Тема 03 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 5 из 5

Три неизвестных и нестандартные приёмы

Системы уравнений. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Три неизвестных и нестандартные приёмы»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Система — это несколько условий, которые должны выполняться одновременно. Если хотя бы одно уравнение нелинейное (есть $x^{2}$ , $x y$ , $\frac{1}{x}$ ), решений может быть два, четыре или ни одного. Главная идея всех приёмов одна: свести систему к одному уравнению с одной неизвестной.

Решение системы — пара $(x; y)$ , удовлетворяющая всем уравнениям. Число решений системы — это число таких пар, а не число найденных значений $x$ .

Подстановка

Из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем во второе — получается квадратное уравнение. Каждому его корню — одно решение системы; вторую координату находим из линейного уравнения.

${4 x - y = - 4 y = x^{2} + x + 6$ . Найти $x_{0} y_{0}$ для решения с наибольшим $x_{0}$ .

Из первого: $y = 4 x + 4$ .
Приравниваем: $x^{2} + x + 6 = 4 x + 4$ , то есть $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , $x = 1$ или $x = 2$ .
Наибольший $x_{0} = 2$ , тогда $y_{0} = 4 \cdot 2 + 4 = 12$ .
Ответ: $x_{0} y_{0} = 24$ .

Вторую координату находите из линейного уравнения: из квадратного (например, $y^{2} = 9$ ) получились бы лишние пары.

Симметрические системы

Система симметрическая, если не меняется при замене $x \leftrightarrow y$ . Вводим $s = x + y$ и $p = x y$ и выражаем всё через них:

Выражение	Через $s$ и $p$
$x^{2} + y^{2}$	$s^{2} - 2 p$
$x^{2} y + x y^{2}$	$p s$
$x^{3} + y^{3}$	$s^{3} - 3 p s$
$x^{4} + y^{4}$	$(s^{2} - 2 p)^{2} - 2 p^{2}$
$(x - y)^{2}$	$s^{2} - 4 p$

t^{2} - s t + p = 0

x

y

— корни этого уравнения (теорема Виета)

Пара $(s; p)$ даёт решения только при $s^{2} - 4 p \geq 0$ . Если $s^{2} - 4 p > 0$ , корни $t_{1} \neq = t_{2}$ дают два решения: $(t_{1}; t_{2})$ и $(t_{2}; t_{1})$ ; если $s^{2} - 4 p = 0$ — одно решение $x = y$ .

${x^{2} + y^{2} = 80 x y = - 32$ . Наибольшее $x_{0}$ ?

$s^{2} - 2 p = 80$ , $p = - 32$ ⇒ $s^{2} = 16$ , $s = \pm 4$ .
$s = 4$ : $t^{2} - 4 t - 32 = 0$ , $t = 8$ или $t = - 4$ — решения $(8; - 4)$ , $(- 4; 8)$ .
$s = - 4$ : $t^{2} + 4 t - 32 = 0$ , $t = - 8$ или $t = 4$ — решения $(- 8; 4)$ , $(4; - 8)$ .
Всего 4 решения, наибольшее $x_{0} = 8$ .

${x + y + x y = - 1 x^{2} y + x y^{2} = - 30$ ⇒ ${s + p = - 1 s p = - 30$ , значит, $s$ и $p$ — корни $z^{2} + z - 30 = 0$ : ${5; - 6}$ .

$s = 5, p = - 6$ : $25 + 24 > 0$ — 2 решения. $s = - 6, p = 5$ : $36 - 20 > 0$ — 2 решения. Итого 4.

Замена переменных и однородные уравнения

Вид	Что делать
$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$	$u = \frac{1}{x}$ , $v = \frac{1}{y}$ — линейная система
$(x + y)^{2} - 5 (x + y) + 6 = 0$	$t = x + y$
$a x^{2} + b y^{2} = c$ (оба уравнения)	$u = x^{2} \geq 0$ , $v = y^{2} \geq 0$ — линейная система
$x^{2} - 5 x y + 6 y^{2} = 0$ (однородное)	разложить: $(x - 2 y) (x - 3 y) = 0$

В однородном уравнении у всех слагаемых одна и та же степень. Его раскладывают на множители (или делят на $y^{2}$ и вводят $t = \frac{x}{y}$ ) — получаются линейные связи $x = k y$ .

${x^{2} - 16 y^{2} = 0 x - y = - 15$ . Наибольшее $y$ ?

$(x - 4 y) (x + 4 y) = 0$ ⇒ $x = 4 y$ или $x = - 4 y$ .
$x = 4 y$ : $3 y = - 15$ , $y = - 5$ . $x = - 4 y$ : $- 5 y = - 15$ , $y = 3$ .
Ответ: $3$ .

${- 2 x^{2} - y^{2} = - 11 - 4 x^{2} + 4 y^{2} = - 16$ : $u = x^{2}$ , $v = y^{2}$ ⇒ ${2 u + v = 11 u - v = 4$ , $u = 5$ , $v = 1$ .

$x = \pm 5 www.reknow.ru$ , $y = \pm 1$ — все сочетания знаков: 4 решения.

Если $u = x^{2}$ получилось отрицательным — решений с этим $u$ нет; если $u = 0$ — одно значение $x = 0$ , а не два.

Число решений и параметр

Решения системы — общие точки графиков уравнений. «Единственное решение» почти всегда означает касание: дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю.

Прямая

x + y = a

и окружность

x^{2} + y^{2} = 25

: две общие точки, касание при

a = 5 2 www.reknow.ru

, нет общих точек при

∣ a ∣ > 5 2 www.reknow.ru

Графики	Единственное решение
$x y = P$ и $x + y = a$	$t^{2} - a t + P = 0$ имеет $D = 0$ : $a^{2} = 4 P$
$x^{2} + y^{2} = R^{2}$ и $x + y = a$	расстояние от центра до прямой равно $R$ : $\frac{∣ a ∣}{2 www.reknow.ru} = R$
прямая и парабола	касание: $D = 0$
$∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a$	квадрат с вершинами $(\pm a; 0)$ , $(0; \pm a)$

$x y = 1$ , $x + y = a$ : $a^{2} = 4$ , $a = \pm 2$ ; произведение значений $a$ : $- 4$ .
$x^{2} + y^{2} = 50$ , $x + y = a$ : подставим $y = a - x$ : $2 x^{2} - 2 a x + a^{2} - 50 = 0$ , $D = 0$ ⇔ $a^{2} = 100$ ; положительное $a = 10$ .