Чтобы разделить отрезок AB на 4 равные части, из точки A проводят луч и откладывают на нём 4 равных отрезка AA₁, A₁A₂, …. Что делают дальше? Варианты: через точки деления проводят перпендикуляры к AB; соединяют каждую точку деления с точкой B; через точки деления проводят прямые, параллельные AB; соединяют последнюю точку с B и через остальные точки проводят прямые, параллельные этому отрезку.

соединяют последнюю точку с B и через остальные точки проводят прямые, параллельные этому отрезку

Тема 02 · Геометрия · Глава VI «Четырёхугольники» · подтема 6 из 10

Теорема Фалеса

Параллелограмм и трапеция. 101 задание.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Возьмём две пары параллельных реек и скрепим их концы — получится параллелограмм; его можно «перекосить», но противоположные стороны останутся равными. Если параллельна только одна пара сторон, как у ведра в разрезе, — это трапеция.

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).

Параллелограмм: свойства и признаки

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны; углы, прилежащие к одной стороне, в сумме $18 0^{\circ}$ .
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Четырёхугольник — параллелограмм, если: 1) две его стороны равны и параллельны; 2) противоположные стороны попарно равны; 3) диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Угол параллелограмма $10 3^{\circ}$ . Соседний: $18 0^{\circ} - 10 3^{\circ} = 7 7^{\circ}$ , противоположный — $10 3^{\circ}$ .
$A O = OC = 9$ , $BO = O D = 11$ — параллелограмм по признаку «диагонали делятся пополам».

Свойство: «в параллелограмме …». Признак: «если в четырёхугольнике …, то он — параллелограмм». «Диагонали параллелограмма перпендикулярны» — неверно (верно только для ромба).

Биссектриса угла параллелограмма

∠ B K A = ∠ K A D

(накрест лежащие)

= ∠ B A K

⇒

A B = B K

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник: $B K = A B$ .

$P = 64$ , биссектриса $∠ A$ пересекает $BC$ в $K$ , $B K = 11$ . Найти $BC$ .

$A B = B K = 11$ , $A B + BC = 32$ , $BC = 21$ .

Биссектрисы $∠ A$ и $∠ D$ пересекают $BC$ в $K$ и $L$ ; $A B = 17$ , $BC = 21$ . Найти $K L$ .

$B K = A B = 17$ , $C L = C D = 17$ .
$B K + C L = 34 > 21$ , отрезки перекрываются: $K L = 34 - 21 = 13$ .

Трапеция и средняя линия

Углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме $18 0^{\circ}$ . Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны, углы при каждом основании равны. Прямоугольная: один угол прямой (тогда прямых углов два).

MN = \frac{BC + A D}{2}

;

MP = \frac{BC}{2}

PQ = \frac{A D - BC}{2}

m = \frac{a + b}{2}

средняя линия (

m

) соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям

a

b

Основания $5$ и $8$ : $m = 6, 5$ . Средняя линия $29$ , основания отличаются на $4$ : сумма $58$ , большее $\frac{58 + 4}{2} = 31$ .

$BC = 12$ , $A D = 22$ : диагонали делят среднюю линию на $6$ , $5$ , $6$ , значит $PQ = \frac{22 - 12}{2} = 5$ .

Равнобедренная трапеция и теорема Фалеса

Высота $B H$ равнобедренной трапеции, $BC = 3$ , $A D = 11$ . Найти $A H$ .

$A H = \frac{A D - BC}{2} = \frac{11 - 3}{2} = 4$ (а $HD = \frac{A D + BC}{2} = 7$ ).

$∠ A = 7 7^{\circ}$ ⇒ $∠ B = 18 0^{\circ} - 7 7^{\circ} = 10 3^{\circ}$ . Угол при меньшем основании больше на $3 8^{\circ}$ : $x + (x + 3 8^{\circ}) = 18 0^{\circ}$ , меньший угол $7 1^{\circ}$ .

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки. (Обобщение: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.)

$O A_{1} = A_{1} A_{2} = \dots = A_{4} A_{5}$ , $O B_{5} = 10$ : на другой стороне тоже $5$ равных частей, $B_{1} B_{2} = 10 : 5 = 2$ .

На теореме Фалеса основано деление отрезка на $n$ равных частей циркулем и линейкой.

Параллелограмм: углы, высоты, периметры

Через диагональ: $A C$ делит $∠ A$ на $2 2^{\circ}$ и $3 1^{\circ}$ , значит $∠ A = 5 3^{\circ}$ и $∠ BC D = ∠ A = 5 3^{\circ}$ . Накрест лежащие углы: $∠ A C D = ∠ B A C$ .
Высота из тупого угла: в $△ A B H$ угол $H$ прямой, поэтому $∠ A = 9 0^{\circ} - ∠ A B H$ ; $∠ A BC = 18 0^{\circ} - ∠ A$ . Угол между высотами $B H$ и $B K$ из вершины тупого угла равен острому углу параллелограмма ( $∠ H B K = ∠ A$ ).
Внешний угол при вершине $A$ равен соседнему углу $B$ ; продолжение $A D$ за $D$ даёт $∠ C D E = ∠ A$ .
Уравнения на углы: «один угол в $k$ раз меньше суммы трёх остальных»: $x \cdot (k + 1) = 36 0^{\circ}$ ; «сумма трёх углов $20 2^{\circ}$ »: четвёртый $15 8^{\circ}$ , меньший $2 2^{\circ}$ .
Высота при угле $3 0^{\circ}$ : $B H = \frac{A B}{2}$ . При $∠ B = 15 0^{\circ}$ угол $A = 3 0^{\circ}$ , и $A B = 2 B H$ .
Периметры треугольников с диагоналями: $P_{A OB} = A B + \frac{A C + B D}{2}$ . Разность $P_{A OB} - P_{BOC} = A B - BC$ , потому что $A O = OC$ , $BO = O D$ .
Неравенство треугольника: при сторонах $6$ и $3$ диагональ лежит между $3$ и $9$ ; при диагоналях $8$ и $20$ сторона лежит между $10 - 4 = 6$ и $10 + 4 = 14$ .

Признаки с уравнениями и координатами

Если известно, что $A BC D$ — параллелограмм, приравнивают противоположные стороны (или половинки диагоналей): $A B = C D$ , $5 x + 1 = x + 29$ ⇒ $x = 7$ , $A B = 36$ . Чтобы четырёхугольник стал параллелограммом, нужно выполнить оба равенства пары сторон (или $A O = OC$ и $BO = O D$ ) — ищут $x$ , при котором верны оба.

Не гарантируют параллелограмм: одно условие $A O = OC$ ; $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ (так бывает и у трапеции); равные диагонали (равнобедренная трапеция). Гарантируют: $A B ∥ C D$ и $A B = C D$ ; $A O = OC$ и $BO = O D$ ; обе пары сторон равны.

Удвоение медианы: если $M D = A M$ , то $A B D C$ — параллелограмм (диагонали $A D$ и $BC$ делятся пополам), поэтому $B D = A C$ .
Координаты: середины диагоналей совпадают, значит $D = A + C - B$ : при $A (3; 2)$ , $B (6; 3)$ , $C (4; 5)$ абсцисса $x_{D} = 3 + 4 - 6 = 1$ .
Если на диагонали $A C$ отложить $A M = CN$ , то $MBN D$ — параллелограмм: его диагонали $MN$ и $B D$ делятся точкой $O$ пополам.

Трапеция: типовые ходы

Высоты равнобедренной трапеции $B H$ и $C K$ отсекают на $A D$ равные отрезки $A H = KD = \frac{A D - BC}{2}$ , а $HK = BC$ . $A D = 40$ , $HK = 24$ ⇒ $KD = 8$ .
Угол $4 5^{\circ}$ : высота равна $A H = \frac{A D - BC}{2}$ . Угол $6 0^{\circ}$ : $A H = \frac{A B}{2}$ , так что $A D = BC + A B$ . Угол $12 0^{\circ}$ при меньшем основании — это $6 0^{\circ}$ при большем.
Диагональ — биссектриса угла $A$ : $∠ BC A = ∠ C A D = ∠ B A C$ , треугольник $A BC$ равнобедренный, $A B = BC$ . Углы трапеции: $∠ A = 2 \cdot 2 2^{\circ} = 4 4^{\circ} = ∠ D$ .
Биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в $K$ : $∠ A K B = ∠ K A D = \frac{∠ A}{2}$ , и $∠ A = 18 0^{\circ} - ∠ B$ .
Прямоугольная трапеция: два прямых угла, острый и тупой в сумме $18 0^{\circ}$ . С углом $4 5^{\circ}$ : $BC = A D - A B$ .
Средняя линия и периметр: в равнобедренной трапеции $P = 2 m + 2 c$ , где $c$ — боковая сторона. Средняя линия пересекает диагонали в $P$ и $Q$ : $MP = \frac{BC}{2}$ , $PN = \frac{A D}{2}$ .
Через середину стороны треугольника проведена прямая, параллельная другой стороне, — она проходит через середину третьей стороны (теорема Фалеса): $A N = NC$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Площадь параллелограмма Площадь трапеции

Серия: 0