Тема 04 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Длина окружности и длина дуги

Вписанные и правильные многоугольники. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Пчелиные соты — правильные шестиугольники: все стороны и все углы равны. Вокруг любой правильной фигуры можно описать окружность и в неё же вписать окружность, а их радиусы связаны со стороной простыми формулами.

Слева:

R

r

правильного шестиугольника. Справа: сектор с углом

φ = 9 0^{\circ}

= треугольник + сегмент

Вписанный и описанный четырёхугольник

Вписанный

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

. Вписанная трапеция всегда равнобедренная.

Описанный

A B + C D = BC + A D

. В трапеции сумма боковых сторон = сумме оснований,

h = 2 r

. Отрезки касательных из одной вершины равны.

Равнобедренная трапеция с основаниями $a$ , $b$ , в которую вписана окружность: боковая сторона $\frac{a + b}{2}$ , высота $h = ab www.reknow.ru$ .

Трапеция вписана в окружность $R = 20$ , основание $A D$ — диаметр, $BC = 32$ . Найти площадь.

$A D = 40$ . Расстояние от центра до хорды $BC$ : $2 0^{2} - 1 6^{2} www.reknow.ru = 12$ — это высота.
$S = \frac{40 + 32}{2} \cdot 12 = 432$ .

В четырёхугольник вписана окружность, $A B : BC : C D = 4 : 5 : 4$ , $P = 96$ . Найти $A D$ .

$A B + C D = BC + A D = \frac{96}{2} = 48$ , то есть $8 x = 48$ , $x = 6$ .
$BC = 30$ , $A D = 48 - 30 = 18$ .

Во вписанном четырёхугольнике любой угол между хордами — вписанный: ищите треугольник, в котором известны два угла.

Правильный многоугольник

a = 2 R sin \frac{18 0 ^{\circ}}{n}, r = R cos \frac{18 0 ^{\circ}}{n}, R^{2} - r^{2} = (\frac{a}{2})^{2}

n

— число сторон,

a

— сторона,

R

r

— радиусы описанной и вписанной окружностей

	$a$ через $R$	$r$
треугольник	$a = R 3 www.reknow.ru$	$r = \frac{R}{2}$ , $R = 2 r$
квадрат	$a = R 2 www.reknow.ru$	$r = \frac{a}{2}$
шестиугольник	$a = R$	$r = \frac{a 3 www.reknow.ru}{2}$

Площадь: $S = n \cdot \frac{1}{2} R^{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ ; у 12-угольника $S = 3 R^{2}$ .

В правильный треугольник со стороной 54 вписана окружность, в неё — правильный треугольник. Его сторона?

Для большого треугольника окружность вписанная: $r = \frac{54}{2 3 www.reknow.ru} = 9 3 www.reknow.ru$ .
Для малого она описанная: $a = R 3 www.reknow.ru = 9 3 www.reknow.ru \cdot 3 www.reknow.ru = 27$ .

$a = 9 2 www.reknow.ru$ : $R = \frac{a}{3 www.reknow.ru} = \frac{9 2 www.reknow.ru}{3 www.reknow.ru} = 3 6 www.reknow.ru$ .

Общая окружность связывает две фигуры: для вписанной в неё она описанная (радиус $R$ ), для описанной около неё — вписанная (радиус $r$ ).

Углы и диагонали

α = \frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}, β = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}, диагоналей \frac{n ( n - 3 )}{2}

α

— внутренний угол,

β

— центральный (и внешний) угол

Вершины делят описанную окружность на $n$ дуг по $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ . Угол с вершиной в вершине многоугольника — вписанный и равен $k \cdot \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ , где $k$ — число таких дуг, на которые он опирается.

Шестиугольник: $A C = a 3 www.reknow.ru$ , $A D = 2 a$ , $S_{A CE} = \frac{S}{2}$ , $S_{A BC} = \frac{S}{6}$ , $S_{A B D} = \frac{S}{3}$ , четырёхугольник $A BEF$ (отрезанный диаметром $BE$ ) — половина шестиугольника.

Площадь шестиугольника 216. $△ A B D$ : $A D$ — диаметр, $∠ A B D = 9 0^{\circ}$ , катеты $a$ и $a 3 www.reknow.ru$ , площадь $\frac{a ^{2} 3 www.reknow.ru}{2}$ — ровно треть от $\frac{3 3 www.reknow.ru a ^{2}}{2}$ : ответ $72$ .

Длина дуги и площади частей круга

C = 2 π R, l = \frac{π Rφ}{18 0 ^{\circ}}, S = π R^{2}, S_{сект} = \frac{π R ^{2} φ}{36 0 ^{\circ}} = \frac{lR}{2}

φ

— центральный угол в градусах,

l

— длина дуги

S_{сегм} = \frac{π R ^{2} φ}{36 0 ^{\circ}} - \frac{1}{2} R^{2} sin φ, S_{кольца} = π (R^{2} - r^{2})

сегмент = сектор − треугольник; больший сегмент = круг − меньший

вписанный угол $α$ опирается на дугу $2 α$ ; хорды $R$ , $R 2 www.reknow.ru$ , $R 3 www.reknow.ru$ стягивают дуги $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $12 0^{\circ}$ ;
кольцо между окружностями правильного $n$ -угольника: $\frac{π a ^{2}}{4}$ при любом $n$ .

$R = 11$ , хорда $11 2 www.reknow.ru$ . Площадь меньшего сегмента.

Хорда $R 2 www.reknow.ru$ — центральный угол $9 0^{\circ}$ .
$S = \frac{121 π}{4} - \frac{121}{2} = \frac{121 π - 242}{4}$ .

Трапеция с основаниями 25 и 49 описана около окружности: $h = 25 \cdot 49 www.reknow.ru = 35$ , $C = πh = 35 π$ — в ответ $35$ .

«Запишите, делённое на $π$ »: если $l = 7, 5 π$ , в ответ идёт $7, 5$ . В сегменте треугольник вычитают, а не прибавляют, и берут меньший сектор.

Серия: 0