Тема 07 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Навстречу и вдогонку

Текстовые задачи. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Почти любая текстовая задача — это одна формула «результат = скорость × время» в разных костюмах: путь $= v \cdot t$ , работа $=$ производительность $\cdot t$ , масса вещества $=$ масса смеси $\cdot$ доля. Нужно понять, что здесь «скорость», и составить уравнение.

Обозначить неизвестное буквой (с единицами).
Выразить через него остальные величины — удобно таблицей.
Составить уравнение по условию, решить, проверить смысл ответа.

Навстречу и вдогонку

s = v \cdot t, v_{навстречу} = v_{1} + v_{2}, v_{вдогонку} = v_{1} - v_{2}

s

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч);

v_{1} > v_{2}

при движении вдогонку

Сначала фора, потом скорость сближения

Турист (6 км/ч) за час форы прошёл 6 км, осталось $42 - 6 = 36$ км.
Навстречу: скорость сближения $6 + 12 = 18$ км/ч, время $36 : 18 = 2$ ч.
Вдогонку: велосипедист (25 км/ч) за 2 ч форы уехал на 50 км, мотоциклист (50 км/ч) догоняет со скоростью $50 - 25 = 25$ км/ч: $50 : 25 = 2$ ч.

Средняя скорость — это весь путь : всё время, а не полусумма скоростей. Полусумма годится, только если время на участках одинаково.

Движение по реке

Движение	Скорость
по течению	$v + u$
против течения	$v - u$
плот, бревно	$u$ — скорость течения

Здесь $v$ — собственная скорость (в стоячей воде), $u$ — скорость течения. Обратно: $v = \frac{v _{по} + v _{пр}}{2}$ , $u = \frac{v _{по} - v _{пр}}{2}$ .

Течение 2 км/ч. Лодка прошла 36 км по течению и 28 км против, всего за 4 ч. Собственная скорость?

Пусть $v$ км/ч. Время: $\frac{36}{v + 2} + \frac{28}{v - 2} = 4$ .
Проверим удобные значения или решим уравнение: при $v = 16$ — $\frac{36}{18} + \frac{28}{14} = 2 + 2 = 4$ ✓.
Ответ: 16 км/ч.

Прямая задача: катер 16 км/ч, течение 5 км/ч, 42 км по течению и 33 км против: $\frac{42}{21} + \frac{33}{11} = 2 + 3 = 5$ ч.

Совместная работа

Всю работу принимают за 1. Если работник делает её за $a$ часов (дней), его производительность $\frac{1}{a}$ работы в час. При совместной работе производительности складываются.

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T}

a, b

— время каждого по отдельности,

T

— время совместной работы

35 и 14 дней: $\frac{1}{35} + \frac{1}{14} = \frac{2}{70} + \frac{5}{70} = \frac{1}{10}$ → $T = 10$ дней.
Три насоса 18, 20, 30 ч: $\frac{10 + 9 + 6}{180} = \frac{25}{180}$ → $T = \frac{180}{25} = 7, 2$ ч.

Время не складывают и не усредняют: вместе работа идёт быстрее каждого, поэтому $T$ меньше самого маленького из времён.

Смеси и сплавы

m_{в - ва} = m_{р - ра} \cdot \frac{c}{100}

m_{р - ра}

— масса раствора (кг),

c

— концентрация (%),

m_{в - ва}

— масса растворённого вещества

Складывают массы вещества, а не проценты. Долитая вода вещества не приносит, выпаренная — не уносит.

33 кг 20-процентного + 11 кг воды: соли $6, 6$ кг, раствора $44$ кг, $c = \frac{6 , 6}{44} \cdot 100% = 15%$ .
12 кг 30-процентного, хотим 4%: кислоты $3, 6$ кг; нужен раствор $3, 6 : 0, 04 = 90$ кг; долить $90 - 12 = 78$ кг воды.

Части и возраст

Отношение $p : q$ означает, что величины равны $p x$ и $q x$ , а всего $(p + q) x$ .

Сплав 117 кг, медь и цинк $7 : 6$ : $13 x = 117$ , $x = 9$ , большая часть $7 \cdot 9 = 63$ кг.
Отцу 53, дочери 17. Сколько лет назад отец был в 5 раз старше? Пусть $x$ лет назад: $53 - x = 5 (17 - x)$ → $4 x = 32$ → $x = 8$ . Проверка: $45 = 5 \cdot 9$ ✓.

В задачах на возраст разность лет между людьми никогда не меняется: отцу всегда на 36 лет больше. Если отец в 5 раз старше, то 36 — это 4 возраста дочери, дочери 9 лет.

Ещё разобранные типы

Встреча: 540 км, встретились через 4 ч, скорость первого 65 км/ч: скорость сближения $540 : 4 = 135$ , второго $135 - 65 = 70$ км/ч. «Расстояние станет 60 км» (420 км, 50 и 70 км/ч навстречу): нужно сократить расстояние на $420 - 60 = 360$ км, скорость сближения $120$ км/ч — через $3$ ч (до встречи).
Река: 114 км по течению за 6 ч — скорость по течению $19$ км/ч, собственная $19 - 1 = 18$ км/ч. Теплоход: 48 км по течению за 3 ч ( $16$ км/ч), обратно за 4 ч ( $12$ км/ч) — течение $\frac{16 - 12}{2} = 2$ км/ч. Плот 8 км за 4 ч — течение $2$ км/ч; лодке 10 км/ч против течения: $8 : (10 - 2) = 1$ ч.
Работа: вместе 8 дней, первая одна 40 дней — вторая: $\frac{1}{8} - \frac{1}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$ → $10$ дней. Наполняющая труба 15 ч и сливная 30 ч открыты вместе: $\frac{1}{15} - \frac{1}{30} = \frac{1}{30}$ → $30$ ч. Мастера 10 ч и 25 ч работали вместе 4 ч: сделали $4 (\frac{1}{10} + \frac{1}{25}) = \frac{14}{25}$ , осталось $\frac{11}{25}$ , второй делает их за $\frac{11}{25} \cdot 25 = 11$ ч.
Два сплава: сколько 70-процентного сплава добавить к 21 кг 30-процентного, чтобы получить 50%? $0, 7 x + 0, 3 \cdot 21 = 0, 5 (x + 21)$ → $0, 2 x = 4, 2$ → $x = 21$ кг. Сплавили 6 кг 80-процентного и 2 кг 10-процентного: меди $4, 8 + 0, 2 = 5$ кг из 8 — $62, 5%$ .
Части числа: половина числа на 9 больше его восьмой части: $\frac{x}{2} - \frac{x}{8} = \frac{3 x}{8} = 9$ , $x = 24$ . 60 в отношении $5 : 1 : 4$ : часть $60 : 10 = 6$ , разность наибольшей и наименьшей $(5 - 1) \cdot 6 = 24$ .
Возраст «через сколько лет»: отцу 45, сыну 9; через $x$ лет $45 + x = 4 (9 + x)$ → $3 x = 9$ → $x = 3$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Задачи на движение

Серия: 0

Навстречу и вдогонку

Простыми словами

Навстречу и вдогонку

Движение по реке

Совместная работа

Смеси и сплавы

Части и возраст

Ещё разобранные типы

Примеры заданий