Тема 4 · Алгебра · подтема 1 из 6

Стандартный вид

Многочлены. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Многочлен — это «сумма кусков» вида $5 x^{2}$ , $3 x$ , $- 7$ . Работать с ним — как разбирать покупки: одинаковые товары (подобные слагаемые) складываем вместе, разные — оставляем по отдельности.

Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней: $5 x^{2}$ , $- 3 x y$ , $7$ . Число в нём — коэффициент. Многочлен — сумма одночленов: $3 x^{2} + 2 x - 7$ . Подобные слагаемые отличаются только коэффициентом: $2 x^{2}$ и $- 4 x^{2}$ .

Стандартный вид, сложение и вычитание

Многочлен в стандартном виде: все подобные слагаемые приведены, члены обычно записаны по убыванию степеней.

$2 x^{2} + 3 x - 4 x^{2} = (2 - 4) x^{2} + 3 x = - 2 x^{2} + 3 x$ .
$4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} = 2 x^{2} + 2 x$ .
$(4 x + 7) + (5 x + 3) = 4 x + 5 x + 7 + 3 = 9 x + 10$ ; $(6 x + 7) + (6 x + 4) = 12 x + 11$ .

При вычитании многочлена скобки раскрывают со сменой знаков: $(5 x + 3) - (2 x - 1) = 5 x + 3 - 2 x + 1 = 3 x + 4$ .

Складывать можно только подобные: $2 x^{2} + 3 x$ — уже ответ, а не $5 x^{3}$ и не $5 x^{2}$ .

Умножение одночлена на многочлен

a (b + c) = ab + a c

одночлен

a

умножают на каждый член многочлена

$3 x (5 x + 4) = 3 x \cdot 5 x + 3 x \cdot 4 = 15 x^{2} + 12 x$ .
$7 x (6 x + 6) = 42 x^{2} + 42 x$ .

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $x \cdot x = x^{2}$ , $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ ; коэффициенты перемножаются.

Умножение многочленов

Каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго и приводят подобные.

(x + 8) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 8 x + 24 = x^{2} + 11 x + 24

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab

a, b

— числа; коэффициент при

x

— их сумма, свободный член — произведение

$(x + 8) (x + 3) = x^{2} + 3 x + 8 x + 24 = x^{2} + 11 x + 24$ .
$(x + 2) (x + 8) = x^{2} + 10 x + 16$ .

Должно получиться $2 \cdot 2 = 4$ произведения. Пропущенное «перекрёстное» слагаемое — частая ошибка: $(x + 8) (x + 3) \neq = x^{2} + 24$ .

Вынесение общего множителя

Обратное действие к умножению: находим, на что делится каждый член, и выносим это за скобку. Для чисел — НОД коэффициентов.

$36 x + 30$ : $НОД (36, 30) = 6$ → $6 (6 x + 5)$ .
$25 x + 15 = 5 (5 x + 3)$ ; $6 x + 9 = 3 (2 x + 3)$ .

Проверка — раскрыть скобки обратно: $6 (6 x + 5) = 36 x + 30$ ✓. Если в скобке ещё есть общий множитель — вынесли не всё.

Ещё один приём — группировка: члены объединяют в группы с общим множителем, например $x y + 3 x + 5 y + 15 = x (y + 3) + 5 (y + 3) = (x + 5) (y + 3)$ .

Значение многочлена

Подставляем число вместо переменной и считаем по порядку действий: сначала степени, затем умножение, затем сложение.

$4 x^{2} + 5 x - 2$ при $x = 2$ : $4 \cdot 4 + 10 - 2 = 24$ .
$x^{2} + 5 x - 5$ при $x = 0$ : $0 + 0 - 5 = - 5$ .

$4 x^{2}$ при $x = 2$ — это $4 \cdot 2^{2} = 16$ , а не $(4 \cdot 2)^{2} = 64$ : в квадрат возводится только $x$ .

Серия: 0