Тема 02 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 5 из 5

Параллельные прямые и биссектрисы

Параллельные прямые. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Представим рельсы и шпалу, положенную наискосок. Рельсы параллельны, поэтому шпала пересекает их «одинаково»: углы у одного рельса в точности повторяют углы у другого. Из восьми углов получается только два разных значения.

При

a ∥ b

острые углы 1, 3, 5, 7 равны

α

, тупые 2, 4, 6, 8 равны

18 0^{\circ} - α

При $a ∥ b$ любые два угла при секущей либо равны, либо в сумме дают $18 0^{\circ}$ .

Три пары углов

Накрест лежащиеМежду прямыми, по разные стороны от секущей (3 и 5, 4 и 6). Буква «Z». Равны.

СоответственныеОдинаково расположены у разных прямых (1 и 5, 3 и 7). Буква «F». Равны.

ОдносторонниеМежду прямыми, по одну сторону от секущей (3 и 6, 4 и 5). Буква «П». В сумме

18 0^{\circ}

Прямые $a$ и $b$ параллельны, если при секущей: накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна $18 0^{\circ}$ .

Соответственные углы $∠1 = (6 x + 34)^{\circ}$ , $∠2 = (7 x + 26)^{\circ}$ .

Соответственные углы должны быть равны: $6 x + 34 = 7 x + 26$ .
$x = 8$ . Если углы односторонние, например $(3 x + 33)^{\circ}$ и $(3 x + 51)^{\circ}$ , уравнение другое: $6 x + 84 = 180$ , $x = 16$ .

Углы через отношение, сумму, разность

Два угла при одной прямой — смежные, их сумма $18 0^{\circ}$ . Условие задачи превращаем в уравнение:

m x + k x = 18 0^{\circ} x + (x + d) = 18 0^{\circ}

углы относятся как

m : k

; один больше другого на

d

Найдя один угол, второй получаем вычитанием из $18 0^{\circ}$ , а затем переносим к другой прямой как равный (накрест лежащий или соответственный).

Углы при прямой $a$ относятся как $2 : 3$ . Найти тупой угол при прямой $b$ .

$2 x + 3 x = 18 0^{\circ}$ , $x = 3 6^{\circ}$ : углы $7 2^{\circ}$ и $10 8^{\circ}$ .
При прямой $b$ те же два значения, тупой угол — $10 8^{\circ}$ .

Сумма двух накрест лежащих углов $12 2^{\circ}$ . Найти угол, смежный с одним из них.

Накрест лежащие равны: каждый $12 2^{\circ} : 2 = 6 1^{\circ}$ .
Смежный: $18 0^{\circ} - 6 1^{\circ} = 11 9^{\circ}$ .

Сумма $12 2^{\circ}$ — признак того, что углы равны (накрест лежащие или соответственные), а не односторонние: у односторонних сумма всегда $18 0^{\circ}$ .

Точка между параллельными

Точка $M$ лежит между $a ∥ b$ , $A \in a$ , $B \in b$ . Через $M$ проводим вспомогательную прямую, параллельную $a$ и $b$ . Она делит $∠ A MB$ на два угла, каждый — накрест лежащий с углом при $A$ или при $B$ .

Пунктир через

M

параллелен

a

b

∠ A MB = ∠ (a, A M) + ∠ (b, BM)

«излом» между параллельными

$∠ (a, A M) = 2 4^{\circ}$ , $∠ A MB = 6 5^{\circ}$ . Тогда $∠ (b, BM) = 6 5^{\circ} - 2 4^{\circ} = 4 1^{\circ}$ .

Параллельные стороны и биссектрисы

Если стороны двух углов соответственно параллельны, то углы либо равны (обе пары сторон направлены одинаково или обе противоположно), либо в сумме дают $18 0^{\circ}$ (одна пара сонаправлена, другая — нет).

Один из таких углов больше другого на $2 8^{\circ}$ . Найти меньший.

Углы не равны — значит, их сумма $18 0^{\circ}$ : $x + (x + 2 8^{\circ}) = 18 0^{\circ}$ .
$2 x = 15 2^{\circ}$ , $x = 7 6^{\circ}$ . Аналогично «в 4 раза больше»: $x + 4 x = 18 0^{\circ}$ , больший $14 4^{\circ}$ .

Биссектрисы односторонних угловперпендикулярны:

\frac{α}{2} + \frac{18 0 ^{\circ} - α}{2} = 9 0^{\circ}

Биссектрисы накрест лежащих угловпараллельны между собой.

Угол при прямой $a$ равен $6 2^{\circ}$ , при $b$ биссектриса $N K$ делит односторонний с ним угол. Найти $∠ (N K, MN)$ .

Односторонний угол: $18 0^{\circ} - 6 2^{\circ} = 11 8^{\circ}$ .
Биссектриса делит его пополам: $11 8^{\circ} : 2 = 5 9^{\circ}$ .

Сначала найдите «острое» и «тупое» значение на чертеже — дальше любой угол при параллельных равен одному из них.

Две секущие из одной точки

Если из точки $P$ прямой $a$ провести к прямой $b ∥ a$ два отрезка $PQ$ и $PR$ , получится треугольник $PQR$ . Углы между прямой $a$ и отрезками переносятся вниз как накрест лежащие: $∠ PQR = ∠ (a, PQ)$ , $∠ PRQ = ∠ (a, PR)$ .

$∠ (a, PQ) = 7 5^{\circ}$ слева от $P$ , $∠ (a, PR) = 6 1^{\circ}$ справа. Три угла при точке $P$ на прямой $a$ составляют развёрнутый угол: $∠ QPR = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 6 1^{\circ} = 4 4^{\circ}$ (то же даёт сумма углов $△ PQR$ ).

$∠ (a, PQ) = 6 8^{\circ}$ , $∠ PRQ = 6 9^{\circ}$ . Накрест лежащий $∠ PQR = 6 8^{\circ}$ , тогда $∠ QPR = 18 0^{\circ} - 6 8^{\circ} - 6 9^{\circ} = 4 3^{\circ}$ .

Чтобы выбрать признак параллельности по двум данным углам, посмотрите, как они расположены: если углы $14 4^{\circ}$ и $3 6^{\circ}$ — односторонние, удобен признак «сумма односторонних углов $18 0^{\circ}$ »; если равны и лежат крест-накрест — «накрест лежащие равны».

Серия: 0