Тема 02 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Последовательные изменения

Проценты, доли и пропорции. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Цена выросла на 20%, а потом упала на 20%. Вернулась ли она к прежней? Нет: второй раз 20% берутся уже от новой, большей цены. Чтобы не путаться, каждое изменение в процентах записывают как умножение на коэффициент.

рост на p % : \times (1 + \frac{p}{100}), снижение на p % : \times (1 - \frac{p}{100})

p

— число процентов; например,

+ 15%

→

\times 1, 15

- 20%

→

\times 0, 8

Последовательные изменения

Несколько изменений подряд — это произведение коэффициентов. Проценты складывать нельзя: $+ 20%$ , затем $- 20%$ дают $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , то есть снижение на 4%.

Бактерий за первый час стало меньше на 24%, за второй — ещё на 75% от остатка. На сколько процентов уменьшилась численность?

Коэффициенты: $1 - 0, 24 = 0, 76$ и $1 - 0, 75 = 0, 25$ .
Итого: $0, 76 \cdot 0, 25 = 0, 19$ — осталось 19%.
Уменьшилась на $100% - 19% = 81%$ .

Вклад 12 000 ₽ под 20% годовых, проценты начисляются на всю сумму. Сколько будет через 2 года?

S = S_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}

S_{0}

— начальная сумма,

p

— процент за период,

n

— число периодов,

S

— итог

$12000 \cdot 1, 2^{2} = 12000 \cdot 1, 44 = 17280$ ₽.

Обратный ход: найти исходное

Если известен результат, исходную величину обозначают $x$ и решают уравнение « $x \cdot$ коэффициент $=$ результат».

После скидки 24% куртка стоит 5168 ₽: $0, 76 x = 5168$ , $x = 6800$ ₽.
После повышения на 4% плата 728 ₽: $1, 04 x = 728$ , $x = 700$ ₽.
$0, 8 x = 4400$ → $x = 5500$ .

Прибавить к результату те же проценты — ошибка: $5168 + 24%$ даст $6408, 32$ , а не $6800$ . Проценты берутся от исходного числа, поэтому нужно делить на коэффициент.

Концентрации и смеси

Считают массу чистого вещества, а не проценты.

m_{в - ва} = m_{р - ра} \cdot \frac{c}{100}, c = \frac{m _{в - ва}}{m _{р - ра}} \cdot 100%

m_{р - ра}

— масса раствора (смеси),

c

— концентрация в процентах,

m_{в - ва}

— масса вещества в нём

Вещество складывается:

7 + 21 = 28

г;

\frac{28}{350} \cdot 100% = 8%

Смешалискладываются и массы вещества, и массы растворов

Долили водувещество не изменилось, раствор стал тяжелее

Выпарили водувещество не изменилось, раствор стал легче

К 120 г 30-процентного раствора кислоты добавили 180 г воды.

Кислоты: $120 \cdot 0, 3 = 36$ г — она не изменилась.
Раствора стало $120 + 180 = 300$ г.
$c = \frac{36}{300} \cdot 100% = 12%$ .

Концентрации не усредняют просто так: $\frac{5 + 10}{2} = 7, 5%$ — неверно, потому что растворов взяли разное количество.

Отношения трёх величин

Если $a : b : c = k_{1} : k_{2} : k_{3}$ , то $a = k_{1} x$ , $b = k_{2} x$ , $c = k_{3} x$ , где $x$ — одна «часть».

Три числа относятся как $8 : 7 : 4$ , сумма $228$ : $19 x = 228$ , $x = 12$ , наименьшее $4 \cdot 12 = 48$ .
Массы металлов $3 : 9 : 6$ , разность самого тяжёлого и самого лёгкого 24 г: $9 x - 3 x = 6 x = 24$ , $x = 4$ ; весь сплав $(3 + 9 + 6) \cdot 4 = 72$ г.
$2 : 3 : 5$ , сумма 60 → $x = 6$ , числа $12, 18, 30$ .

Два отношения «сшивают» по общей букве: из $a : b = 2 : 3$ и $b : c = 4 : 5$ делаем $b$ одинаковым ( $3 \cdot 4 = 12$ ) и получаем $a : b : c = 8 : 12 : 15$ .

Доли от целого и от остатка

Вторая доля берётся от остатка, а не от целого. Если израсходовали $\frac{1}{3}$ , а потом $\frac{1}{4}$ остатка, осталось $(1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{4}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ исходного.

В баке 168 л, израсходовали $\frac{1}{4}$ , затем $\frac{1}{2}$ остатка: $168 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = 63$ л.
В баке 600 л, $\frac{1}{5}$ , затем $\frac{1}{6}$ остатка: $600 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} = 400$ л.

Ещё типы задач на проценты и доли

«На сколько процентов итог выше (ниже)»: перемножьте коэффициенты и сравните с 1. Рост на 80%, затем снижение на 25%: $1, 8 \cdot 0, 75 = 1, 35$ — выше на 35%. Рост на 20%, затем снижение на 30%: $1, 2 \cdot 0, 7 = 0, 84$ — ниже на 16%.
Известна разница: цену снизили на 15%, и она стала на 1215 ₽ меньше — значит, 15% цены равны 1215: $0, 15 x = 1215$ , $x = 8100$ ₽.
Два изменения назад: число увеличили на 24%, затем уменьшили на 50%, получилось 806: $x \cdot 1, 24 \cdot 0, 5 = 806$ , $0, 62 x = 806$ , $x = 1300$ .
Выпаривание: из 240 г 24-процентного раствора выпарили 40 г воды. Соли $240 \cdot 0, 24 = 57, 6$ г, раствора $200$ г: $\frac{57 , 6}{200} \cdot 100% = 28, 8%$ .
Сколько воды добавить: 200 г 60-процентного раствора нужно сделать 40-процентным. Соли $120$ г; новый раствор $120 : 0, 4 = 300$ г; воды добавить $300 - 200 = 100$ г.
Отношение $a : c$ : $a : b = 3 : 7$ , $b : c = 1 : 5 = 7 : 35$ → $a : b : c = 3 : 7 : 35$ , $a : c = 3 : 35$ . Из $a : b = 8 : 9$ , $b : c = 3 : 4 = 9 : 12$ и $c = 720$ : $a : c = 8 : 12$ , $a = 720 \cdot \frac{8}{12} = 480$ .
Найти целое по остатку: прочитали $\frac{1}{2}$ книги, затем $\frac{1}{3}$ остатка, осталось 14 страниц: $x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{x}{3} = 14$ , $x = 42$ . Продали $\frac{1}{2}$ картофеля, затем 60% остатка, осталось 30 кг: $x \cdot \frac{1}{2} \cdot 0, 4 = 0, 2 x = 30$ , $x = 150$ кг.

Посмотреть и посчитать

Модели

Сложный процент

Калькуляторы

Калькулятор процентов

Серия: 0

Последовательные изменения

Простыми словами

Последовательные изменения

Обратный ход: найти исходное

Концентрации и смеси

Отношения трёх величин

Доли от целого и от остатка

Ещё типы задач на проценты и доли

Примеры заданий