ), приводят к одному основанию: $2 7^{7} = 3^{21}$ , $8 1^{3} = 3^{12}$ , $9^{8} = 3^{16}$ .

Общий множитель с двумя буквами: каждую букву выносят в наименьшей степени: $x^{2} y^{7} + x^{4} y^{6} = x^{2} y^{6} (y + x^{2})$ .

Серия: 0