Тема 03 · Математика, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Прямая и обратная пропорциональность

Отношения, пропорции, проценты. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Прямая и обратная пропорциональность»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Для лимонада берут сок и воду в отношении $1 : 3$ — на каждую кружку сока три кружки воды. Отношение говорит, из скольких одинаковых частей состоит смесь. Процент — тоже отношение, только к 100. Главный приём темы: найти, что не меняется (сумма, разность, масса вещества, объём работы), и считать от этого.

Деление в отношении

Величины относятся как $p : q$ — значит, они равны $p x$ и $q x$ , где $x$ — одна часть. Сумма — $p + q$ частей, разность — $p - q$ частей.

У Коли и Миши 960 ₽ в отношении $3 : 1$ . Коля отдал Мише часть денег, и стало $8 : 7$ . Сколько отдал?

Сумма не меняется. Было: 4 части по 240 → у Коли $720$ .
Стало: 15 частей по 64 → у Коли $8 \cdot 64 = 512$ .
Отдал $720 - 512 = 208$ ₽.

Разность $9 : 8$ — это 1 часть: если она равна 22, то сумма $17 \cdot 22 = 374$ .

$a : b = 2 : 3$ , $b : c = 4 : 5$ → у $b$ сделаем одинаковое число частей (12): $a : b : c = 8 : 12 : 15$ .

Прямая и обратная пропорциональность

Прямая

y = k x

: во сколько раз больше

x

, во столько раз больше

y

. Отношение

y : x

постоянно. Пример: цена и количество товара.

Обратная

x \cdot y = const

: во сколько раз больше

x

, во столько раз меньше

y

. Пример: число рабочих и время работы; скорость и время на том же пути.

Рабочих стало на 60 % меньше. На сколько процентов больше времени?

Рабочих $\times 0, 4$ → время $\times \frac{1}{0 , 4} = 2, 5$ .
$2, 5$ — это $250 %$ , рост на $150 %$ .

При обратной пропорциональности проценты не «зеркальны»: скорость $+ 25 %$ ( $\times 1, 25$ ) — время $\times \frac{4}{5}$ , то есть $- 20 %$ , а не $- 25 %$ .

Две величины сразу и «запас»

Если результат пропорционален двум величинам (числу принтеров и времени), меняем их по очереди.

7 принтеров печатают 1680 страниц за 10 мин. Сколько напечатают 5 принтеров за 2 мин?

Один принтер за 1 мин: $1680 : 7 : 10 = 24$ страницы.
5 принтеров за 2 мин: $24 \cdot 5 \cdot 2 = 240$ .

Запас (корм, работа) удобно мерить в «корово-днях» или «человеко-днях»: сколько дней хватило бы одной корове.

Корма хватило бы 4 коровам на 24 дня. Через 14 дней 2 коровы продали. На сколько всего дней хватило корма?

Весь запас: $4 \cdot 24 = 96$ корово-дней. За 14 дней съели $4 \cdot 14 = 56$ , осталось $40$ .
Двум коровам остатка хватит на $40 : 2 = 20$ дней.
Всего $14 + 20 = 34$ дня.

Один выехал раньше. Сначала находим путь, который он проехал один ( $18 \cdot 2 = 36$ км из 84), затем — встречу или погоню по оставшемуся расстоянию: навстречу $48 : (18 + 14) = 1, 5$ ч, вдогонку — делим на разность скоростей.

Проценты подряд

+ p % \to \times (1 + \frac{p}{100}) - p % \to \times (1 - \frac{p}{100})

каждое следующее изменение считают от новой величины

$920$ ₽, $- 50 %$ , затем $- 10 %$ : $920 \cdot 0, 5 \cdot 0, 9 = 414$ ₽.
$+ 20 %$ , затем $- 20 %$ : $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ — итог $- 4 %$ , а не $0$ .
Вклад под $p %$ на $n$ лет: $S \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$ .

$B$ на $37, 5 %$ меньше $A$ . На сколько процентов $A$ больше $B$ ?

$B = 0, 625 A$ , значит $A = B : 0, 625 = 1, 6 B$ .
$A$ больше $B$ на $60 %$ (база сравнения — $B$ !).

Смеси, сплавы, сушка

m_{в - ва} = m_{смеси} \cdot \frac{p}{100}

m

— масса (кг или г),

p

— концентрация вещества в процентах

Долили воду или выпарили — вещество не изменилось.
Смешали — складываются и массы смесей, и массы вещества.
Сушка — не меняется сухое вещество.

Сухое вещество:

600 \cdot 0, 12 = 72

кг — до и после сушки

Сушёных получится $72 : 0, 64 = 112, 5$ кг.

Сплав 28 кг, меди 30 %. Сколько меди добавить, чтобы стало 65 %?

Меди сейчас $28 \cdot 0, 3 = 8, 4$ кг. Добавим $x$ .
$8, 4 + x = 0, 65 (28 + x)$ → $0, 35 x = 9, 8$ → $x = 28$ кг.

Совместная работа и движение по реке

Производительности складываются: вместе за $a$ ч и $b$ ч → $t = 1 : (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ . Сливная труба вычитается: $\frac{1}{13} - \frac{1}{23} = \frac{10}{299}$ → $t = 29, 9$ ч.
По течению $v + u$ , против $v - u$ ( $v$ — собственная скорость, $u$ — течения). Значит, $v = \frac{v _{по} + v _{пр}}{2}$ , $u = \frac{v _{по} - v _{пр}}{2}$ .

126 км по течению за 7 ч ( $18$ км/ч), против — за $15, 75$ ч ( $8$ км/ч). Собственная скорость: $(18 + 8) : 2 = 13$ км/ч.

Посмотреть и посчитать

Модели

Относительность движения: лодка и река Сложный процент

Калькуляторы

Калькулятор процентов Пропорции

Серия: 0

Прямая и обратная пропорциональность

Простыми словами

Деление в отношении

Прямая и обратная пропорциональность

Две величины сразу и «запас»

Проценты подряд

Смеси, сплавы, сушка

Совместная работа и движение по реке

Примеры заданий