Тема 6 · Алгебра · подтема 4 из 4

Проверка пары

Системы линейных уравнений. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Ручка и тетрадь стоят вместе 50 ₽, а ручка на 10 ₽ дороже тетради. Сколько стоит каждая? Здесь две неизвестные и два условия — это и есть система уравнений.

Обозначим цену ручки $x$ , тетради $y$ . Тогда условия записываются так:

{x + y = 50 x - y = 10

Решение системы — пара чисел $(x; y)$ , которая подходит в оба уравнения сразу. Решить систему — найти все такие пары или доказать, что их нет.

Проверим пару $(30; 20)$ : $30 + 20 = 50$ ✓ и $30 - 20 = 10$ ✓. Значит, ручка стоит 30 ₽, тетрадь — 20 ₽.

Способ подстановки

Идея: из одного уравнения выразить переменную и «подставить» её в другое — останется уравнение с одной неизвестной.

{y = 2 x - 1 3 x + y = 9

$y$ уже выражен: $y = 2 x - 1$ .
Подставляем во второе: $3 x + (2 x - 1) = 9$ , то есть $5 x = 10$ , $x = 2$ .
Находим $y$ : $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ .
Ответ: $(2; 3)$ . Проверка: $3 \cdot 2 + 3 = 9$ ✓

Когда в каком-то уравнении есть переменная с коэффициентом $1$ или $- 1$ — её легко выразить без дробей.

Способ сложения

Идея: умножить уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и сложить уравнения — эта переменная исчезнет.

{2 x + 3 y = 13 4 x - 3 y = 5

При $y$ уже стоят $3$ и $- 3$ — складываем уравнения: $6 x = 18$ , $x = 3$ .
Подставляем в первое: $2 \cdot 3 + 3 y = 13$ , $3 y = 7$ , $y = \frac{7}{3}$ .
Ответ: $(3; \frac{7}{3})$ .

Если противоположных коэффициентов нет, их делают: в системе ${3 x + 2 y = 7 5 x + 3 y = 11$ умножим первое уравнение на $3$ , второе — на $- 2$ : при $y$ получится $6 y$ и $- 6 y$ .

Умножают всё уравнение, обе его части: $3 \cdot (3 x + 2 y) = 3 \cdot 7$ , а не только левую часть.

Графический способ

График линейного уравнения $a x + b y = c$ — прямая. Решение системы — точка пересечения двух прямых.

Система

{x + y = 5 x - y = 1

имеет решение

(3; 2)

Способ наглядный, но неточный: если точка пересечения попала «между клетками», ответ лучше найти подстановкой или сложением.

Сколько бывает решений

ОдноПрямые пересекаются. Коэффициенты не пропорциональны:

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

Ни одногоПрямые параллельны:

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

. При решении выходит неверное равенство вида

0 = 5

Бесконечно многоПрямые совпадают:

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

. Выходит верное равенство

0 = 0

${2 x + 4 y = 6 x + 2 y = 5$ : $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$ , но $\frac{6}{5} \neq = 2$ — прямые параллельны, решений нет.

Посмотреть и посчитать

Модели

Система двух уравнений

Калькуляторы

Калькулятор уравнений

Серия: 0