Задание 8. Степени и корни — ОГЭ по математике

Свойства степени, действия с корнями. 100 заданий с разбором шаг за шагом.

Простыми словами

В задании 8 числа нарочно большие: $4^{12}$ или $2 www.reknow.ru \cdot 18 www.reknow.ru$ «в лоб» считать долго. Но по свойствам выражение сначала сворачивается в простое, и только потом считается.

Степень $a^{n}$ — произведение $n$ одинаковых множителей $a$ ; $a$ — основание, $n$ — показатель. Арифметический квадратный корень $a www.reknow.ru$ ( $a \geq 0$ ) — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ : $49 www.reknow.ru = 7$ , так как $7^{2} = 49$ .

Квадрат и корень — взаимно обратные действия

Свойства степени

Свойство	Пример
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$6^{5} \cdot 6^{6} = 6^{11}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$6^{11} : 6^{9} = 6^{2} = 36$
$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$	$(4^{4})^{3} = 4^{12}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(4 \cdot 9)^{3} = 4^{3} \cdot 9^{3}$
$a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$	$2^{- 3} = \frac{1}{8}$

$(4 \cdot 9)^{3} : 9^{3}$

$(4 \cdot 9)^{3} = 4^{3} \cdot 9^{3}$ .
Делим на $9^{3}$ : остаётся $4^{3} = 64$ . Ответ: $64$ .

$(4^{4})^{3} : 4^{4}$

$(4^{4})^{3} = 4^{12}$ .
$4^{12} : 4^{4} = 4^{8} = 65536$ . Ответ: $65536$ .

При умножении степеней показатели складывают, при возведении степени в степень — умножают: $2^{2} \cdot 2^{3} = 2^{5}$ , а $(2^{2})^{3} = 2^{6}$ .

Свойства корня

a www.reknow.ru \cdot b www.reknow.ru = ab www.reknow.ru, \frac{a www.reknow.ru}{b www.reknow.ru} = \frac{a}{b} www.reknow.ru, (a www.reknow.ru)^{2} = a, a^{2} www.reknow.ru = ∣ a ∣

a \geq 0

b > 0

(в первых трёх)

$100 www.reknow.ru \cdot 121 www.reknow.ru$

$100 www.reknow.ru = 10$ , $121 www.reknow.ru = 11$ .
$10 \cdot 11 = 110$ . Ответ: $110$ .

$2 www.reknow.ru \cdot 18 www.reknow.ru$

$2 \cdot 18 www.reknow.ru = 36 www.reknow.ru = 6$ . Ответ: $6$ .

Корень из суммы не раскладывают: $9 + 16 www.reknow.ru = 5$ , а $9 www.reknow.ru + 16 www.reknow.ru = 7$ .

Перед счётом приведите всё к одному основанию: $8 = 2^{3}$ , $27 = 3^{3}$ , $16 = 2^{4}$ , $125 = 5^{3}$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Степени и корни

Примеры заданий 8 ОГЭ по математике

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите значение выражения:

(4 · 9)³ : 9³

Показать ответ

Ответ: 64
Решение. Остаётся 4³ = 64.

Найдите значение выражения:

√100 · √121

Показать ответ

Ответ: 110
Решение. √100 = 10, √121 = 11, произведение 110.

Найдите значение выражения:

(4⁴)³ : 4⁴

Показать ответ

Ответ: 65536
Решение. 4¹² : 4⁴ = 65536.

Найдите значение выражения:

6⁵ · 6⁶ : 6⁹

Показать ответ

Ответ: 36
Решение. Получаем 6² = 36.