Тема 05 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Касательная и секущая

Метрические соотношения в окружности. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Через точку внутри круга проведём любую хорду: точка разрежет её на два куска, и произведение их длин всегда одно и то же — сколько хорд ни проводи. Для точки вне круга так же ведут себя секущие, а квадрат касательной равен тому же произведению.

Слева:

A P \cdot PB = CP \cdot P D

. Справа:

P T^{2} = P A \cdot PB

Хорды, секущие, касательная

A P \cdot PB = CP \cdot P D

хорды

A B

C D

пересекаются в точке

P

Почему: треугольники $A PC$ и $D PB$ подобны — углы при $P$ вертикальные, $∠ C A B = ∠ C D B$ как вписанные на одну дугу.

P T^{2} = P A \cdot PB = PC \cdot P D = O P^{2} - R^{2}

P

вне круга,

PT

— касательная,

PB

— вся секущая,

P A

— её внешняя часть

через центр: для хорды через $P$ внутри $A P \cdot PB = R^{2} - O P^{2}$ ; для секущей через $O$ : $P A = OP - R$ , $PB = OP + R$ ;
диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам: $C P^{2} = A P \cdot PB$ ;
кратчайшая хорда через $P$ перпендикулярна $OP$ и равна $2 R^{2} - O P^{2} www.reknow.ru$ ;
касательная $PT = O P^{2} - R^{2} www.reknow.ru$ , радиус $OT ⊥ PT$ .

Хорды $A B$ и $C D$ пересекаются в $P$ ; $A P = 3$ , $PB = 4$ , $CP : P D = 1 : 3$ . Найти $C D$ .

$CP = x$ , $P D = 3 x$ : $x \cdot 3 x = 3 \cdot 4$ , $x^{2} = 4$ , $x = 2$ .
$C D = x + 3 x = 8$ .

$P A = 7$ , $A B = 21$ . Найти касательную $PT$ .

Вся секущая $PB = 7 + 21 = 28$ .
$P T^{2} = 7 \cdot 28 = 196$ , $PT = 14$ .

В формулу секущей входит вся секущая $PB = P A + A B$ , а не хорда $A B$ . При $PT = 6$ , $P A = 3$ : $PB = 36 : 3 = 12$ , а хорда $A B = 12 - 3 = 9$ .

Углы и дуги

Вершина угла	Величина угла
внутри круга (две хорды)	$\frac{⌣ _{1} + ⌣ _{2}}{2}$ — полусумма дуг, на которые он и вертикальный к нему опираются
вне круга (секущие, касательные)	$\frac{⌣ _{дальн} - ⌣ _{ближн}}{2}$ — полуразность дуг
на окружности (касательная и хорда)	половина дуги внутри угла
две касательные из $P$	$∠ P = 18 0^{\circ} -$ меньшая дуга

Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $P$ , $∠ A PB = 9 2^{\circ}$ , дуга $A B = 10 8^{\circ}$ . Найти дугу $C D$ .

$92 = \frac{108 + x}{2}$ , откуда $x = 184 - 108 = 7 6^{\circ}$ .

Секущие $P A B$ и $PC D$ , дуга $B D = 14 2^{\circ}$ , дуга $A C = 5 4^{\circ}$ : $∠ BP D = \frac{142 - 54}{2} = 4 4^{\circ}$ .

Вершина внутри — дуги складываем, вершина снаружи — вычитаем; в обоих случаях делим на 2. Если даны оба угла (между секущими и между диагоналями вписанного четырёхугольника) — это полуразность и полусумма одних дуг: получается система.

Хорда и радиус

A B = 2 R sin ∠ A CB, d = R^{2} - (\frac{A B}{2})^{2} www.reknow.ru

∠ A CB

— вписанный угол, опирающийся на хорду

A B

;

d

— расстояние от центра до хорды

параллельные хорды: расстояние между ними $∣ d_{1} - d_{2} ∣$ (по одну сторону от центра) или $d_{1} + d_{2}$ (по разные);
биссектриса $A L$ , продолженная до окружности в точке $W$ : $A B \cdot A C = A L \cdot A W$ ;
высота $A H$ треугольника $A BC$ : $A B \cdot A C = A H \cdot 2 R$ .

Хорда $A B = 26$ , $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ . Найти периметр $△ A OB$ .

Центральный угол вдвое больше вписанного: $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ .
$O A = OB$ , значит $△ A OB$ равносторонний, $R = 26$ , $P = 78$ .

$R = 75$ , хорды $90$ и $120$ по разные стороны от центра: $d_{1} = 7 5^{2} - 4 5^{2} www.reknow.ru = 60$ , $d_{2} = 7 5^{2} - 6 0^{2} www.reknow.ru = 45$ , расстояние $60 + 45 = 105$ .

Две окружности

внешняя : d^{2} - (R - r)^{2} www.reknow.ru, внутренняя : d^{2} - (R + r)^{2} www.reknow.ru

длины отрезков общих касательных между точками касания;

d = O_{1} O_{2}

— расстояние между центрами

касаются внешним образом: $d = R + r$ , отрезок внешней касательной $2 R r www.reknow.ru$ ;
вписаны в угол с вершиной $V$ : $V O_{2} : V O_{1} = R : r$ , $V O_{2} - V O_{1} = R + r$ (если окружности касаются);
общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

$R = 83$ , $r = 29$ , внешняя касательная $A B = 72$ . Найти $O_{1} O_{2}$ .

Опустим из $O_{2}$ перпендикуляр на $O_{1} A$ : получим прямоугольный треугольник с катетами $72$ и $83 - 29 = 54$ .
$d = 7 2^{2} + 5 4^{2} www.reknow.ru = 90$ .

Окружности касаются внешне, $r = 9$ , касательная $24$ : $2 9 R www.reknow.ru = 24$ , $9 R = 144$ , $R = 16$ .

Взаимное расположение двух окружностей

Сравнивают расстояние между центрами $d$ с суммой и разностью радиусов $R \geq r$ .

Условие	Расположение	Общих касательных
$d > R + r$	лежат одна вне другой	4
$d = R + r$	касаются внешним образом	3
$R - r < d < R + r$	пересекаются в двух точках	2
$d = R - r$	касаются внутренним образом	1
$d < R - r$	одна внутри другой	0

$R = 9$ , $r = 3$ , $d = 12$ . Сколько общих касательных?

$R + r = 12 = d$ — внешнее касание, общих касательных 3.

Окружности $R = 41$ и $r = 15$ пересекаются, $d = 52$ , центры по разные стороны от общей хорды $A B$ . Найти $A B$ .

Хорда $⊥ O_{1} O_{2}$ и делится линией центров пополам в точке $H$ . Пусть $O_{1} H = x$ , $O_{2} H = 52 - x$ .
$4 1^{2} - x^{2} = 1 5^{2} - (52 - x)^{2} \Rightarrow 104 x = 1681 - 225 + 2704 = 4160$ , $x = 40$ .
$A H = 4 1^{2} - 4 0^{2} www.reknow.ru = 9$ , $A B = 18$ .

Серия: 0