Восьмеричная и шестнадцатеричная системы

Переводы между двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной и десятичной системами, триады и тетрады. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Двоичные числа длинные: $1111111 1_{2}$ — это всего лишь 255. Человеку проще читать их «пачками» по 3 или 4 цифры — так и получаются восьмеричная и шестнадцатеричная записи. Они короче в 3 и 4 раза и переводятся в двоичную без вычислений.

Восьмеричная (8)цифры 0–7.

8 = 2^{3}

: одна цифра — ровно триада (3 двоичных разряда).

Шестнадцатеричная (16)цифры 0–9 и A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

16 = 2^{4}

: одна цифра — тетрада (4 разряда).

В десятичную

Развёрнутая форма: цифра × основание в степени номера разряда (справа налево, с нуля).

степень	0	1	2	3
$8^{k}$	1	8	64	512
$1 6^{k}$	1	16	256	4096

$7 7_{8} = 7 \cdot 8 + 7 = 63$ ; $CF_{16} = 12 \cdot 16 + 15 = 207$ .

Из десятичной

Делим на основание с остатком, пока частное не станет 0; остатки читаем снизу вверх.

$258 : 8 = 32$ , ост. $2$ .
$32 : 8 = 4$ , ост. $0$ .
$4 : 8 = 0$ , ост. $4$ . Снизу вверх: $40 2_{8}$ . Проверка: $4 \cdot 64 + 0 + 2 = 258$ ✓

$555 : 16 = 34$ , ост. $11$ → B.
$34 : 16 = 2$ , ост. $2$ .
$2 : 16 = 0$ , ост. $2$ . Ответ: $22 B_{16}$ . Проверка: $2 \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 11 = 555$ ✓

Остатки 10–15 записываются одной буквой: остаток 11 — это B, а не «11». Иначе число получится неверным.

Быстрый перевод через двоичную

72 5_{8} = 11101010 1_{2}

3 F_{16} = 0011111 1_{2} = 63

Обратно: двоичную запись разбивают на группы справа налево (по 3 для восьмеричной, по 4 для шестнадцатеричной), недостающие разряды слева дополняют нулями, каждую группу заменяют цифрой.

$101110 1_{2}$ : по 3 — $1011101 \to 13 5_{8}$ ; по 4 — $1011101 \to 01011101 \to 5 D_{16}$ .

Восьмеричное ↔ шестнадцатеричное переводят через двоичную: сначала цифры → триады, потом перегруппировать по 4.

Шестнадцатеричная запись используется в адресах памяти и кодах цветов на веб-страницах: #FF0000 — красный (R = FF = 255, G = 0, B = 0).

Быстрые ответы без перевода

Остаток от деления на основание — последняя цифра: $67 4_{8}$ при делении на 8 даёт остаток 4, $19 F_{16}$ на 16 — остаток $F = 15$ .
Длина двоичной записи: восьмеричное число из $n$ цифр даёт не больше $3 n$ двоичных разрядов ( $77 6_{8}$ — до 9), шестнадцатеричное — не больше $4 n$ . Меньше бывает, если старшая триада или тетрада начинается с нулей.
Сравнение чисел в разных системах — через десятичную: $1 0_{16} = 16$ и $2 0_{8} = 16$ равны; $4 6_{8} = 38 > 33$ .
Замена восьмеричной цифры парой или шестнадцатеричной триадой — ошибка: группы строго по 3 и по 4 разряда.
Значение старшего разряда: в $1 6_{8}$ это $1 \cdot 8^{1} = 8$ . Цифры G в шестнадцатеричной системе нет — алфавит заканчивается на F.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Системы счисления

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Переведите десятичное число 258 в восьмеричную систему.

402₈
102₁₆
401₈
403₈

Показать ответ

Ответ: 402₈
Решение. Делим на 8 с остатком: 258 = 402₈.

Переведите десятичное число 555 в шестнадцатеричную систему.

1053₈
22B₁₆
22C₁₆
22A₁₆

Показать ответ

Ответ: 22B₁₆
Решение. Делим на 16 с остатком: 555 = 22B₁₆.

Переведите восьмеричное число 330₈ в двоичную систему.

1101100₂
110110000₂
11011001₂
11011000₂

Показать ответ

Ответ: 11011000₂
Решение. Каждую восьмеричную цифру заменяем триадой: 011 011 000.

Чему равна шестнадцатеричная цифра A в десятичной системе?

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Сколько двоичных разрядов нужно для одной восьмеричной цифры?

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. 8 = 2³, поэтому одна цифра — это триада.

Чему равна шестнадцатеричная цифра F в десятичной системе?

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. F — наибольшая цифра, она равна 15.

Число 776₈ содержит 3 цифры. Сколько двоичных разрядов будет в его двоичной записи максимум?

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. Каждая цифра даёт триаду: 3 · 3 = 9.

Сколько двоичных разрядов нужно для одной шестнадцатеричной цифры?

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. 16 = 2⁴, поэтому одна цифра — это тетрада.